基于Hilbert變換的脈沖信號FRI采樣及其參數估計

宋壽鵬，彭成慶，趙騰飛，王云蛟

(江蘇大學 儀器科學與工程系， 鎮江 212013)

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基于Hilbert變換的脈沖信號FRI采樣及其參數估計

宋壽鵬，彭成慶，趙騰飛，王云蛟

(江蘇大學 儀器科學與工程系， 鎮江 212013)

為了降低信號的采樣速率，減少采集數據量，針對非嚴格有限新息率(Finite Rate of Innovation，FRI)信號，提出了一種基于Hilbert變換的超聲脈沖信號FRI采樣方法。將脈沖超聲檢測信號通過Hilbert變換解包絡，形成具有有限新息率的脈沖信號，利用低速采樣系統實現了脈沖超聲檢測信號的低速采樣。通過零化濾波器方法從低速采樣信號中解算出了脈沖超聲檢測信號的峰值時刻點，實現了對檢測信號的參數估計。通過加入加性高斯白噪聲驗證了該采樣方法對噪聲的適應能力。試驗結果表明，該低速采樣方法可減少信號的采集數據量，并準確估計出峰值到達時刻點。

脈沖信號；超聲波；有限新息率；Hilbert變換；參數估計

香農采樣定理[1]指出，重建信號的最小采樣速率為其帶寬信號最高頻率的兩倍，并描述了實現這個最小速率的采樣和重建方案。有限新息率(Finite Rate of Innovation, FRI)理論[2]是傳統香農采樣定理和次奈奎斯特采樣理論[3]相結合的信號采樣新方案，最早由Vetterli等人提出來。目前，FRI理論已經在一些領域得到應用，如：心電圖分析、醫學超聲成像、雷達探測等[4-6]。該采樣理論的前提是信號在單位時間內具有有限個數目的自由度(即，新息率)，以低于奈奎斯特速率的新息率采樣，并能完好重構原信號。

脈沖超聲檢測信號并非嚴格意義上的FRI信號，因此，無法在原信號上直接采用FRI采樣。而需將原信號進行處理，以滿足實現FRI采樣的前提條件。Hilbert變換是一種常見信號的解調方法，可實現信號的包絡提取，將包絡近似看作具有有限新息率的脈沖流，就可實現FRI采樣。盡管信號包絡提取的方法很多，如LEE提出的多相位包絡檢測[7]；RICE等人提出的基于Hilbert變換的積分微分快速求包絡法[8]；梅璐璐等人[9]提出的基于相移小波的包絡提取算法等。但Hilbert變換具有算法簡單，可借助硬件實現的特點。另外，從理論上講，Hilbert變換求得的包絡能最大程度地保留原信號中包絡的全部信息，這種方法求得的包絡更適合于從FRI采樣數據中準確獲取時延和峰值參數。為此，筆者基于Hilbert變換驗證了FRI理論對包絡脈沖的次奈奎斯特采樣。

為了驗證經FRI理論對脈沖超聲信號低速采樣后獲得數據的可用性，筆者還通過加入不同信噪比的加性高斯白噪聲來驗證其對噪聲的適應能力，通過對仿真和實測信號的低速率采樣，應用零化濾波器(Annihilating Filter)的方法估計了信號波的到達時刻。

1　理論基礎

定義1，設給定實信號x(t)，其Hilbert變換定義為：

(1)

式中：*為卷積符號。

(2)

則，實信號x(t)的包絡為：

(3)

定義2，設給定實信號s(t)，如果信號s(t)在一個周期τ內可表示為：

(4)

其傅里葉變換的形式為：

(5)

式中：H(ω)為h(t)的連續傅里葉變換；ω=2πm/τ，m=±1,±2,…,±K。

則信號s(t)為FRI信號，其有2K個自由度，其新息率為：

(6)

式中：ROI是FRI信號理論框架上的最低采樣率，通常比奈奎斯特采樣頻率小得多。

2　脈沖超聲信號FRI采樣原理

脈沖超聲檢測信號通常由上表面回波、缺陷回波及下表面回波等組成，設其脈沖回波數目為K(K∈Z+)，則數學模型可表示為：

(7)

式中：Ak(t-tk)為包絡信號，一般取為高斯函數；f0為超聲波中心頻率；tk為第k個脈沖時延。

將f(t)按定義1進行Hilbert變換，得到超聲回波信號包絡e(t)，即為K個脈沖信號包絡組成的脈沖流，相當于定義1中的包絡信號A(t)。將超聲回波信號包絡進行周期延拓，設一個周期τ內包含K個包絡脈沖，則可將含有幅值信息和時延信息的超聲檢測回波信號看作是一個周期為τ的FRI信號，相當于定義2中的s(t)。

為了進行新息率采樣，將超聲回波信號包絡e(t)通過采樣核g(t)，得到采樣信號y(t)，即：

(8)

式中：采樣核g(t)為[5]:

(9)

此時，將采樣信號y(t)進行等間隔T采樣(T遠大于奈奎斯特采樣間隔)，得到離散采樣序列c(n)，即為超聲脈沖檢測信號得到的FRI采樣序列:

(10)

式中：n=1,…,M；T=τ/M。

3　FRI采樣序列參數估計

經過新息率采樣后，得到了比傳統奈奎斯特采樣少得多的數據量，通過零化濾波器方法，可以從c(n)中解算出ak和tk，分別對應原始超聲檢測回波信號中的脈沖回波的峰值幅度和峰值到達時刻，從而實現對原始信號的參數估計。

設信號e(t)的離散傅里葉向量為：

(11)

式中：GM×M=diag[G*(2πm/τ)]；m=-K,…,K；G*(ω)為G(ω)的共軛矩陣;G(ω)為g(t)的連續傅里葉變換。

令零化濾波器系數為A(k)，k=1,…,K，構造并求解Yule-Walker方程[2]，得到

(12)

(13)

式中：uk=e-j2πtk/τ。

(14)

4　試驗及結果分析

4.1仿真及結果分析

仿真中，假設h(t-tk)為高斯函數，其表達式為：

(15)

式中：取σ=4×10-7；K=3；波峰時刻設定為{tk}={0.25,0.50,0.75}；峰值幅度設定為{ak}={1,1,1}。

峰值到達時刻點均方誤差為：

(16)

仿真試驗中，噪聲為加性高斯白噪聲，信噪比(SNR)從1 dB開始每增加1 dB作100次Monte Carlo試驗，得到如圖1所示的k=3時的估計波峰時刻均方誤差與SNR的變化曲線。圖2為SNR=5 dB時的超聲仿真回波信號。圖3為SNR=5 dB時的信號參數重構圖。

圖1　K=3時估計波峰時刻均方差與SNR的關系曲線

圖2　SNR=5 dB時的超聲仿真回波信號

圖3　SNR=5 dB時的信號參數重構圖

從圖3可以看出，采用基于FRI框架的采樣理論對超聲信號進行采樣后重構，重構信號保留了原始信號的幅值和TOAs信息。參數估計結果如表1所示。

表1　參數估計結果對比

4.2結果及分析

實測試驗中，脈沖超聲信號選取管道檢測時產生的超聲回波信號。試驗中樣品管道長約1.5 m，管道內徑為195 mm，管道壁厚為14 mm。管道材料為45號碳鋼。超聲探頭中心頻率為f0=10 MHz。為便于計算機對信號進行處理，將模擬超聲回波信號經100 MHz采樣后得到待分析信號，即原始超聲信號。試驗中截取回波信號長度N=1 501，時域波形如圖4所示。根據超聲探頭的特性，選用h(t)=e-t2/(2σ2)，其中，σ=10×10-7。經FRI采樣后，從采樣序列中估計回波峰值到達時刻，其重建效果如圖5所示。圖5中原始信號的峰值時刻{tk}={0.261 3,0.541 3,0.826 7}，而估計峰值時刻{tk_est}={0.267 6,0.545 2,0.819 0}，相對誤差為{ξ(%)}={2.41,0.72,0.93}(考慮到信號絕對幅值在實際測試中易受外界因素影響，在實際檢測中意義不大，所以試驗中沒有對絕對幅值進行參數估計)。

圖4　原始超聲回波信號時域波形

圖5　原始超聲檢波信號與參數重構信號

5　結語

將脈沖超聲檢測回波信號經過Hilbert變換，得到包絡脈沖信號，再將該信號進行周期延拓，得到近似FRI信號，通過采樣核后，再以新息率對其進行等間隔采樣，得到了低速率的采樣序列，其數據量遠小于常規奈奎斯特采樣得到的數據量，從而實現了超聲回波信號的低速率采樣。為了驗證經低速率采樣后的數據仍包含原始信號中回波峰值的到達時刻，借助零化濾波器方法對波峰到達時刻進行了參數估計，仿真及實測信號估計結果表明:該采樣方法保留了原始超聲檢測信號中的峰值到達時刻信息，并且達到了較高的估計精度，同時通過對仿真信號加入加性高斯白噪聲的方法，檢驗了該采樣方法對噪聲的抵抗能力。

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[8]RICE,VENKATACHALAMDA,WEGMANNV.Asimpleenvelopedetector[J].IEEETransactionsonInstrumentationandMeasurement, 1988, 37: 223-226.

[9]梅璐璐, 林京, 季桂華,等. 基于相移小波的信號包絡提取方法研究[J].儀器儀表學報,2007,28(6):1122-1128.

Pulse Signal FRI-sampling and Parameter Estimation Based on Hilbert Transform

SONG Shou-peng, PENG Cheng-qing, ZHAO Teng-fei, WANG Yun-jiao

(Department of Instrument Science and Engineering,Jiangsu University, Zhenjiang 212013, China)

For the purpose of lowering the signal sampling rate and reducing the amount of testing data, a sampling method of ultrasonic pulse signal with non-restrict finite rate of innovation (FRI) is proposed based on Hilbert transform. The pulse signal with FRI is obtained by solving the envelope of the tested ultrasonic signal using Hilbert transform. Then, low rate sampling has been accomplished on pulse signal. The adaptive capacity of the low-rate sampling technique is verified by putting additional Gaussian white noise in the signal. The experimental results show that this method can not only reduce the amount of sampling data, but also be used to estimate the arrival time of the echo peak accurately.

Pulse signal; Ultrasonic; FRI; Hilbert transform; Parameter estimation

2015-01-26

國家自然科學基金資助項目(51375217)

宋壽鵬(1967-),男,博士,教授,主要從事無損檢測與信息處理方面的研究工作。

宋壽鵬, E-mail: songshoupeng@126.com。

10.11973/wsjc201607010

TP391；TG115.28

A

1000-6656(2016)07-0040-04