基于拉格朗日插值函數分析的輸電鐵塔應力精確分布研究

陸文偉，馬壽虎，葛　樂，楊志超

（南京工程學院電力工程學院，江蘇南京211167）

基于拉格朗日插值函數分析的輸電鐵塔應力精確分布研究

陸文偉，馬壽虎，葛樂，楊志超

（南京工程學院電力工程學院，江蘇南京211167）

針對輸電鐵塔應力計算將節點應力視為鐵塔構件的最大應力，會對實際的安全評價造成較大誤差的問題，提出了基于拉格朗日插值函數分析的輸電鐵塔應力精確計算方法，并開發了輸電鐵塔應力精確計算軟件。采用桁梁混合模型對輸電鐵塔進行建模，分別對鐵塔結構中的剛性單元和柔性單元進行有限元線性分析和有限元非線性分析，計算出各節點的應力，再通過拉格朗日插值函數對其進行分析處理，求得構件的最大應力。通過自主開發的輸電鐵塔應力精確計算軟件反演了鐵塔的倒塔事故，計算結果表明該計算方法具有較高的精度，可提高對輸電鐵塔結構安全評價的準確性。

輸電鐵塔；安全評價；節點應力；拉格朗日插值函數；最大應力

現代電力系統中，架空輸電線路扮演著重要角色，它不僅承擔著傳送輸配電的功能，還要抵抗自然或人為帶來的干預與破壞，且需要對鐵塔的運行狀態給出合理的綜合評價，防患于未然，提高輸電線路運行的安全性和可靠性。長期運行資料表明，輸電線路安全事故大多由輸電鐵塔本體受外力破壞造成［1］。輸電鐵塔本體安全由鐵塔應力和塔材實際強度2個方面表征［2］。隨著我國電力事業的迅速發展，輸電鐵塔結構日趨復雜，對于存在柔性桿件的鐵塔，若采用傳統的有限元線性分析，則計算結果由于計算過程中對其進行線性化近似處理而產生較大的偏差。目前采用有限元非線性分析［3-6］，該方法將鐵塔結構中的剛性桿件也用非線性分析，雖然其計算結果的精確度較高，但大大增加了對剛性桿件分析的計算量，降低了計算速度，不能應用于鐵塔結構安全的實時監測。因此本文將鐵塔結構中的剛性單元跟柔性單元分別進行線性分析與非線性分析，以提高其計算速度。

目前對鐵塔結構的應力分析都采用有限元法，有限元是將所研究的物體分解成若干個單元，每個單元先假定一個近似解，然后求出該域的滿足條件，進一步得到最終的解［7，8］。有限元與傳統的分析方法相比具有較高的精度，且能分析復雜的鐵塔結構，然而有限元只能求解節點的應力，并通常把節點應力視為鐵塔構件的最大應力，實際情況中構件的最大應力并非就是節點應力，且構件的最大應力由該構件全部節點變形計算得到，而節點應力只由該節點變形計算得到，因此若將節點應力視為最大應力則會影響鐵塔結構安全評價的準確性。本文對鐵塔結構中的剛性單元跟柔性單元分別采用線性和非線性方法對其進行分析，且對節點應力進一步分析處理，求出2節點間構件的最大應力，得到鐵塔應力的精確分布及最大值，提高對鐵塔結構安全評價的準確性。

1　鐵塔結構模型與材料模型

1.1鐵塔結構模型

首先建立鐵塔結構的桁梁混合模型，將既承受軸向力又承受剪力和彎矩的主材或者橫隔材視為梁單元，只承受軸向力的斜材被視為桿單元，而不承受作用力的輔材則被簡化掉不作為模型的單元［9-11］。以鐵塔的橫擔方向作為整體坐標系的x軸，線路方向作為y軸，豎直方向作為z軸，并滿足右手定則；以桿單元所在直線作為單元局部坐標系的x軸，桿件與局部坐標系下的x軸方向重合，其正方向與整體坐標系x軸正方向一致。

1.2鐵塔材料模型

對于不存在柔性桿件的鐵塔，塔材是線彈性材料。對于存在柔性桿件的復雜鐵塔，將塔材分為2組：（1）承受拉壓的剛性單元：塔材是線彈性材料。（2）承受拉力的柔性單元：只承受拉力，不能承受壓力桿件［12，13］。

2　鐵塔結構應力分析

2.1剛性單元線性分析

根據所用鋼材的橫截面面積、材料的彈性模量和剪切模量等相關參數生成單元剛度矩陣［14］，根據桿件之間的空間角度關系、桿件之間連接關系，轉換疊加出鐵塔整體剛度矩陣［］（e），根據鐵塔鋼材的自重、鐵塔所受的風荷載和鐵塔所受導線的拉力分別等效為相應節點所受的載荷，并生成節點載荷陣列［］（e），每個節點具有6個自由度，即桿件承受一維軸力、兩維剪力、兩維彎矩、一維扭矩，即對應著節點的6個自由度［14］；以節點位移陣列作為未知量，與整體剛度矩陣，節點載

由于整體剛度矩陣為奇異矩陣，方程組無解，若要求解該方程，必須引入約束條件，限制鐵塔結構的剛性位移，保證整體剛度方程有惟一解。采用對角元素置1法，將δi=δ0引入整體剛度矩陣，針對輸電鐵塔的4個塔腿中，與基礎連接的部分是固定端約束，因此δ0=0；將剛度矩陣K的第i行的主對角線元素Kii置1，其余元素清0，且將第i行的載荷項Ri用0代替。即代入24個位移邊界條件，消除整體剛度矩陣的奇異性，從而采用高斯消元法進行矩陣方程求解，求解出節點位移矩陣，再根據彈性力學中應變與位移的關系［15］，計算出各節點的應力、應變。

2.2柔性單元非線性分析

由于鐵塔結構中柔性桿件的應力與應變呈非線性關系。因此，對于求解此類非線性問題，不能采用傳統的直接求解方法，必須把非線性問題分成若干個加載步，分階段對其逐步求解，即只要把荷載分的足夠細，迭代次數足夠多，就可以用分段線性分析代替大位移小應變的非線性［16］。運用修正的結構幾何位置變形原理對鐵塔結構中的柔性單元進行非線性分析，即以t時刻的狀態作為基準，推出t+Δt時刻的狀態。修正的結構幾何位置變形原理：

式（1）中：X0，Y0為柔性單元的坐標值；Ui，Vi為單元變形后在節點i處的位移；Uj，Vj為單元變形后在節點j處的位移。

梁單元的節點位移可以表示為：

式（2）中：l0，θ0為柔性單元的坐標值；Ui，Vi，θi為單元變形后在節點i處的位移；Uj，Vj，θj為單元變形后在節點j處的位移。

則節點位移陣列可以表示為：

變形后的單元節點力可以表示為：

通過坐標轉換為整體坐標下單元節點力，式（4）可變為：

如果將結構以線性分析計算得到的彈性位移作為第一次近似值，然后通過式（3）、式（4）算出各單元作用在節點上的力為：

則在各節點上產生的不平衡力為：

將不平衡力作用到結構的各節點上，得出節點的第二次近似值，重復上述過程多次迭代直至［ΔR］≈0為止。假設結構在載荷作用下已用線性理論方法求出位移的近似值，其迭代步驟為：

（1）建立各單元的局部坐標，并計算出各單元在局部坐標下的單元剛度矩陣［］（e）和位移陣列［］（e）。

（4）計算出各單元作用于節點上的力［Rr］，并計算不平衡力［ΔR］，即：

（5）重復上述過程多次迭代直至［ΔR］≈0為止。

2.3拉格朗日插值

根據上述計算方法所得到的節點應力、應變對各個矩陣中的各項值進行拉格朗日插值，通過插值函數的計算得到較為精確的鐵塔各桿件的應力計算公式。應力的拉格朗日插值表達式為：

式（9—14）中：Fi為節點的應力矢量；x，y，z分別為節點應力的方向；li為拉格朗日基本多項式（拉格朗日基函數）；L為拉格朗日插值多項式。

對其中的L（x），L（y），L（z），L（xy），L（yz），L（xz）的自變量進行一階微分，求出其導數等于0的點，即令L'（x）=0，L'（y）=0，L'（z）=0，L'（xy）=0，L'（yz）=0，L'（xz）=0，解分別記為x'，y'，z'，xy'，yz'，xz'，分別求出L（x'），L（y'），L（z'），L（xy'），L（yz'），L（xz'）的值，此時可以求得鐵塔x，y，z軸各個方向上應力的極點以及最大值。

3　設計與實現

圖1　輸電鐵塔構件最大應力計算流程圖

4　實例驗證

110 kV直線塔倒塔事故照片如圖2所示。

以圖2中的110 kV直線塔為例，利用上述的計算方法，對直線塔結構中的剛性單元進行線性分析，對柔性單元進行非線性分析，求出各節點的應力，并對其進行拉格朗日插值，求出鐵塔構件中的最大應力，把計算出的構件最大應力與把節點應力視為鐵塔構件的最大應力以及鋼材的屈服強度進行比較，如表1所示。表1左側最大應力為本方案計算結果，右側最大應力則為將節點應力視為鐵塔構件的最大應力的計算結果。

圖2　110 kV直線塔倒塔事故實際照片

表1　直線塔有限元分析結果

由表1可知，傳統有限元分析中，塔身部分編號為5-12，6-10，7-11，11-12，9-12，14-15，15-16，13-16的8根桿件的應力未超過其屈服強度，然而在本方案計算結果中卻超過了屈服強度，因而導致桿件發生彎曲變形、折斷，造成鋼材的變形折斷，與圖2實際倒塔事故照片中鐵塔折斷的位置吻合，計算結果更加精確，因此可以利用該計算方法對輸電鐵塔結構進行更準確的安全評價。

5　結束語

本文從理論和實際工作2個方面對輸電鐵塔構件的最大應力分析做了初步的探討，基于鐵塔結構的有限元原理分析方法，自主開發了一種計算輸電鐵塔構件最大應力的方法，并開發了輸電鐵塔應力精確計算的軟件。通過上述的實例驗證，證明了該方法的計算結果更為精確，可以提高對鐵塔結構安全評價的準確性，并可以對鐵塔最薄弱的環節進行預警。

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陸文偉（1991），男，江蘇常州人，碩士研究生，研究方向為電網主設備及系統安全運行；

馬壽虎（1990），男，江蘇淮安人，碩士研究生，研究方向為電網主設備及系統安全運行；

葛樂（1982），男，江蘇泰州人，副教授，研究方向為電網主設備及系統安全運行、分布式能源與主動配電網；

楊志超（1960），男，江蘇常州人，教授，研究方向為電力設備在線監測與狀態評估、主動配電網運行與控制技術。

Research on Transmission Tower Stress Exact Distribution Based on Lagrange Interpolation Function Analysis

LU Wenwei，MA Shouhu，GE Le，YANG Zhichao
（School of Electric Power Engineering，Nanjing Institute of Technology，Nanjing 211167，China）

Using nodes stress as maximum stress to evaluate tower component's safety is not accurate.A Lagrange interpolation function method for transmission tower stress calculation is proposed，and a power transmission tower stress calculation software is developed.Firstly，the method uses hybrid truss beam model for transmission tower，and finite element linear analysis and nonlinear finite element analysis are implemented on the structure of rigid and flexible units of tower. Then，the stress of each node is calculated，and through the Lagrange interpolation function the maximum stress can be obtained.Through the developed transmission tower stress calculation software，the process of tower accident is simulated. The simulation calculation results show that the calculation method has a high accuracy and can improve the accuracy of transmission tower structure safety assessment.

transmission tower；safety evaluation；node stress；Lagrange interpolation function；maximum stress

TM753

A

1009-0665（2016）04-0040-04

2016-03-13；修回日期：2016-04-27

國家自然科學基金（61473144）；江蘇省產學研聯合前瞻性項目 （BY201500905）；江蘇省電力公司科技重點項目（J2014090）