基于共軛理論的漸開線齒廓精確的設計方法

劉新宇

(上海汽車集團股份有限公司技術中心捷能公司，上海201804)

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基于共軛理論的漸開線齒廓精確的設計方法

劉新宇

(上海汽車集團股份有限公司技術中心捷能公司，上海201804)

漸開線齒廓設計，一直采用理論的幾何方法獲得，由于它忽略了實際載荷的影響，齒輪齒廓往往偏離實際的動力學嚙合軌跡。因此，它很難獲得精確的傳動和良好的噪音效果。根據齒輪傳動的數學理論和齒輪動力學物理模型，提出了一種基于共軛傳動理論的精確齒形設計方法。此法完全模擬實際載荷下的力學邊界，通過計算齒輪副的共軛嚙合軌跡線，獲得最佳齒廓曲線，從而大大提高了嚙合傳動的精確性和平穩性，減少齒輪振動能量、獲得良好的NVH性能。

齒廓嚙合振動噪聲變換矩陣共軛傳遞誤差

0　引言

對于齒輪噪音，其產生的機理：由于齒輪制造誤差、熱處理不均勻變形、輪齒受力變形、殼體受力彈性位移以及軸系撓度變形等誤差，造成齒廓嚙合線偏離設計軌跡而產生動態的周期性的嚙合干涉[1](圖1)。所以，齒輪振動和噪音的表現形式在兩方面：1)輪齒頂部和根部齒廓偏移，產生典型的齒頂與齒根嚙入、嚙出振動，噪音表現為聲音低沉、易辨識；2)齒廓偏移造成嚙合干涉出現中高頻次摩擦，聲音頻率高，通常稱之為齒輪嘯叫，即gear whine[2]。

消除齒輪的振動和噪音，根本方法是減少齒面嚙合干涉，避免產生高能量、高頻率的摩擦噪音。正確無干涉的齒輪嚙合如圖2所示。在齒輪設計和制造領域里，為消除嚙合干涉采取齒形修形： K線修形法確定漸開線齒廓的形狀；或者根據經驗公式：e=δi+xmax[3]確定。從解決方法來說，這種修形方法可以減少嚙合干涉。但從理論上分析，它在齒廓上存在曲率干涉界限點[4]，無法消除漸開線曲率突變產生的嚙合振動，設計很難獲得精準的齒廓線，從而減小振動及噪音。而且需要經過多次修正，周期較長，對刀具損耗較高，增加成本。

圖1　干涉嚙合　　　　　圖2　非干涉嚙合

針對上述方法存在曲率干涉的局限性，根據漸開線的展成特性和齒輪副的嚙合原理，運用數學方法，結合齒輪系力學物理模型，提出了一種精確齒廓設計，即齒廓共軛法。此法包含齒輪共軛嚙合方程和力學物理模型兩方面內容。

1　齒輪的數學模型：共軛齒廓嚙合方程

針對傳統修形方法的缺點，導入共軛漸開線的齒輪數學模型，引入嚙合方程。圖3有三個坐標系σ、σ(1)、σ(2)，其中σ為固定坐標系，σ(1)、σ(2)分別為齒輪1、2以各自旋轉中心的轉動坐標系。其中，齒廓Γ(1)在σ(1)的方程式[5]為：

r(1)=x1(u)i1+y1(u)r(1)j1

式中：u—參數變量。

圖3　齒輪空間運動

r(2)=M21r(1)

(1)

φ(u，t)=nv(12)=0

(2)

式中：M21—由σ(1)到σ(2)的變換矩陣；n—嚙合接觸點漸開線曲線法矢；v(12)—嚙合點處齒廓1與齒廓2的相對(切向)速度。

(3)

(4)

2　齒輪嚙合的物理模型

齒面嚙合過程中包含滾動和滑動兩種運動[6]，滾動是齒輪傳遞扭矩的圓周運動；而滑動則是齒面間的附加阻力，它轉變為熱量、磨損、效率損失等。嚙合方程(2)矢量積為零，其物理意義是嚙合滑動摩擦功積分為零，即：

圖4　平面漸開線嚙合

根據物理學功能原理：如圖4，當齒輪嚙合過程中，齒廓接觸法向應力與齒廓切向滑移保持正交，法向力在齒廓嚙合軌跡方向做功為零(作用力與位移方向垂直)，這時振動最小，齒輪傳動精確、平穩，噪音最小。但實際的齒輪制造，由于齒輪機床運動矢量誤差、夾具工裝定位誤差、刀具輪廓誤差、齒輪熱處理變形誤差、產品裝配誤差、以及承載條件下的系統變形等因素，造成了實際齒形與理論齒廓偏移，嚙合干涉，出現振動和嚙合噪音。

顧客互動指顧客和員工的交流在多大程度上是雙向的、參與式的以及共同解決問題的。本研究采用Bonner[22]對顧客互動的測量量表，根據調研情境進行適當調整，包括雙向性、參與和共同解決問題3方面的內容，共10個題項。如“我會向顧客提供很多反饋信息”(雙向性)，“顧客和員工之間有著很多面對面的互動”(參與)，“解決方案是由顧客和員工共同開發制定的”(共同解決問題)。

3　平行軸齒輪副共軛齒廓的計算

圖5

我們以平面齒輪副為例，在不同的嚙合條件下，研究嚙合方程結果的敏感因素。如圖5所示的一對齒輪，嚙合節點為固定坐標系σ原點，回轉中心O1、O2分別為運動坐標系σ1、σ2的原點。根據傳動理論，確定：

ω(1)=ω1k1

ω(2)=-ω2k2=-ω2k1

ω(12)=(ω1+ω2)k1

ξ=O1O2=aj=常量

v(12)=[ω2(acosφ1-y1)-ω1y1]i1+[ω1x1+ω2(x1-asinφ1)]j1

(5)

(6)

假設漸開線齒廓Γ(1)在坐標系σ(1)的方程為r(1)=x1(u)i1+y1(u)j1，兩坐標系中心距a=r1+r2，根據運動坐標系平移轉換，從σ(1)到σ(2)的變換矩陣為：

(7)

通過方程式Γ(1)代入(5)，可以求出：

x2=x1cos(φ1+φ2)-y1sin(φ1+φ2)+asinφ2

y2=x1sin(φ1+φ2)+y1cos(φ1+φ2)-acosφ2

所以，共軛齒廓Γ(2)的方程為：

r(2)=[x1cos(φ1+φ2)-y1sin(φ1+φ2)+→←asinφ2]i1+[xsin(φ1+φ2)+y1cos(φ1+φ2)-→

(8)

從式(8)知道，中心距對共軛齒廓Γ(2)的影響較為敏感。當然，還可以考慮齒形剛度變形、熱處理、制造誤差等[7]，將這些實際過程中的因素考慮進來，先確定齒輪副其中一個齒廓的形狀，然后利用共軛齒輪的嚙合方程求解出另外一個的齒輪的精確齒廓線。

4　案例分析與方法驗證

解決案例：某車型搭載6速手動變速箱，2檔加速齒輪嘯叫，其在不同轉速下，其噪音值結果如圖6曲線。

圖6

通過對原始齒輪參數的研究，發現齒輪的輪廓形狀參數只是根據理想嚙合狀態設計的，它沒有考慮承載條件下的中心距位移偏差，齒形線不是共軛齒廓(此案例輪齒剛度、熱處理誤差參數非敏感因素)，所以在傳遞扭矩時出現嘯叫。為此，通過CAE分析各載荷下的中心距a的位移變化如表1所示。最后，選取嘯叫最明顯的70%～80%Tmax工況的位移代入式(8)，求解共軛齒廓，具體形狀如圖7。

表1

LoadCasesCAE系統變形/μm100%Tmax23.790%Tmax21.380%Tmax18.970%Tmax16.560%Tmax14.050%Tmax11.640%Tmax9.2

圖7　主動齒廓形狀

由圖6可以看出，原始齒廓在發動機轉速①1 300 rpm、②2 000 rpm、③2 600 rpm噪音峰值非常大。而共軛齒廓與之原始齒形對比，不難發現：通過共軛法，可以改善AB、BC、CD段的齒形，使漸開線更平順、光滑，曲率變化減小，壓力角變小。這樣齒輪嚙合干涉減小，傳動更精確、平穩，齒面接觸應力下降，振動能量變小。

我們進一步將共軛精確齒廓導入齒輪動力學模型用MASTA軟件求解二檔的傳遞誤差TE[8]，接觸應力和殼體(軸承座處)振動進行CAE分析，優化效果明顯，與之前的分析趨勢一致，詳見圖8。實車噪音評估，主觀感受二檔噪音明顯降低,嚙合聲音柔和、平順，駕乘人員無抱怨；客觀測試數據聲壓值降低8～12 dB，見圖6。

圖8

5　分析結論

從上面的計算結果來看，對于齒輪設計，中心距對齒廓輪廓的影響顯而易見，它決定了齒輪齒廓線的實際有效嚙合區域和齒輪副的嚙合接觸線。由此，得出如下結論：

1)齒廓設計是影響和決定齒輪噪音、振動的主要因素，是改善變速箱振動的主要方向，也是采取TPA分析法降低汽車車內噪音的重要、關鍵路徑[9-10]。

2)齒輪嚙合模型是共軛齒廓設計的基礎理論，利用共軛方程可以求解出更精確齒廓形狀，獲得動態嚙合低振動、低噪音NVH性能。

3)共軛齒廓設計，必須建立齒輪動力學模型，通過CAE計算齒輪剛度、軸系及殼體的動力學系統變形以及制造誤差，作為齒輪嚙合輸入的基本變量，才能獲得精確的齒輪副齒廓形狀。

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The accurate design of involute gear profile based on conjugation theory

LIU Xinyu

Traditionally, the design of involute gear profile was done by theoretical geometry method. Such method ignores the influence of actual load, and results in the gear profile deflecting from the actual dynamic meshing path. Therefore, this kind of design can hardly achieve accurate transmission and is noisy. In this study, on the basis of mathematical theories and dynamic models, we put forward a method to accurately design the gear profile based on conjugation theory. By simulating the load boundary and calculating the conjugate meshing path of the gear pair, we obtained the optimum gear profile. This method greatly improved the accuracy and stability of gear drive, reduced vibration energy of the gear, and achieved excellent NVH. This method has been validated in production, and is widely applied in the design of gears.

gear profile，mesh，vibration noise，transformation matrix，conjugate，transmission error

TH132.41

A

1002-6886(2016)04-0070-04

劉新宇(1976-)，男，湖南大學本科畢業，工程師，研究方向為汽車變速箱的研發設計。

2016-03-09