基于改進人工魚群算法的柔性作業車間調度

趙　敏　殷　歡　孫棣華　鄭林江　何　偉　袁　川

1.重慶大學，重慶，400030　　2.重慶信息安全測評中心，重慶，401147

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基于改進人工魚群算法的柔性作業車間調度

趙敏1殷歡1孫棣華1鄭林江1何偉1袁川2

1.重慶大學，重慶，4000302.重慶信息安全測評中心，重慶，401147

提出了一種基于改進人工魚群算法的柔性作業車間調度問題的求解方法。該方法針對基本人工魚群算法后期搜索盲目性大、精度不高的不足，在分析算法各個參數影響的基礎上，提出了步長參數分解和采用柔性參數設置等改進策略，并在算法后期融入局部遍歷搜索，提高了算法尋優能力和尋優精度。標準MK算例和對比試驗表明了改進人工魚群算法對求解柔性作業車間調度問題的有效性。

柔性作業車間調度；人工魚群算法；柔性參數設置；參數細分

0　引言

柔性作業車間調度問題(flexible job shop scheduling problem，FJSSP)是比作業車間調度問題(job shop scheduling problem，JSSP)更加復雜的車間調度問題。與JSSP相比，FJSSP考慮了同一個工藝可在不同機器上加工，且加工時間可能不同，增加了問題的復雜性和求解的難度，更符合柔性制造的理念。隨著柔性制造理念被制造業廣泛接受，其理想化模型FJSSP的求解受到了研究者廣泛關注。

車間調度問題的求解可分為數學規劃和啟發式調度方法兩大類。盡管數學規劃方法較為成熟，但由于其僅限于求解小規模調度問題，對具有NP-hard特性的車間調度問題已不適用。目前廣泛應用的啟發式算法主要有余建軍等[1]提出的免疫模擬退火算法、Ho等[2]提出的LEGA(learnable genetic architecture)算法與Xu等[3]提出的IACO(improved ant colony optimization)算法，但上述算法的求解精度仍有待提高。

人工魚群算法[4]基于行為主義人工智能，模擬動物行為尋找全局最優。該算法具有克服局部最優、尋找全局極值的能力[5-7]，收斂速度快、使用靈活，實現算法時無需目標函數的梯度，對搜索解空間具有一定程度的自適應性，但存在尋優精度不高、前期收斂較快而后期搜索盲目性大[7]，或者在局部極值周圍嚴重聚集[8]，收斂速度大大降低的問題。

本文針對FJSSP解空間巨大及現有求解方法在尋優精度上的不足，利用人工魚群算法收斂速度快、使用靈活等優點，采取改進措施提高算法尋優能力，建立了一種改進的FJSSP求解方法，并采用Brandimarte標準問題檢驗了算法的有效性。

1　FJSSP模型

FJSSP描述的是在具有m臺加工設備的生產系統中加工n個工件，每個工件需要按次序完成一個或多個工藝，每個工藝有至少一臺加工設備可供選擇。

FJSSP模型包含以下約束條件[9-10]：

(1)各個加工設備彼此獨立，任一加工設備是否工作、是否故障不影響其他加工設備，且所有加工設備在開始時刻(t=0)均可開始工作。

(2)所有工件彼此獨立，任一工件的加工狀況不對其他工件產生影響，所有工件在開始時刻均可開始加工。

(3)所有工件的工藝流程在加工開始之前已定，加工過程中不能改變任何一個工件的既定工藝流程。

(4)所有工藝可供選擇的加工設備以及在相應設備上的加工時間在加工開始之前已定，加工過程中不能改變。

(5)每臺加工設備一次只能完成某個工件的某一道工藝，一個工件的一道工藝不能在多臺加工設備上同時完成，一道工藝一旦在某臺加工設備上開始加工就不會中斷，直到該工藝加工完成。

(6)不考慮臨時訂單、設備故障等任何可能中斷加工過程的突發事件。

本文研究以最小化最大完工時間為調度目標的FJSSP。只考慮工件在加工設備上的加工時間，不考慮加工設備的調整時間以及工件在各個加工設備之間的運輸時間。因此，某個工件的完工時間等于該工件的各個工藝在相應加工設備上的加工時間與由于某臺加工設備正在加工其他工件而造成的等待時間之和。

綜上所述，FJSSP數學描述如下，W={W1，W2，…，Wn}為需要加工的n個工件的集合；M={M1，M2，…，Mm}為m臺加工設備的集合；Oi={Oi1，Oi2，…，Oini}表示工件Wi依次經過的ni道工序集合；Mij={Mij1，Mij2，…，Mijkij}表示可以加工工藝Oij的加工設備集合，其中，kij為可以加工工藝Oij的機器數量，Mij?M。在此基礎上建立的最小化最大完工時間調度目標函數為

minEmax

(1)

s.t.

Si(j+1)≥Eij

(2)

i=1,2,…,n;j=1,2,…,ni-1

Sijk≥Emnk

(3)

Oij在Omn之后加工

Sijk=max(Ei(j-1)p,Emnk)

(4)

Mi(j-1)=p；Mij=Mmn=k;Oij在Omn之后加工

Emax≥Einii=1,2,…,n

(5)式中，Emax為最大完工時間，即所有工件的完工時間；Oij表示工件i的第j個工序；Si(j+1)為第i個工件的第j個工序的開始時間；p為機器序號；Eij為第i個工件的第j個工序的完成時間；Mijk表示第i個工件的第j個工序選擇在第k臺機器加工；Tijk為工序Oij在設備Mijk上的加工時間；Sijk為工序Oij在設備Mijk上的加工開始時間；Eijk為工序Oij在設備Mijk上的加工結束時間，Eijk=Sijk+Tijk。

式(1)說明調度目標為最小化最大完工時間；式(2)表示工藝有先后約束，工件下一個工藝的加工需要上一個工藝完成之后；式(3)表示同一臺加工設備同一時刻只能加工一個工件，下一個工件需要等上一個工藝加工完成；式(4)表示工件在設備上開始加工的時間取決于工件在上一臺設備加工完成的時間以及設備加工完上一個工件的時間，這兩者中的最大值。

2　求解FJSSP

FJSSP求解目標：一是確定工件Mi的工藝Oij的加工設備Mijk；二是確定在各個加工設備上加工的工藝序列，進而確定各個機器上加工的各個工藝的起止時間。基于改進人工魚群算法求解FJSSP，關鍵在于人工魚群算法的編碼解碼方式，視距、步長等參數的設置和隨機行為、覓食行為等的實現，并針對傳統人工魚群算法求解FJSSP中的不足予以改進。

2.1基于改進人工魚群算法求解FJSSP

2.1.1編碼解碼策略

針對FJSSP需要解決的兩個問題，本文采用雙子串編碼方式。設各個工件的工藝總數為t，并從0到t-1按順序編號；機器總數為m，并從0到m-1按順序編號；工件總數為n，并從0到n-1按順序編號。雙子串的兩個子串A、B都是長度為t的數組，A[a1]，A[a2]，…，A[at]為0到t-1號工藝選擇的加工設備編號；B[b1]，B[b2]，…，B[bt]表示n個工件的優先權排序(序號為t個范圍在[0，n-1]的自然數)，排列靠前的工件優先占有加工資源。Iijk為工件i的第j個工藝在第k號加工臺上的加工時間，i為0～n-1的自然數，j為0～s-1的自然數，s為需要經過工藝數量最多的工件具有的工藝數，k為0～m-1之間的自然數。當工件i的第j個工藝不在第k號加工臺上加工時，Iijk=-1；數組L表示各個工件需要經過的工藝數量，L[i]表示工件i的工藝數量，i=0，1，…，n-1。

(1)子串A編碼算法。

步驟1令a=0，i=0；

步驟2若i=n，則轉步驟5，否則令j=0，轉步驟3；

步驟3若j=s，則i←i+1并轉步驟2，否則轉步驟4；

步驟4如果工件i存在第j號工藝，則隨機生成0～m-1之間的自然數k，直到Iijk的值不為-1； A[a]=k，即子串A的第a個數賦值為k，表示這組工件的第a個工藝選擇第k號加工臺加工；a←a+1，j←j+1，轉步驟3；

步驟5結束子串A編碼。

(2)子串B的編碼算法。

步驟1令 j=0；

步驟2若j=t，則轉步驟4，否則轉步驟3；

步驟3隨機生成0到n-1的自然數k，直到L[k]不為0；B[j]=k，L[k]← L[k]-1，j←j+1，轉步驟2；

步驟4結束子串B編碼。

其中，B[j]為子串B的第j個分量。解碼即根據雙子串編碼，求出每個加工機器上加工的工件的起止時間。設H[i]表示工件i已經排序的工序數，解碼開始時，H[i]=0；U[i]表示工件i的第一個工藝在子串A中的開始位置。則解碼算法可描述為：對于編號x從0～t-1的t個工序，將工件B[x]以最早容許加工的加工時間在機器A[U[B[x]]+H[B[x]]]上加工，最早容許的加工時間是從工件B[x]上一次操作結束時間開始，依次比較機器A[U[B[x]]+H[B[x]]]的加工空隙是否可以插入該工件，如果可以則插入該工件，否則，將此工件排列在尾端。

2.1.2人工魚行為的實現和參數設置

魚群的隨機行為實現，就是對于子串A，隨機生成0～t-1的之間自然數u來決定改變編碼的哪一位，對于第u位(從0開始計數)，重新隨機選取可以加工機器；對于子串B隨機選取2個位置p、k，若2個位置的工件號不同，則調換2個位置上的工件號。魚群的覓食行為具體實現方法為，隨機選取視距內的人工魚，如果被選取的魚的位置優于當前魚的位置則往其方向前進一步，否則再隨機選取視距內人工魚(已經嘗試過的魚除外)，直到超過規定的嘗試次數，或所有魚都嘗試過，仍然沒有找到更優的人工魚，則隨機移動一步。向某條魚前進一步指的是，從兩條魚編碼中不相同的位里隨機選取數量等于步長的位，將當前魚的這些位修改與目標魚相同。聚群行為具體的實現方法如下：如果視距內中心位置的食物濃度優于當前魚處食物濃度且中心位置不擁擠，則向中心位置前進一步，否則執行覓食行為。

人工魚中食物濃度為所有工件完工時間。人工魚A1B1與人工魚A2B2的間距定義為

(6)

式中，A(i)、B(i)分別為工設備序列和加工優先級序列字串的第i個分量.

魚群的移動策略為先執行覓食行為，再執行聚群行為，最后執行追尾行為。在魚群移動過程中，用公告板來保存算法迭代過程中找到的最優解，即每次執行完一個行為，就與公告板上的最優魚比較，如果優于最優魚，則代替公告板上的最優魚。

人工魚群算法對初始參數設置不是很敏感，參數可選擇范圍較廣。總體來說，步長較大有利于加快收斂，但過大可能導致震蕩無法收斂；步長小就會降低收斂速度，但有利于提高尋優精度。視距較大，算法全局搜索能力較強，但超過一定值后對算法性能改進沒有明顯效果；視距過小，人工魚找不到更優位置，始終執行隨機行為，算法不能收斂。較大的擁擠度因子不容許局部聚集過多的魚，迫使魚群搜索更廣的解空間；擁擠度因子較小有利于魚群收斂，但也易陷入局部最優。種群規模越大，算法尋優能力越強，找到最優解的概率越大，種群規模超過一定限度后，對提高尋優能力作用不明顯。迭代越多，算法尋優能力越強，但算法運行時間同樣正比于迭代次數，且迭代次數超過一定限度后對尋優能力的提高不再起作用。本文根據大量實驗總結了求解FJSSP時基本人工魚群算法的經驗參數設置方法：步長為編碼長度(其中一個子串的長度)的1/60～1/30，視距在編碼長度的1～2倍之間，擁擠度因子設為0. 05～0. 1之間的數值，嘗試次數在種群規模的1/2左右，種群規模設置30～50之間較為合適，迭代次數約為1500。

2.1.3魚群算法的改進

人工魚的隨機行為保證了魚群跳出局部、探索更多解空間的可能性，但過強的隨機行為不利于算法收斂，導致搜索精度降低；反之，有利于算法收斂和局部搜索，但易陷入局部最優，降低全局搜索能力。隨機行為的強弱與隨機移動的步長、隨機移動執行的次數有關，隨機移動次數多且隨機移動步長大，魚群表現出強隨機行為。向目標前進一步與隨機移動行為的作用相反，前進步長大有利于快速向最優魚聚攏，增強收斂性，弱化隨機行為；較小的前進步長讓聚攏速度較慢，避免早熟收斂，陷入局部最優。因此，本文將隨機移動步長和向目標前進步長分為兩個參數，細化控制算法執行過程。

擁擠度用來判斷某一領域內的魚群是否擁擠，較大的擁擠度迫使過多的魚群離開局部聚集區域，盡可能分散，增大搜索廣度而不利于魚群收斂；反之，對魚群的聚攏容忍度高，有助于算法收斂。同時，局部聚集的較大魚群有利于增強局部搜索能力，但有可能引發早熟收斂，陷入局部最優。

本文采用柔性參數設置，前期設置較大的擁擠度和隨機步長、較小的前進步長，增強隨機行為，使魚群分散而活躍，搜索全局解空間；后期減小擁擠度和隨機步長，增大前進步長，弱化隨機行為，容許魚群聚集，增強算法收斂性和局部尋優能力。另外，如果還不滿足要求，覓食、聚群、追尾都會執行隨機行為。為弱化算法隨機性，算法后期減小隨機移動次數。

柔性參數設置的具體方案是，將隨機移動步長、前進步長、擁擠度按照由大到小的順序設置為5個等級，算法執行過程按照迭代次數的多少均分為5個階段，每過一個階段相應地改變參數等級。

另外，針對算法尋優精度不高的問題，本文將人工魚群算法與局部遍歷搜索算法結合。局部遍歷搜索算法的策略：改變子串A的一位；對調子串B的某兩個值不同的位，即對調兩個工件的加工優先順序。遍歷即是嘗試上述局部算法策略，直到新的編碼比之前更優或嘗試完所有可能的局部搜索。必須指出的是，局部遍歷搜索算法將導致算法執行時間的劇增，因此，本文僅將局部遍歷搜索算法應用到算法執行即將結束(迭代次數可以人為指定)的階段。

2.2調度算法流程

基于前述對人工魚群算法的改進，以最小化最大完成時間為調度目標，求解FJSSP的改進人工魚群算法流程如圖1所示。

圖1　改進人工魚群算法流程圖

求解FJSSP的改進人工魚群算法的具體步驟如下：

(1)初始化人工魚群，按照2.1節的編碼策略，隨機初始化40條人工魚。

(2)從魚群中選取最優魚，即解碼得到完工時間最小的魚，存入公告板。

(3)執行覓食、聚群、追尾行為，若是最后10次迭代則執行局部搜索。

(4)將當前迭代次數加1，判斷當前的參數等級與迭代階段是否匹配，不匹配則更新參數。

(5)判斷是否達到算法終止條件，達到則結束算法并輸出執行結果，否則轉到第步驟(2)繼續。

3　試驗驗證

為驗證算法性能，以FJSSP常用的Brandimarte問題作為算例，將改進后的人工魚群算法與基本人工魚群算法以及國外其他柔性作業車間調度算法，如Nhu等[2]提出的學習進化型遺傳算法、Xu等[3]提出的增強蟻群算法比較。

柔性參數設置將參數分為5個漸進的等級，隨著迭代次數的不同選取不同參數設置，參數設置與迭代次數之間的關系見表1。

表1　改進人工魚群算法柔性參數設置

表2給出了改進人工魚群算法(IAFSA)、基本人工魚群算法(AFSA)、Brandimarte算法、LEGA算法、IACO算法尋找到的最優解，表中的相對改進表示IAFSA求得的最優解相對于其他算法提高了多少時間單位。從表2可以看出，IAFSA尋找到的最優解相對于AFSA、Brandimarte算法、LEGA分別平均提高了3.44、19.67、2.75個時間單位，有顯著的提高；與IACO相比，MK01、MK05、MK10最優解稍差，但MK02和MK04的最優解有較大幅度提高，平均來看有小幅度提高。可見，本文提出的改進人工魚群算法能夠有效求解柔性作業車間調度問題。

表2　各種算法的最優值比較

表3～表5對比了幾種算法的平均值、方差和平均執行時間，LEGA算法的平均值、方差和平均執行時間數據來源于文獻[2]，另外兩種算法的相關數據統計方法是每種算法連續執行20次，計算20次解的平均值、方差和算法平均執行時間，文獻[3，11-13]未提供平均值、方差和執行時間數據。從表3、表4可以看出，與AFSA和LEGA算法相比，IAFSA的平均值有一定幅度的提高，分別平均提高3.54時間單位和2.63時間單位，但方差較大。這表明，改進后的算法尋找最優解的能力及解的平均值都有提高，但算法穩定性略有下降。原因可能是算法在執行的后半段追求提高搜索精度，增強局部搜索能力，導致算法在一定程度上承擔了更高的陷入局部最優的風險。文獻[2]使用的電腦CPU是2 GHz主頻Pentium IV，本文使用的電腦CPU是2 GHz主頻Intel P7350，兩者主頻相同，試驗統計的執行時間具有可比性。表5說明三種算法執行時間相差不大，但由于加入局部搜索，IAFSA執行時間略長。

表3　各種算法平均值對比

表4　各種算法方差對比

表5　各種算法平均執行時間對比　s

圖2是求解MK04問題時，IAFSA和AFSA的迭代曲線圖，圖中曲線均為兩種算法執行效果最好的一次，IAFSA求得最優解60，AFSA求得最優解66。圖2中，橫坐表示是迭代次數，縱坐標表示完工時間Emax。可以看出，兩種算法執行初期類似，算法的平均值和最優值均快速收斂，且平均值與最優值有一定距離——反映了魚群分布較為廣泛；迭代400次時，兩種算法找到的最優值相近，但IAFSA的魚群已經收斂；400次迭代之后，AFSA尋找最優解的效率明顯降低，且魚群一直分布廣泛，不能收斂，因此，AFSA后半段表現出漫無目的全局搜索。IAFSA在后半段受到柔性參數設置的影響，魚群逐步收斂到局部區域，增強了搜索精度，后半段最優解仍有較大程度的提高。

1.改進人工魚群算法的公告板值　　2.改進人工魚群算法的均值　3.基本人工魚群算法的公告板值　　4.基本人工魚群算法的均值圖2　算法改進前后迭代曲線圖

本文算法求解MK02和MK04問題時，所得最優解較其他算法有較大幅度提高，圖3、圖4給出了MK02、MK04最優解的甘特圖。橫坐標表示完工時間，縱坐標表示加工機器編號，圖中不同灰度的色塊代表色塊旁邊號數的工件在某一個加工機器上的加工時間段。

圖3　MK02最優解甘特圖

圖4　MK04最優解甘特圖

4　結語

FJSSP解空間巨大，人工魚群算法求解該問題時可快速找到全局極值的領域，但存在尋優精度不高、后期搜索盲目性大等缺點。本文提出的改進人工魚群算法，將步長分解為隨機移動步長和向目標前進步長，并采用柔性參數設置策略，并在算法后期融入局部遍歷搜索。改進的人工魚群算法在前期具有較強的全局搜索能力，避免早熟收斂，陷入局部最優；在后期增強了算法局部搜索能力，提高了算法尋優精度。與其他算法相比，算法的尋優能力有較大幅度的提升，在算法的穩定性稍有下降的情況下，算法的整體性能(解的平均值)仍然有不小的提高。穩定性下降可能是因為局部搜索能力的增強導致算法在后半段易陷入某個次優極值。因此，如何在提高算法求解精度的同時避免陷入局部，保證算法的全局性，兼顧尋優能力和穩定性，將是本文后續的研究方向。

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(編輯張洋)

Flexible Job Shop Scheduling Based on Modified Artificial Fish Swarm Algorithm

Zhao Min1Yin Huan1Sun Dihua1Zheng Linjiang1He Wei1Yuan Chuan2

1.Chongqing University，Chongqing，400030 2. Chongqing Information Technology Security Evaluation Center, Chongqing，401147

An improved algorithm for solving flexible job shop scheduling was proposed based on the artificial fish swarm algorithm. In view of the blindness and low precision of the basic artificial fish swarm algorithm in its late stage search, the new algorithm presented some strategies like separating the step into the random moving step and target moving step, adopting flexible parameter setting, and infusing local traversal search in the late period of the algorithm based on the analyses of parameter influences of the algorithm, which enhanced the search ability and search precision of the modified algorithm. Finally, the effectiveness of the improved artificial fish swarm algorithm in solving flexible job shop scheduling problem was verified by the standard MK sample and comparison experiments.

flexible job shop scheduling；artificial fish swarm algorithm；flexible parameter setting；parameter subdivision

趙敏，女，1980年生。重慶大學自動化學院副教授。主要研究方向為智能控制與智能自動化化。發表論文10余篇。殷歡，男，1988年生。重慶大學自動化學院碩士研究生。孫棣華，男，1962年生。重慶大學自動化學院教授、博士研究生導師。鄭林江，男，1983年生。重慶大學計算機學院副教授。何偉，男，1975年生。重慶大學自動化學院博士研究生。袁川，男，1981年生。重慶信息安全測評中心工程師。

2015-08-12

國家自然科學基金資助項目(61203135);中央高校基本科研業務費專項資金資助項目(106112014CDJZR178801)；重慶市自然科學基金資助項目(CSCT2012JJA40020)；

TP18

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.08.012