基于模型的網絡控制系統設計:切換控制的平均駐留時間法

趙順利, 尹遜和, 魏學業, LAM Hak-keung

(1. 北京交通大學電子信息工程學院, 北京 100044;2. 倫敦大學國王學院信息系, 倫敦 WC2R 2LS)

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基于模型的網絡控制系統設計:切換控制的平均駐留時間法

趙順利1, 尹遜和1, 魏學業1, LAM Hak-keung2

(1. 北京交通大學電子信息工程學院, 北京 100044;2. 倫敦大學國王學院信息系, 倫敦 WC2R 2LS)

利用平均駐留時間方法對基于模型的網絡控制系統(model-based networked control system,MB-NCS)進行了研究。MB-NCS由于能夠在保證系統性能的前提下有效地減少系統對網絡帶寬的占用,自提出以來就受到了學者的廣泛關注。首先總結了網絡控制系統中常用的幾種減少網絡帶寬占用的策略;其次,將基于模型的網絡控制系統建模為切換系統,并在所建立的切換系統模型的基礎上,利用平均駐留時間方法給出了使得此切換系統穩定的充分條件;最后,借助Lyapunov穩定性理論和線性矩陣不等式(linear matrix inequality,LMI)方法設計了使得此系統穩定的控制器,并且通過仿真驗證了所提出方法的有效性。

基于模型的網絡控制系統;切換系統;平均駐留時間;Lyapunov穩定性;線性矩陣不等式

0　引　言

網絡控制系統(networked control system, NCS)是一種基于網絡的分布式控制系統。在該類控制系統中,被控對象、傳感器、控制器和執行器通過某種網絡彼此連接,實現信息的傳輸與共享[1]。與傳統的點到點的控制系統相比,網絡控制系統因具有成本低、布線方便、可靠性高、節點間信息共享方便等優點,受到了科研工作者和企業的廣泛關注;然而,網絡的引入給控制系統帶來優勢的同時,也給系統的分析和設計帶來了新的挑戰。在網絡中傳輸信號會帶來網絡誘導時延,比如傳輸時延、排隊等待時延等;同時,由于所使用的網絡并不是理想的通信網絡,它易受外界干擾的影響,從而造成了信號的衰減、數據的丟失和亂序等情況[2-3]。

在實際的NCS設計中,網絡的帶寬往往都是有限的。這些有限的帶寬對于節點和信息交換比較少的系統也許不會造成太大的影響,但當節點的數目達到成千上萬甚至更多的時候,即使每個節點傳輸很少量的信息,整個系統的數據量也是非常大的。因此,有限的帶寬就成為了提高系統性能的一個瓶頸。此問題一方面可以借助信息理論的工具來解決,但效果有限[4];另一方面也可以從網絡控制系統的角度尋求解決的方法。大體上講,目前網絡控制系統中常用的減少網絡占用的策略分為以下幾種。

(1) 采樣數據方法。此方法是建立在深刻認識采樣對系統性能的影響之上的。較低的采樣速率雖然可以減少網絡的負載,卻會導致控制器因無法及時獲得系統的狀態信息而使系統得不到有效的控制。較高的采樣速率雖然可以提高控制器獲取系統狀態信息的實時性,但會加重網絡的負載,甚至導致網絡擁塞。網絡發生擁塞后,會增大信息傳輸的不確定性,如隨機時延和被動丟包,這些因素對實時性要求比較高的控制系統來講是很不利的。因此,在兼顧系統性能與網絡負載的前提下如何合理地選擇系統的采樣速率是近年來的一個熱門話題[5-7]。

(2) 調度策略。由于網絡的帶寬是有限的,為了減輕網絡負載,可以人為地選擇部分狀態信息或者控制信息接入網絡。調度策略的使用必須保證系統的穩定性,在系統性能要求比較嚴格的系統中還要兼顧系統的性能。學者們將這種既能保證系統性能又能減輕網絡負載的方法稱為控制與調度的聯合設計。在文獻[8]中,我們進一步對這種聯合設計方法進行了細分:將控制與調度分離設計的策略稱為控制與調度的聯合設計；如文獻[9-10],而把同時考慮控制與調度之間的相互影響并最大限度地發掘各自的優勢而進行設計的策略稱為控制與調度的耦合設計,如文獻[11-13]。前一種方法設計起來較簡單,效率卻不高;后一種方法雖然設計比較麻煩,但由于能兼顧控制性能和網絡帶寬的約束,比前者有更高的運行效率。

(3) Deadband策略。此方法利用當前時刻的狀態值或控制值與上一時刻的狀態值或控制值進行比較,當偏差大于一個給定的閾值時,相應的傳感器節點或控制器節點才接入網絡。顯然,這種方法可以在一定程度上降低網絡的負載,但它是以犧牲系統的性能為代價的,并且這個閾值的確定方法目前還是一個開放性問題[14-17]。

(4) 信號量化或編碼策略。為了使系統輸出的模擬信號滿足數字信道的傳輸要求,信號在進入網絡前需要先經過量化或編碼。信號經量化或編碼后產生的信息量會明顯減少,減少的幅度取決于所使用的量化或編碼策略。信號的量化或編碼可能會人為地去除一些信息,顯然這是以犧牲信號的精度為代價的[18-20]。

(5) 基于模型的策略。此方法利用在控制器端嵌入系統標稱模型的方式來降低網絡的負載。在這種方法中,網絡相當于一個開關,當開關打開時(即網絡斷開),控制器會根據標稱模型的輸出產生控制命令,進而作用于被控對象。當開關閉合時(即網絡連通),控制器可以直接得到被控系統的真實狀態。這種方法可以在網絡斷開時,在標稱模型的輔助下盡可能地降低網絡斷開對系統性能造成的不利影響。

從以上的幾種方法可知,網絡控制系統中解決帶寬受限問題的策略主要是通過減少進入網絡的數據量實現的,這與網絡工程中所使用的基于源端的擁塞控制策略[21]很相似。所不同的是前者以控制系統的性能為考量,在滿足控制系統的某些性能的前提下控制進入網絡的數據量;而后者則是通過監測網絡的擁塞狀況,當擁塞已經出現時,采取不同的策略控制進入網絡的數據量,如傳輸控制協議(transmission control protocol,TCP)擁塞控制中所使用的“慢啟動”、“擁塞避免”、“快啟動”和“快恢復”等策略。值得注意的是,相較于減小數據包本身大小的策略,如策略(4);減少網絡傳輸的數據包的數量在降低網絡的負載方面具有更加明顯的優勢,如策略(5),本文就是在此策略的基礎上進行研究的。

基于模型的網絡控制系統(model-based networked control system, MB-NCS)自Montestruque and Antsoklis提出以來便得到了廣泛的關注,并取得了豐碩的研究成果:帶有時延的MB-NCS[22-24]、帶有丟包的MB-NCS[25]、帶有量化的MB-NCS[26-29]、事件觸發控制下的MB-NCS[30-32]等;另外,受人類駕駛行為的啟發,文獻[33]提出了間歇反饋MB-NCS。此方法的思想是:當人們在路況比較差的道路上駕駛汽車時,例如,那些凹凸不平的、有很多彎道的并且較擁堵的道路,駕駛員的注意力必須非常集中才能完成整個駕駛行為;相反,當路況比較好時,比如平坦、筆直且不擁堵的道路,人們的注意力就可以放松下來,不用像路況較差時那么緊張就可以完成整個駕駛過程。如果將此思想應用到MB-NCS中,就可以將傳統的MB-NCS的網絡連通時間適當延長以提高系統的性能。具體來講,當系統由初始狀態開始運行時,由于初始狀態往往遠離平衡狀態,此時要對系統多一些“關注”,即網絡要保持連通以使控制器可以實時獲取系統的最新狀態信息;當系統的狀態接近平衡點時,可以對系統少一些“關注”,網絡連通時間可以適當減少以節約帶寬。如果系統在運行過程中受到外界的干擾,系統的狀態可能會突然遠離平衡點,就像行駛汽車過程中突然遇到坑洼不平的路況時駕駛員需要集中精力駕駛一樣,需要網絡連通時間適當延長以使系統得到及時的處理。值得注意的是,這種方法與切換系統中駐留時間的思想非常類似。在切換系統中,為了使得系統能夠達到穩定或滿足某些系統性能要求,系統需要在每個子系統上駐留一段時間后才切換到另一個子系統。本文就是將MB-NCS與切換系統相結合而做了一些探索性的工作。在將MB-NCS建模為切換系統之后,就可以用切換系統的理論來分析和設計MB-NCS了。

注意到在間歇反饋MB-NCS中,網絡的連通是周期的,也就是說,系統是周期性閉環運行的,而且網絡連通的持續時間也是固定不變的。這種周期的和固定的設計在很大程度上增加了系統設計的保守性,而且到目前為止,對間歇反饋MB-NCS的研究相對較少。文獻[34]將間歇反饋下離散時間MB-NCS擴展到連續時間MB-NCS的情形,并對其穩定性進行了分析。文獻[35]利用動態規劃方法進行了最優控制器設計。文獻[36]在被控對象存在時變范數有界的、不確定參數的情況下,設計了可以使系統鎮定的魯棒H∞控制器。鑒于此,本文試圖從切換系統的角度對MB-NCS進行研究,以期得到一些有用的結論。首先,將MB-NCS系統建模成一類切換系統;其次,采用平均駐留時間方法對所建立的切換系統模型進行了穩定性分析,得到了使系統指數穩定的充分條件,同時借助Lyapunov穩定性理論和線性矩陣不等式(linear matrix inequality,LMI)方法進行了控制器設計;最后,用一個仿真示例驗證了所設計的控制策略的有效性。

1　問題描述和切換模型的建立

本文所考慮的MB-NCS結構如圖1所示,網絡僅存在于傳感器和控制器之間,此種網絡控制系統類型稱為網絡化半鏈路系統(networked half-link systems, NHLS)[37]。如同文獻[28]那樣,為了能夠專門研究此系統在切換控制下的性能,我們假定網絡時延和丟包的影響是可忽略的。

圖1　MB-NCS結構圖

考慮如下形式的離散線性時不變實際系統模型:

(1)

其標稱系統模型為

(2)

(3)

(A+BK)x(k)-BKe(k)

進一步整理可得

(4)

令z(k)=[xT(k)eT(k)]T,此時系統方程可以表示為

(5)

當開關S閉合時,控制器可以得到被控對象的真實狀態x(k),此時系統方程可以表示為

(6)

(7)

式中,σ(k):Z+→∑={1,2}表示切換信號;Z+表示正整數集合。至此,MB-NCS可以建模成如式(7)形式的切換系統。

2　指數穩定性分析

為了對系統(7)進行指數穩定性分析,需要給出以下幾個相關的定義和引理。

定義 1[38]對任意給定的切換信號σ(k)和任意的離散時刻k>k0≥0,令Nσ(k0,k)表示切換信號σ(k)在間隔[k0,k)內的切換次數。若存在實數τa>0和非負整數N0≥0,使得不等式

成立,則τa稱為切換信號σ(k)的平均駐留時間,N0稱為抖動界(抖動界一般指系統的初始抖動次數,通常取零)。

定義 2[38]考慮系統(7),若存在實常數c>0和0<λ<1,使得對于任意的初始條件z(k0)∈R2n,系統(7)的解z(k)滿足‖z(k)‖≤cλk-k0‖z(k0)‖,則系統(7)稱為指數穩定的且具有指數收斂率λ。

注 1對于等時間間隔采樣的離散時間系統來講,切換點總是發生在采樣時刻,因此平均駐留時間τa必須滿足τa=nT(n∈N,N為自然數集),T為系統的采樣周期。從定義1可知,在給定的時間間隔內,切換系統駐留在某個子系統上的時間可能會小于τa個采樣周期,但整個時間間隔內系統分配給每個子系統的平均時間應不小于τa個采樣周期。

引理 1(Schur補引理)[39]對于給定的對稱矩陣X,并且可以寫為分塊矩陣形式

式中,A和C是對稱非負定的方陣,那么以下的3個條件是等價的:

(1) X是半負定的;

(2) C≤0,A-BC-1BT≤0;

(3) A≤0,C-BTA-1B≤0。

引理 2[40]對任意矩陣A,P>0和Q>0,不等式ATQA-P<0成立,當且僅當存在一個矩陣G,使得以下矩陣不等式成立

在給出了幾個相關的定義和引理之后,就可以對系統的穩定性進行分析了。下面借助Lyapunov穩定性理論給出使系統指數穩定的充分條件。

定理 1對于MB-NCS式(7),若存在正實數標量λ<1,μ≥1和適當維數的矩陣

使得不等式

(8.1)

(8.2)

(8.3)

證明令k1,k2,…,ki(i≥1)表示σ(k)在間隔[0,k)內的切換點,且0

(9)

式中,Λj(j∈Σ) 是待求的對稱正定矩陣。考慮Vj(k)沿系統(7)的子系統Sσ(k)的軌跡變化情況并結合式(8)可得

(10)

由式(8.1)和式(10)可得

(11)

即

(12)

式(12)表示Vj(k)(j∈Σ)沿著系統(7)的各子系統的軌跡是指數收斂的;也就是說

(13)

在最后的一次切換間隔[ki,k)內σ(k)=σ(ki),于是Vσ(k)(k)=Vσ(ki)(k);同理,由于σ(kr-1)=σ(kr-1),那么Vσ(kr-1)(kr)=Vσ(kr-1)(kr)(r=1,2,…,i),從而式(14)成立。

(14)

由式(8.2)可知式(15)成立。

(15)

通常情況下取初始抖動界N0=0,則由式(13)和式(14)可得

(16)

由式(16)可得

(17)

證畢

這就意味著切換是任意的,因此可以得到以下推論。

推論 1考慮MB-NCS式(7),若存在正實數標量λ<1，μ=1和適當維數的矩陣Λ1=Λ2=Λ,使得不等式

(18)

成立,則式(7)表示的MB-NCS在任意的切換規則下都是指數穩定的且具有指數收斂率λ。

注 4從推論1可知,任意切換規則下的切換系統是平均駐留時間方法的一種特殊情況,因此比平均駐留時間方法具有更強的保守性。

3　控制器設計

定理 2對于給定的正實數標量λ<1和μ≥1,若存在適當維數的矩陣X,V,Mi和Ni(i∈Σ)使得不等式

(19.1)

(19.2)

(19.3)

(19.4)

證明由引理2,式(8.1)可以寫成

(20)

(21)

整理后,得

(22)

對式(22)分別左乘diag{Y-T,Y-T,Y-T,Y-T},右乘diag{Y-1,Y-1,Y-1,Y-1},得

(23)

令X=Y-1,M1=XTP1X,V=KX,N1=XTQ1X,則式(23)可以寫成

(24)

因此,式(19.1)成立,且可以得到控制器的增益為K=V·X-1;同理,令M2=XTP2X,N2=XTQ2X可以得到式(19.2)。下面來證明(19.3)。

由式(8.2)可得

(25)

不等式兩端同時左乘diag{Y-T,Y-T},右乘diag{Y-1,Y-1},可得

(26)

令Mi=Y-TPiY-1,Ni=Y-TQiY-1,Mj=Y-TPjY-1,Nj=Y-TQjY-1得

(27)

因此,式(19.3)成立。式(19.4)已經在第2部分進行了證明,這里不再贅述。

證畢

4　仿真驗證示例

此部分將利用一個例子來仿真驗證所設計的方法的有效性,并對所得到的仿真結果進行分析。考慮如下形式的離散時間MB-NCS:

其標稱系統模型為

根據定理2,實數標量λ和μ要分別滿足0<λ<1和μ ≥1,令λ=0.9,μ=3.5,由式(19)可以計算出

K=[-0.720 0-0.380 0]

圖2　切換序列SW1

在圖2所示的切換序列SW1中,系統首先駐留在子系統1上兩個采樣周期的時間,然后切換到子系統2上并駐留兩個采樣周期的時間,接著系統又切換回子系統1上運行10個采樣周期的時間,以此類推,直到系統運行完50個采樣周期的時間為止。因此,可以計算出系統駐留在子系統1上(即系統不使用網絡)的總的采樣周期為

(28)

系統駐留在子系統2上(即系統使用網絡)的總的采樣周期為

(29)

利用TrueTime工具箱進行仿真研究,所使用的TrueTime工具箱版本為TrueTime-2.0-beta7。網絡參數設置如下:①網絡類型:CSMA/CD (CAN);②數據發送率:512 bits/s;③最小數據幀長度:80bits。TrueTime仿真平臺結構如圖3所示。假定系統的初始條件為x(0)=[5-5]T,系統的狀態響應和控制信號分別如圖4和圖5所示。

圖3　TrueTime仿真結構圖

圖4　系統的狀態響應　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　圖5　控制信號

從圖4和圖5中可以看出,本文所設計的控制算法能使系統快速地收斂到平衡點處,并且控制信號是有界的,這說明本文設計的算法是可行的。

基于模型的設計方法的初衷是為了在保證系統穩定的前提下盡可能地減少系統對網絡帶寬的占用。在切換序列SW1下,系統通過網絡傳輸的數據量的減少量可以用式(30)進行計算:

(30)

式中,d1和d2分別對應式(28)和式(29)中的值。為了進一步減少系統對網絡帶寬的占用,可以將系統駐留在子系統1上的時間盡可能地延長,這就意味著系統處在開環狀態的時間延長,那么系統的性能則會由于控制器長時間無法得到被控對象的真實狀態而下降,因此系統的平均駐留時間必須大于τa=6。考慮一種極端的情況,即系統駐留在子系統2上的時間為1個采樣周期,而駐留在子系統1上的時間為49個采樣周期,此切換序列稱為SW2,如圖6所示。

圖6　切換序列SW2

在圖6所示的切換序列SW2下系統的狀態響應如圖7所示。其中x1a和x2a是在切換序列SW2下系統的狀態,而x1和x2則是系統在切換序列SW1下的狀態。為了能看清系統狀態的收斂過程,將k=4與k=9之間的部分進行了放大處理。

圖7　系統在切換序列SW2下的狀態響應

從圖7可知,系統在切換序列SW2下的狀態響應與在切換序列SW1下的狀態響應相比,系統的性能有一定的降低;此時系統通過網絡傳輸的數據量的減少量由式(30)可得

(49/50)×100%=98%

在此切換序列中,系統延長了駐留在子系統1上的時間,在切換序列SW3下系統的狀態如圖9所示。為了能看清系統狀態的收斂過程,將k=5與k=9之間的部分進行了放大處理。

圖8　切換序列SW3

圖9　系統在切換序列SW3下的狀態響應

其中x1b和x2b是系統在切換序列SW3下的狀態,而x1和x2則是系統在切換序列SW1下的狀態。從圖9可以看出,系統在切換序列SW3下的性能同切換序列SW1下的性能相比有所下降,但依然可以使系統穩定。在切換序列SW3下系統通過網絡傳輸的數據量的減少量由式(30)可得

(35/50)×100%=70%

下面來分析一下在切換序列SW1,SW2和SW3下的帶寬節省情況,其帶寬節省對比如圖10所示。從圖中可以看出,切換序列SW1與SW2相比,由于切換序列SW2延長了系統駐留在子系統1上的時間,因而系統對網絡帶寬的節省將大幅提高,但結合圖7可知,這種提高是以犧牲部分系統性能為代價的。切換序列SW1與SW3相比,雖然兩者都具有相同的平均駐留時間,但在切換序列SW3下系統對網絡帶寬的節省要大于切換序列SW1下系統對網絡帶寬的節省;此時兩者雖然具有相同的平均駐留時間,但切換序列SW3延長了系統駐留在子系統1上(即不使用網絡)的時間,因而其帶寬的節省會有所提高,但由于延長了系統開環運行的時間,因而其性能會有所下降,結合圖9可知,切換序列SW3下帶寬節省的提高是以犧牲部分系統性能為代價的。

因此,本文所提出的用平均駐留時間方法來分析和設計MB-NCS的方法,不僅可以得到使系統穩定的控制器,而且還可以在很大程度上降低系統對帶寬的使用。另外,即使對于同一平均駐留時間而言,不同的切換序列下系統的性能和帶寬的占用也不盡相同。如果對系統的性能要求比較高,則可適當延長系統駐留在子系統2上的時間,如切換序列SW1;若對網絡帶寬節省的要求比較高,則可以適當延長系統駐留在子系統1上的時間,如切換序列SW3;但在系統的平均駐留時間必須大于τa=6的前提下,當系統駐留在子系統1上的時間為49個采樣周期而駐留在子系統2上的時間為1個采樣周期時,帶寬的節省達到最大,如切換序列SW2;與此相反,當系統駐留在子系統2上的時間為49個采樣周期而駐留在子系統1上的時間為1個采樣周期時,系統的性能達到最好。因此,在實際的系統設計中,可以根據對系統性能和網絡帶寬的要求共同進行切換序列的選擇,這在一定程度上提高了系統設計的靈活性。

圖10　切換序列SW1,SW2和SW3下的帶寬節省對比

5　結　論

本文從切換系統的角度對基于模型的網絡控制系統進行了分析和設計。首先將MB-NCS建模為切換系統;其次,在所建立的切換系統模型的基礎上,利用平均駐留時間方法對系統進行了穩定性分析和控制器設計;最后,仿真驗證了所設計算法的有效性。本文所設計的平均駐留時間方法可以在保證系統穩定的前提下,降低系統對網絡帶寬的占用,實現了基于模型的網絡控制系統的設計初衷,對實際的系統設計具有一定的指導意義。

同時我們也注意到,為了方便專門研究平均駐留時間策略對系統的分析和設計的影響,文中并沒有考慮系統時延和丟包的影響,這勢必會增加系統分析和設計的保守性。在進一步工作中,我們將考慮時延和丟包等因素對系統分析和設計帶來的影響。

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LAM Hak-keung(1972-),男,教授,博士,主要研究方向為模糊控制、網絡控制系統、智能控制系統及計算智能。

E-mail:hak-keung.lam@kcl.ac.uk

Design of model-based networked control system:average dwell time approach to switched control

ZHAO Shun-li1, YIN Xun-he1, WEI Xue-ye1, LAM Hak-keung2

(1. School of Electronic and Information Engineering, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China;2. Department of Informatics, King’s College London, London WC2R 2LS, U. K.)

The model-based networked control system (MB-NCS) is investigated by the average dwell time approach. The MB-NCS has attracted extensive attention of scholars since it is proposed, due to its capacity of reducing the usage of network bandwidth on the premise of guarantying the system performance. Firstly, several usually used strategies for reducing the usage of network bandwidth in networked control systems are summarized. Secondly, the MB-NCS is modeled as a switched system, and the sufficient condition is given by using the average dwell time approach based on the switched model. Finally, the stabilizing controller is designed with the Lyapunov stability theory and linear matrix inequality (LMI) method. A simulation demonstrates the effectiveness of the proposed scheme.

model-based networked control system (MB-NCS); switched systems; average dwell time; lyapunov stability; linear matrix inequality (LMI)

2015-07-23；

2016-01-04；網絡優先出版日期：2016-02-18。

國家自然科學基金(61172022)；中國外國專家局高端外國專家項目(GDW20151100010)資助課題

TP 273

A

10.3969/j.issn.1001-506X.2016.08.28

趙順利(1984-),男,博士研究生,主要研究方向為網絡化控制系統。

E-mail:franklinzhao@bjtu.edu.cn

尹遜和(1966-),男,教授,博士,主要研究方向為智能電網中的通信與控制、網絡控制系統理論與應用、控制理論在網絡通信中的應用。

E-mail:xhyin@bjtu.edu.cn

魏學業(1963-),男,教授,博士,主要研究方向智能控制理論與技術、物聯網技術及其應用。

E-mail:xywei@bjtu.edu.cn

網絡優先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20160218.1210.006.html