二階輸出反饋滑模極值搜索控制方法

左　斌, 李　靜, 張　雷

(1. 北京航空航天大學儀器科學與光電工程學院, 北京 100191; 2. 海軍航空工程學院戰略導彈工程系,山東 煙臺 264001; 3. 海軍航空工程學院研究生管理大隊, 山東 煙臺 264001)

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二階輸出反饋滑模極值搜索控制方法

左斌1, 李靜2, 張雷3

(1. 北京航空航天大學儀器科學與光電工程學院, 北京 100191; 2. 海軍航空工程學院戰略導彈工程系,山東 煙臺 264001; 3. 海軍航空工程學院研究生管理大隊, 山東 煙臺 264001)

針對一類單輸入單輸出(single-input-single-output,SISO)非線性極值系統的控制問題,提出了一種二階輸出反饋滑模極值搜索控制方法。考慮到此系統的狀態量不可測,利用斜坡函數作為輸出量的參考跟蹤信號,以系統的輸出跟蹤誤差及其微分信號構建切換函數,設計出二階滑模極值搜索控制律。穩定性分析證明了在任意初始條件下,該方法可使系統的輸出量全局收斂至其期望極值的任意小鄰域內且所有狀態量均是一致范數有界。仿真結果驗證了該方法的有效性。

非線性極值系統; 輸出反饋; 極值搜索控制; 二階滑模控制

0　引　言

在許多的實際系統中,系統的參考輸入量與輸出量之間會存在一定的極值關系,但由于系統可能存在未建模動態、參數時變、外界干擾等因素的影響,導致這種極值關系是部分已知或者是未知的。然而,極值搜索控制方法[1-2]的出現解決了此類具有不確定性的非線性極值系統的控制問題。目前,極值搜索控制方法被廣泛地應用到光伏系統功率轉換極值化控制[3-4]、能量電池的最大功率點跟蹤控制[5]、多關節魚類機器人控制[6]、FTU(Frascati Tokamak Upgrade)的射頻加熱最優化控制[7]、微小型機電系統(micro-electromechanical systems,MEMS)振動陀螺儀模式匹配自動控制[8]、視覺放大器控制系統設計[9]等方面。

目前,所有的極值搜索控制方法[10-14]都是基于狀態反饋方式進行設計的,而對于狀態量不易測量或者不可測量的非線性極值系統而言,現有的極值搜索控制方法將無法直接應用。為了在不增加控制系統設計難度的情況下,確保實現對被控對象的極值控制,本文針對狀態不可測的單輸入單輸出(single-input-single-output,SISO)非線性極值系統,提出了一種基于輸出反饋的二階滑模極值搜索控制方法。該方法不要求被控對象的狀態量可測,僅利用斜坡函數作為輸出量的參考跟蹤信號,以系統的輸出跟蹤誤差及其微分信號構建切換函數,設計系統的滑模極值搜索控制律,不僅可以實現對被控對象的極值控制,更可以提高控制方法的魯棒性。穩定性分析證明了無論在任何初始條件下,二階輸出反饋滑模極值搜索控制方法都可使系統的輸出量全局收斂至其期望極值的任意小鄰域內且所有狀態量均是一致范數有界。

1　問題闡述

SISO非線性極值系統為

(1)

假設 1針對SISO非線性極值系統式(1),存在控制律u使得狀態量x1,x2以及輸出量y均穩定且有界。

假設 2在SISO非線性極值系統式(1)中,光滑函數g(x1,x2)存在非零下界,即

式中,G為下界值。

式中

控制目標:針對SISO非線性極值系統式(1),設計一種基于輸出反饋的二階滑模極值搜索控制方法,使得閉環控制系統穩定,且系統的狀態量和輸出量均一致范數有界,輸出量y全局收斂至極大值y*的有界鄰域內。

2　二階輸出反饋滑模極值搜索控制方法設計

定義e為輸出量y的跟蹤誤差,其具體形式為

(2)

式中,yr為輸出量的參考信號,不失一般性,可定義其為斜坡函數,即

(3)

式中,kr>0為設計參數;yr的初值為yr(0)=yr0。

對跟蹤誤差e求取一階微分,并將式(1)、式(3)代入,可得

(4)

式中

同時,對跟蹤誤差e求取二階微分,可得

(5)

式中

(6)

(7)

(8)

(9)

評注 1由于函數h是關于狀態量x1的光滑極值函數,且Γ0(x1,x2)，f(x1,x2)和Γ2(x1,x2)為關于狀態量x1和x2的局部Lipschitz連續函數,根據Lipschitz函數的定義可知,假設4可以得到滿足。

根據式(6)和式(8),可得

(10)

根據假設2和假設3,對于?x1?DΔ,可得

(11)

針對SISO非線性極值系統(1),設計基于輸出反饋的二階滑模極值搜索控制律u為

(12)

式中,Σ為切換函數,如式(13)所示;ρ為調節函數,如式(14)所示;sgn(·)表示符號函數;ε>0為設計常數。

切換函數Σ設計為

(13)

式中,λ>0為設計常數。

調節函數ρ設計為

(14)

式中,β>0為衰減指數;δ>0為設計的任意小常數。

評注 2雖然在K∞函數φ1，φ2，φ3，φ4，φ5和φ6中涉及到狀態量x1和x2,但是基于被控對象式 (1),應用所設計的控制律u式(12)和范數觀測器,可以在無需狀態量x1和x2可測的情況下,實現函數φ1，φ2，φ3，φ4，φ5和φ6。

3　控制系統的穩定性分析

針對SISO非線性極值系統式(1),當采取如式(12)～式(14)所示的控制律u時,構成的閉環控制系統框圖如圖1所示。

圖1　SISO非線性極值搜索控制系統框圖

定理 1針對SISO非線性極值系統式(1),采用控制律u如式(12)～式(14)所示,那么在有限的時間內,系統的狀態量、輸出量和切換函數信號都不會出現發散現象,且切換函數Σ會運動到滑模面kε,即Σ(t)=kε,其中k為正整數。

證明設計如下的積分型函數S1(Σ)和S2(Σ):

當Σ(t)≥0時,設計S1(Σ)為

(15)

當Σ(t)<0時,設計S1(Σ)為

(16)

同時,設計S2(Σ)為

(17)

函數S1(Σ)和S2(Σ)的曲線如圖2所示。

由圖2可知,函數S1(Σ)和S2(Σ)始終滿足S1(Σ)≥0，S2(Σ)≥0,而且它們關于零點都具有對稱性,在此主要對式(15)和式(17)進行分析。

對S1(Σ)和S2(Σ)分別求取一階微分,并代入式(4)、式(5)、式(12)、式(13)和式(14),可得

圖2　函數S1(Σ)和S2(Σ)的曲線圖

(18)

(19)

當sgn(Γ3)<0時,考慮到λ>0、調節函數ρ≥0和-|Γ2|≤-kG,并將式(7)、式(9)、式(10)、式(14)代入式(18),可得

(20)

當sgn(Γ3)>0時,存在

(21)

由于切換函數Σ是連續函數,而結論“當t∈[t3,t1)時,Σ(t)=kΣε”與前提假設“在時刻t1∈[0,∞)時,切換函數Σ(t)會出現發散現象”是相互矛盾的。因此該假設不成立,Σ(t)，e(t)和y(t)在有限時間內都不會出現發散現象。

(22)

定義如下的Lyapunov函數:

(23)

對式(23)求取一階微分,并代入式(4)、式(5)和式(13),可得

(24)

(25)

(26)

證畢

證明(1) 采用反證法,證明狀態量x1將在有限時間內全局收斂至鄰域DΔ內。

顯然,結論“當時間t足夠大時,狀態量x1會進入鄰域DΔ內”與前提假設“狀態量x1在所有時間內都不能進入鄰域DΔ內”是相互矛盾的。因此,狀態量x1必將在有限時間內全局收斂至鄰域DΔ內,輸出量y也將趨于極大值y*的很小鄰域內。

(2) 證明輸出量y在極大值y*附近的振蕩幅值是關于參數ε2的無窮小量。

針對輸出量y在極大值y*附近的振蕩問題,分兩種情況進行討論:情況1，狀態量x1一直在鄰域DΔ內進行振蕩運動;情況2，狀態量x1的振蕩運動會逃出鄰域DΔ,然后再返回進入鄰域DΔ內。

情況 2如果狀態量x1的振蕩運動會逃出鄰域DΔ,然后再返回進入鄰域DΔ內,那么就需要證明輸出量y在此以外的振蕩范圍也是關于參數ε2的無窮小量。

由于參考軌跡yr是嚴格遞增的,且輸出量y存在極大值y*,那么一定存在時間t*>0,使得sgn(e)=-1。由切換函數Σ的定義式(13),可以推導出

(27)

假設當時刻t=t1(t1>t*)時,狀態量x1從鄰域DΔ內運動到其邊緣處。對于?t>t1,存在

(28)

(29)

將式(28)與式(29)相減,可得

(30)

求解微分方程式(30),可得

(31)

由式(31),可得

(32)

設定t2(t2>t1>t*)為切換函數Σ達到下一個滑模面的時刻,t3(t3>t1>t*)為切換函數Σ從鄰域DΔ外部再次返回鄰域DΔ邊緣的時刻。

(1) 如果t3>t2>t*,則可將時間分為兩個階段t∈[t1,t2)和t∈[t2,t3]。

根據式(4)、式(5)、式(12)、式(13)和式(14),可得

(33)

式中,t*可以適當大,使得|y|exp(-βt)→0。

由于切換函數|Σ|是遞增函數,對于?t∈[t1,t2),存在

(34)

綜合t∈[t1,t2)和t∈[t2,t3]的分析情況,可以得到對于?t∈[t1,t3],|y(t)-y(t1)|=O(ε2)。

(2) 如果t2≥t3>t*,分析輸出量y從t1運動到t3的情況。由于此時切換函數Σ不處于滑模面上,那么對于?t∈[t1,t3],輸出量y的運動情況可以同比于式(1)中t∈[t1,t2)的情況,因而,可知此時|y(t)-y(t1)|=O(ε2)。

證畢

4　仿真分析

考慮如下的SISO非線性極值系統:

(35)

式中,x1∈R和x2∈R為系統的狀態量;u∈R和y∈R分別為系統的輸入量和輸出量。此非線性極值系統模型源于汽車的ABS控制系統[16],當x1=2時,輸出量y存在極大值y*=2.5。

圖3　狀態量x1的仿真結果(本文方法)

圖4　狀態量x2的仿真結果(本文方法)

圖5　輸出量y的仿真結果(本文方法)

圖6　控制量u的仿真結果(本文方法)

采用文獻[16]的方法,選取參數C=2、σ=0.5t,在相同的初始條件下,得到仿真結果分別如圖7～圖10所示。

圖7　狀態量x1的仿真結果(文獻[16]方法)

圖8　狀態量x2的仿真結果(文獻[16]方法)

圖9　輸出量y的仿真結果(文獻[16]方法)

圖10　控制量u的仿真結果(文獻[16]方法)

圖11　狀態量x1的仿真結果

如圖11和圖12所示,雖然,被控對象(35)受到各種干擾,但在原有控制器的作用下,輸出量y仍然能夠較快速度的收斂至極大值y*的有界鄰域內,由此說明本文方法確實具有很好的魯棒性。

圖12　輸出量y的仿真結果

5　結　論

針對SISO非線性極值系統,當狀態量不具備可測性時,提出了一種基于輸出反饋的二階滑模極值搜索控制方法。該方法利用斜坡函數作為輸出量的參考跟蹤信號,以跟蹤誤差及其微分信號設計切換函數,并構建相應的周期滑模面,從而確保切換函數在任何時刻都可以全局收斂至滑模面上,提升了控制方法的魯棒性。該方法屬于一種在線反饋控制方法,在許多狀態量不易測量或者不可測量的極值系統中有著廣泛應用前景。

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Output-feedback extremum seeking control method with second-order sliding mode

ZUO Bin1, LI Jing2, ZHANG Lei3

(1. School of Instrument Science and Opto-Electronics Engineering, Beihang University, Beijing 100191, China;2. Department of Strategic Missile Engineering, Naval Aeronautical and Astronautical University, Yantai 264001, China;3. Graduate Students’ Brigade, Naval Aeronautical and Astronautical University, Yantai 264001, China)

A output-feedback extremum seeking control method with second-order sliding mode is proposed for a class of single-input-single-output (SISO) nonlinear extremum systems. Considering the system’s states are unmeasurable, the control method uses a simple ramp time function as the reference signal of the system’s output, constructs the sliding mode manifold by using the output tracking error and its derivative, and designs the extremum seeking control law with second-order sliding mode. The stability analysis shows that a nonlinear extremum system with the proposed control method is possible to achieve an arbitrarily small neighborhood of the desired optimal point under all initial conditions, and all the states in the closed-loop system remain uniformly bounded. Simulation results are presented to illustrate the good performance of the proposed control method.

nonlinear extremum system; output-feedback; extremum seeking control; second-order sliding mode control

2015-04-04；

2015-07-01；網絡優先出版日期：2015-12-29。

國家自然科學基金(60674090)；中國博士后科學基金(2013M542480)資助課題

TP 273.23

A

10.3969/j.issn.1001-506X.2016.08.27

左斌(1979-),男,助理研究員,博士,主要研究方向為非線性控制、智能控制。

E-mail:zuobin97117@163.com

李靜(1982-),男,講師,博士,主要研究方向為非線性控制、迭代學習控制。

E-mail:lijing7292013@163.com

張雷(1988-),男,博士研究生,主要研究方向為非線性控制、極值搜索控制。

E-mail:zhanglei090@aliyun.com

網絡優先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20151229.1153.006.html