新課標下高考三角函數考點追蹤

杜巖（甘肅省涇川縣第一中學）

新課標下高考三角函數考點追蹤

杜巖
（甘肅省涇川縣第一中學）

課標卷與大綱卷高考數學試題有較大變化，其中三角函數部分比較明顯，追蹤新課標下高考三角函數試題，進行仔細分析，研究考點變化，總結高考規律，必將提高復習的實效性。

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一、新課標下三角函數試題的特點

新課標卷高考數學文理科試題差異明顯，文科注重考查基礎知識，理科則是知識與能力考查并舉；試題的呈現形式靈活多樣，沒有固定的模式；分值大致穩定在20分左右，必做題15分左右，選做題5分左右；在第（17）題出現三角函數題，一般都會對學生的個性品質和心理素質進行考查。

二、新課標下三角函數試題的考點追蹤

1.三角函數的概念、圖象與性質

三角函數的定義，五點法作圖，圖象變換，根據部分圖象求函數解析式；值域（最值），周期性，奇偶性，單調性，圖象的對稱性；含有參數的三角函數問題；在知識交匯處命題，綜合性較強，思維含量較高，需要仔細審題，方可準確解答。

點評：實際問題建立三角函數模型，由解析式選擇相應圖象，是選擇題考應用題的亮點，難點是準確理解題意并寫出正確的函數解析式。

考情匯總：2007至2015年均考到，出現在選擇題、填空題中。

2.三角恒等變換

恒等變換是三角函數的核心內容，是高考的熱點，每年必考。試題靈活性大，能力要求較高。常常以三角函數式的化簡、求值形式出現，常與三角函數的圖象、性質結合，也與解三角形聯系在一起考查。考查同角三角函數的基本關系式，誘導公式，兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式及其變形應用。

【例2】設當x=θ時，函數f（x）=sinx-2cosx取得最大值，則cosθ=____________.

點評：兩種方法，各有特點，法一比較靈活，法二思路簡單，運算麻煩。

考情匯總：2007至2015年均有考查，大多數出現在小題中。3.三角形中的三角函數問題

這類題常考常新，亮點紛呈。常以三角形為載體，考查正、余弦定理，三角形面積公式，平面幾何中重要的定理，三角公式的靈活運用，凸顯三角函數的實用性。在（17）題中出現時，已成為解答題能否取得高分的分水嶺，與以往的三角題相比，突出思維含量，減少了運算量。對恒等變換、邏輯推理、數據處理以及遇到障礙時繞過障礙重新選擇思路等方面的能力要求較高，同時還有函數與方程思想，考生的個性心理品質的考查。

思路一，在△ADC和△ADB中由余弦定理求出AC和AB，在△ABC中利用余弦定理求解，運算量大，甚至會遇到計算障礙，仔細計算才能得出結果∠BAC=60°。

思路二，建立如圖所示的坐標系，可用兩向量的夾角公式求解，但是在計算中也會遇到和思路一同樣的麻煩。

點評：本題是檢測考生的心理素質的經典題，這也是新課標下高考三角函數題的顯著特點，《考試說明》中明確指出當考生遇到運算障礙時要能調整運算思路繞過障礙，法三是充分發揮了平面幾何中作輔助線的方法，另辟蹊徑，巧妙求解，值得重視。

【例4】已知a，b，c分別為△ABC的三個內角A，B，C的對邊，a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，則△ABC面積的最大值為_________。

當且僅當2B-30°=90°，B=60°時S△ABC取最大值。

點評：三角形面積最值的求解策略基本有兩種方法：建立函數模型求解，利用不等式求解。法一通過解三角形，建立關于三角函數模型，利用三角函數的性質求最值，滲透函數思想；法二借助于基本不等式來求最值，不失為上策。

考情匯總：2007至2015年均可見到解三角形問題，選擇題、填空題、解答題中都出現過。

4.坐標系與參數方程

新課標下對三角函數的考查也經常出現在三選一的解答題（23）題中，也是大多數考生首選的題。常見曲線的參數方程，極坐標方程都與三角函數緊密相關，一般考生能順利解答第一問，第二問就比較困難。若能準確理解參數方程中參數的幾何意義，極坐標方程的意義，充分發揮三角函數的工具性作用，則可以輕松求解，穩妥得分。

（1）寫出曲線C的參數方程，直線l的普通方程；

直線l的普通方程為2x+y-6=0。

（1）求C2與C3交點的直角坐標；

解析：（Ⅰ）略。

（Ⅱ）曲線C1的極坐標方程為θ=α（ρ∈R，ρ≠0），（其中0≤α＜π）

點評：這兩道題都涉及了求兩動點之間距離的最值問題，例5利用橢圓的參數方程借助于三角函數求最值；例6只需要將曲線C1的普通方程化成極坐標方程θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用極坐標方程求解顯得簡便。

考情匯總：2007至2015，每年在（23）中均出現，而且靈活性越來越大，不是想象的送分題了，解答須謹慎。

三、備考建議

新課標下的高考試題既肩負著為高校選拔優秀新生的重任，又指引著高中階段的教學。研究新課標，研究新考綱，研究高考題是高考備考的基本環節。高考試題變化莫測，如果仔細研究高考試題，還是可以發現高考規律的，認真研究近幾年新課標全國卷的數學試題，在復習中可以起到事半功倍的效果。筆者認為凡是以往考過的經典試題就值得仔細研究，反復琢磨，直到弄清出題人的意圖；合理利用復習資料，注意提取精華，充分挖掘課本中可能出現的高考題；注重思維訓練，發展學生的智力，提高分析問題與解決問題的能力，提煉數學思想與方法。真正把新課改與新高考結合起來，切實提高學生的數學素養，以不變應萬變，方可在高考中取得可喜的成績。

孫琳.新課標下高考中的三角函數解題研究［D］.西北大學，2015.

·編輯薛直艷