剛—柔支腿對門式起重機撓度的影響

張大鵬　程文明　肖武能

摘要：在工程實際應用中，針對檢測砝碼重量不足的情況下，評估起重機結構的安全可靠性是檢測中急需解決的問題。主梁撓度是起重機整機試驗中最重要檢測指標，因此，定量地掌握結構參數對主梁撓度的影響尤為重要。對于大跨度大噸位門式起重機，以往的解析計算都沒有考慮一剛一柔支腿對主梁撓度的影響。文中針對通用大跨度大噸位門式起重機建立數學模型，在考慮主梁彎矩和支腿彎矩的耦合作用下，基于變分原理求得了門架結構主梁跨中撓度的解析解。然后設計實驗模型，在WEW-600B型試驗機上進行實驗。實驗數據表明，門架結構撓度的解析解較原有的計算方法，計算精度有很大提高，為門架結構的設計和檢驗提供了理論依據。

關鍵詞：門式起重機；撓度；解析解；結構剛度

中圖分類號：TH213 文獻標識碼：A

起重機械是國民經濟中重要的基礎設備，應用廣泛，全國在用的起重機約220萬臺，其安全問題為人們歷來所關注。自2007年鐵嶺清河特種鋼廠發生32人死亡的特大事故后，起重機安全問題受到人們的高度重視。根據《中華人民共和國特種設備安全法》的規定，起重機械在使用前要進行監檢（或首檢），使用中也需要定檢。起重機在安全檢測時，主梁在額載下的撓度是檢驗的重要項目，以此判斷金屬結構的安全狀態。因此，通過分析起重機結構參數對跨中撓度的影響，獲得載荷與撓度的關系具有重要意義。而門式起重機由于支腿參與變形，其撓度的解析式更具有一般性。國內外許多學者對起重機強度和剛度進行了卓有成效的研究與探索。郭建生給出了雙剛支腿彎矩對跨中撓度的影響及線性剛度比系數k的取值范圍，具有重要意義，但是該文沒有考慮支腿不同慣性矩情況，且該文獻的算式（1）中的“2k+1”應為“2k+3”。周義清等采用變分原理研究了大撓度梁，求解精度較高，但限于直梁。葉列平等定義了廣義結構剛度，用能量來表達結構構件重要性，具有較高的學術價值，但其未能區分彈性能儲存量與構件重要性的關系。陳玉驥等依據勢能變分原理論述了大撓度梁內力、位移與荷載的關系，只針對梁結構。

陳長華等基于能量變分原理給出了考慮剪力滯影響的撓度公式，并與傳統的撓度公式和初等梁撓度公式進行了比較，分析了剪力滯對箱梁撓度的影響，但僅限于直梁且缺少實驗驗證。張義民等研究了設計參數的改變對梁結構剛度可靠性的影響，提出了剛度可靠性靈敏度分析的計算方法，文獻也通過可靠度指標考量了關鍵桿件對整體結構的影響，并進行了優化計算，上述文獻既有重要的理論價值，也具有重要的工程實際意義。Holst C.等通過二元多項式模型來分析主梁撓度，得出主梁撓度主要依賴于載荷大小和位置，結合實驗給出了很有意義的門架結構主梁撓度曲線，但沒有考慮不同左右支腿慣性矩對撓度的影響，及左右支腿慣性矩不同門架結構會產生側移的因素。Lee等采用地面激光掃描（TLS）對梁類結構撓度變形進行估算，結合有限元法提出了一種自動計算模型，推斷梁結構的應力。但是它很難確定梁的離散化程度，這依賴于結構的邊界條件、荷載條件、跨度和變形等等。Castillo E.等通過目標函數分析結構參數的靈敏度，其參考意義局限于橋式起重機。Pinca CB.等通過有限元對起重機結構承載后的應力應變進行了分析，并給出了參量之間的關系，但是沒有考慮加載歷程、疲勞程度、制造工藝對計算結果的影響。大跨度大噸位通用門式起重機兩側支腿通常制成一剛一柔，因此，針對大跨度大噸位門式起重機，在考慮主梁彎矩、支腿彎矩的耦合作用下，基于變分原理計算工程中常見的門架結構主梁跨中撓度，對結構撓度的靈敏度進行定性和定量的分析，對門架結構的變形規律進行有益探索，具有重要的工程應用價值。

1 主梁下撓度的分析

理論上起重機主梁的下撓度應通過分別計算門架平面和支腿平面內的靜撓度相疊加而獲得，但由于支腿平面內各構件寬度小，剛度大，變形不大，對總的靜撓度貢獻很小，故可以忽略不計。因此，只在門架平面內進行分析計算。變截面支腿通常根據辛普生數值積分公式進行折算，求得折算慣性矩。此時門架結構簡化為3個梁組成。設主梁CD為梁①，左側支腿AC為梁②，右側支腿BD為梁③。梁①跨度為l，梁②和梁③長為h，如圖1所示。圖中虛線是門架結構變形前的位置。F為作用在跨中點K的集中載荷，梁②和梁③的軸向力為N₂，N₃；設主梁和左、右側支腿在門架平面內的慣性矩為I_i（i=1，2，3），若I₂≠I₃，則門架結構有水平側位移，設u_K為K點的水平側移量，v_K為K點的下撓值。設M₂為梁②在C點對主梁的彎矩，M₃為梁③在D點對主梁的彎矩；設g₂，g₃分別為梁②和梁③的撓曲函數。則對梁②有：

將邊界條件化為（14）和（15）式代人（17）式，并且（17）式應在約束條件（16）式下變分取得駐值。通過引入Lagrange乘子將條件變分問題化為無條件變分問題，得到一個新泛函，并且由這個新泛函一階變分等于零，得到小變形彈性問題的基本方程和定解條件。現引入Lagrange乘子ζ，并取一階變分等于零，（17）式變為：

2 實驗

實驗在微機控制液壓萬能實驗機WEW-600B型試驗機上進行。制作起重機結構模型，安放在試驗機上，跨中加載，如圖2所示。試件材料為Q235。實驗室溫度為25℃。為減小局部加工痕跡影響，主梁上下表面、支腿側面采用磨光工藝。采用光柵尺測量試件側移量，精度為1μm。加載速率為0.01kN/s，卸載速率為0.03kN/s。

實驗試件的參數如下：l=350mm；h=120mm；I₁-43691mm⁴；I₂=24533mm⁴；I₃=4393mm⁴。實驗示意圖，見圖2，實驗按4種工況進行：

工況1：以相同跨度和相同主梁慣性矩的簡支梁進行加載，實驗結果如圖3（a）；

工況2：門架結構底腳不加約束，以靜定工況加載，實驗結果如圖3（b）；

工況3：門架結構兩底腳外側施加約束，此時為一次超靜定工況，實驗結果如圖3（c）；

工況4：門架結構底腳與約束點留有間隙，模擬雙緣車輪在大車軌道上的間隙，在滑移到極限時受水平約束力（即輪緣與軌道接觸）約束，由門式起重機實際工況按比例縮小，實驗中取間隙為0.28mm，此時為間隙工況，實驗結果如圖3（d）。

根據式（23）計算的u_K和經典撓度計算公式（27）計算出的撓度值u_K′，列于表1。式中符號含義同上。

因為坐標系y軸向上，故所計算撓度值為撓度的相反數，為負值。由計算可知，在相同載荷下按（27）式計算梁撓度大，按（23）的撓度公式計算撓度小。以載荷為4.5kN為例，（23）式與（27）式相比，兩者計算差值0.14mm。

圖3中加載曲線與卸載曲線間的面積為結構耗散能，隨著加載循環增加，結構耗散能趨于穩定。圖3（c）中隨著加載循環次數增加，曲線重合，說明在工況3中，系統對外沒有耗散或者耗散非常微小；在工況2，4中，系統對外有耗散，工況2耗散能量大于工況4，因為工況2底腳有0.55mm的滑移量，工況4底腳滑移量到0.28mm時，便受到約束。門架結構總耗散能工況2最大，工況4次之，工況3最小。在載荷加到約4.5kN時撓度曲線出現拐點，繼續加載，撓度變化趨于穩定，直至塑性變形。不同載荷下，橋式主梁跨中應力σ_b與門式主梁跨中應力σ_g，計算值列于表2。此時試件主梁應力在140MPa左右。

根據門式起重機的工作特點，大跨度時兩側支腿通常制成一剛一柔。由于兩側支腿慣性矩不同，其實際變形必然不同步，其彈性應變能儲存也不相同。受結構形式限制，應力在結構中的分布亦不均勻。在加載初期，支腿變形很小，彎曲應變能主要儲存在主梁，隨著載荷增加，應力逐漸分布到支腿，并趨于均勻。加載初期結構變形不均勻，撓度曲線有波動，在實驗中主梁跨中應力達到140MPa時，結構彈性變形趨于穩定。曲線上端沒有屈服跡象，也說明結構處于彈性范圍。如果把勢能看成廣義力，彈性變形能增加率看成廣義流，則熵產生趨小。結構撓度增加的過程也就是熵產生減小的過程，也就是結構變形能增加的過程。

在加載起步時，門架結構剛度大，然后減小，后又增加，再減小再增加，在拐點后趨于穩定。因為實驗中應力達到140MPa左右（或載荷加到4.5kN以后），各子系統協同度增加，結構趨于穩定。不同工況不同載荷下的撓度見表3。

實驗中，工況3撓度最小，工況4和2撓度依次增加。在載荷為4.5kN時結構變形穩定，工況3的實驗值為0.361mm。按公式（27）式和（23）式計算出的撓度分別為0.446mm，0.306mm，誤差率分別為23.8%，15.1%，說明（23）式較原有公式計算精度有很大提高。但是，公式（23）沒有考慮主梁剪應力、支腿軸向壓縮和二次彎矩的影響，故計算值偏低。

結構承載后不僅產生撓度，而且產生側移（u_K），主梁水平側移量與撓度的關系，見圖4。圖中曲線22，32，42分別是工況2，3，4主梁側移量與撓度關系的曲線。圖中各工況側移量與撓度均呈非線性。工況2側移量很小，該工況底腳沒有約束，產生滑移，并消耗能量，故側移量很小，撓度較大。工況3，4底腳有約束，結構側移儲存能量，并且使能量密度趨于均勻，故側移量較大，撓度較小。工況3，4中，撓度、側移量和載荷的關系，如圖5所示。側移量與撓度同載荷也是非線性關系。工況3在加載初期結構表現剛度很大，這時剛度是局部接觸剛度的體現。實驗中為圓柱與彈性半空間接觸，其接觸剛度c為：式中：v為泊松比，金屬材料約為0.3；B為接觸寬度。因此加載初期結構剛度較大。隨著加載繼續，主梁彎曲，結構剛度變小，此時主梁慣性矩主導剛度變化，這階段撓度增加幅度大，側移量增加緩慢；繼續加載，載荷在2～3.5kN間，側移量與撓度趨于線性，并同步增加，此階段側移量加大。側移使得結構的彈性變形能重新分布，串聯系統按各子系統剛度的倒數成比例分布，并聯系統按各子系統剛度比例分布，并使系統總勢能最小。繼續加載至4.5kN后，各子系統協同性增加，結構趨于穩定，結構剛度穩定，直至塑性變形。此時剛度表現為結構的整體剛度。

工況4與實際情況最吻合，門式起重機大車輪緣比大車軌道寬幾十毫米。由于門架結構自重使大車輪與軌道間產生靜摩擦力，初始狀態為一次超靜定工況。當載荷增加到一定數值時，底腳開始滑移，系統對外做功；當滑移使輪緣與軌道側面間隙消失，底腳再次受到軌道的約束，又變為一次超靜定工況。門式起重機工作時是否處于超靜定工況，取決于靜摩擦力是否大于底腳的水平分力。即：式中：n為門式起重機自重是額定起重量的倍數；μ為輪軌間摩擦因數；其它符號含義同上文。n取決于門式起重機的結構形式、起升高度、跨度、工作級別等多個因素，通常n取2～7。μ取決于輪軌材料、作業環境等因素，如軌道有無油污，是否室外雨天作業等情況，因此取值范圍較大，通常取0.1～0.33。兩側支腿不同，正壓力就不同，靜摩擦力也就不同，在加載時，一定是一側底腳先滑移，該輪緣接觸鋼軌后另一側又產生滑移，直至兩側底腳都受到約束，變為超靜定工況；當然，也可能是交替滑移，當一側抵觸鋼軌后，另一側經過滑移抵觸鋼軌。同時，撓度載荷曲線還受門式起重機初始位置的影響，因此撓度必然會產生不確定的波動。門式起重機實際工作情況較實驗工況4更復雜，通過測量確定底腳受固定約束前的滑移過程、滑移量及摩擦力是其關鍵。綜上分析，可以按（23）式計算出撓度加上由底腳滑移引起勢能減小量所產生的撓度來計算底腳受約束前的撓度；底腳受固定約束后按（23）式計算。

某林場門式起重機采用Wey-50，Wey-100型電阻應變式位移傳感器測量撓度，其分辨能力可達到0.02mm，實測數據如表4所示，實測跨中載荷與撓度的關系如圖6所示。

由有限元計算可知實際在用起重機起吊額定載荷時，主梁應力一般在110MPa以內。實測數據表明，門架結構剛度變化是初始較大，然后減小又增加，而后再減小。與拐點前實驗數據變化規律相吻合。說明實驗結果較好地反映了門架結構的變形規律，進而驗證了本文理論推導的正確性。該門機用原有公式計算的撓度為15.67mm，實測值為13.90mm，計算誤差為12.73%。實測撓度包含了大車軌道與地基間的間隙和大車輪軸在門架平面豎向的裝配間隙，由前面分析可知大車輪軸在主梁縱向上的裝配間隙也可引起撓度增大。該門架結構實際撓度要比實測值小，即該門架結構實際剛度要比實測結果好，考慮到上述因素，撓度計算值與實際值的差還會大些。撓度計算值沒有考慮支腿對主梁的彎矩，故撓度計算值較大，若采用公式（23）計算，將縮小計算誤差。

3 結論

通過解析計算與實驗可得到以下結論：門架結構處于一次超靜定工況時，剛柔支腿對主梁跨中撓度影響很大，間隙工況次之，靜定工況最小。當載荷達到一定值時，載荷撓度曲線會產生拐點，主梁跨中應力接近140MPa時，結構趨于穩定。考慮了剛柔支腿影響的撓度解析解較原有的計算方法，計算精度提高8.7%左右。跨中撓度的解析解對分析結構各參數與撓度的關系也具有重要意義，為門架結構的設計和檢驗提供了理論依據及有益參考。下一步應考慮主梁剪力、兩側支腿軸向力和彎矩產生的影響。