地方性本科院校解析幾何教學(xué)中數(shù)學(xué)建模思想的滲透*

劉卉　　黃可坤（嘉應(yīng)學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 梅州 514015）

地方性本科院校解析幾何教學(xué)中數(shù)學(xué)建模思想的滲透*

劉卉黃可坤*
（嘉應(yīng)學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 梅州 514015）

分析了地方性本科院校解析幾何教學(xué)中存在的問(wèn)題，提出在其中融入數(shù)學(xué)建模思想，并給出幾點(diǎn)方法：1.選擇合適的教材；2.增加實(shí)踐教學(xué)課時(shí)；3.設(shè)計(jì)有關(guān)解析幾何的數(shù)學(xué)建模開(kāi)放性試題；4.應(yīng)用計(jì)算機(jī)技術(shù)輔助教學(xué)；5.組織相關(guān)教師進(jìn)行教研活動(dòng)。

教學(xué)改革；解析幾何；數(shù)學(xué)建模；地方性本科院校

一、概述

解析幾何是一種借助于解析式進(jìn)行圖形研究的幾何學(xué)分支［1］。解析幾何通常使用二維的平面直角坐標(biāo)系研究直線、圓、圓錐曲線、擺線、星型線等各種一般平面曲線，使用三維的空間直角坐標(biāo)系來(lái)研究平面、球等各種一般空間曲面，同時(shí)研究它們的方程，并定義一些圖形的概念和參數(shù)。解析幾何是從解決相關(guān)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的需要而創(chuàng)立的理論，并在應(yīng)用中得到不斷的發(fā)展和完善，因而解析幾何是具有重要應(yīng)用價(jià)值的一門學(xué)科。

目前我國(guó)地方性本科院校中解析幾何的教學(xué)存在不少問(wèn)題，例如：學(xué)生的基礎(chǔ)有限，但仍然使用和重點(diǎn)大學(xué)一樣的教材；課堂教學(xué)重理論推導(dǎo)，缺少應(yīng)用實(shí)例，無(wú)法引起學(xué)生的興趣；教學(xué)手段比較落后，不愿意探索采用多媒體等現(xiàn)代化教學(xué)手段處理教材內(nèi)容；教師的能力有限，無(wú)法靈活運(yùn)用解析幾何解決實(shí)際問(wèn)題。

數(shù)學(xué)建模是指對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，建立數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過(guò)程［2］。全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽是目前全國(guó)最大的學(xué)科競(jìng)賽活動(dòng)，能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和團(tuán)隊(duì)協(xié)作意識(shí)，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，營(yíng)造活躍的學(xué)術(shù)氛圍，拓展知識(shí)面，推動(dòng)教學(xué)體系、教學(xué)內(nèi)容和方法的改革［3］。為了體現(xiàn)解析幾何知識(shí)的應(yīng)用，我們就要用它來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，而利用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題，數(shù)學(xué)建模是最有效也是最實(shí)用的方法。而通過(guò)解析幾何的知識(shí)來(lái)建立數(shù)學(xué)模型又可以使數(shù)學(xué)建模思想更加豐富和多樣，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)建模思想的發(fā)展。所以有必要探討如何通過(guò)融入數(shù)學(xué)建模思想來(lái)進(jìn)行解析幾何的教學(xué)，從而克服目前存在的問(wèn)題。

二、在解析幾何教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的方法

解析幾何學(xué)科的特點(diǎn)是將對(duì)空間形式的研究歸結(jié)為對(duì)數(shù)量的研究。而數(shù)學(xué)建模是溝通數(shù)學(xué)知識(shí)與應(yīng)用的橋梁。結(jié)合解析幾何的學(xué)科特點(diǎn)，將數(shù)學(xué)建模思想融入到解析幾何的教學(xué)中，從而最終達(dá)到提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)思想、知識(shí)、方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力。在解析幾何教學(xué)中，可以從以下幾點(diǎn)融入數(shù)學(xué)建模思想。

（一）選擇合適的教材

要在解析幾何的教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模的思想和方法，教材是很重要的。由于地方性本科院校的學(xué)生基礎(chǔ)有限，我們要選擇一些難度沒(méi)那么大的教材。另外，一般的教材都是追求嚴(yán)格的理論推導(dǎo)和論述為主的，這種教材對(duì)實(shí)施解析幾何的應(yīng)用教育是不利的。我們應(yīng)該尋找一些比較好的教材，講完每個(gè)知識(shí)點(diǎn)之后，要有與其知識(shí)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的實(shí)際問(wèn)題和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，這樣，才能夠使學(xué)生較容易掌握應(yīng)用數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際問(wèn)題的方法，能比較自如運(yùn)用現(xiàn)代化的計(jì)算工具，將解析幾何知識(shí)、數(shù)學(xué)建模與計(jì)算機(jī)應(yīng)用三者有機(jī)的融為一體。

（二）增加實(shí)踐教學(xué)課時(shí)

在解析幾何的課堂教學(xué)中多講一些數(shù)學(xué)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，增加實(shí)踐教學(xué)課時(shí)，讓學(xué)生參加一定的數(shù)學(xué)建模實(shí)踐。例如:火力發(fā)電廠的供水塔問(wèn)題，交叉管道的距離等。這些實(shí)例充分體現(xiàn)出把解析幾何的知識(shí)構(gòu)造在數(shù)學(xué)模型中。

讓學(xué)生動(dòng)手探究問(wèn)題，可以使學(xué)生弄懂?dāng)?shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，更讓學(xué)生體會(huì)到生活中處處有數(shù)學(xué)，生活離不開(kāi)數(shù)學(xué)，進(jìn)而引發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的思考。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生會(huì)按教師提出問(wèn)題的方法探究和提出問(wèn)題。在老師鼓勵(lì)啟發(fā)下，學(xué)生嘗試發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題，合作解決問(wèn)題的探究之樂(lè)以后，開(kāi)始有意識(shí)地思考問(wèn)題，試圖提出一些新意的問(wèn)題，甚至有提出問(wèn)題難住老師的沖動(dòng)。

*基金項(xiàng)目：2014年國(guó)家自然科學(xué)基金（編號(hào)：61403164）；2016年嘉應(yīng)學(xué)院新世紀(jì)教學(xué)改革項(xiàng)目。

作者簡(jiǎn)介：劉卉（1979-），女，廣東梅州市人，講師，碩士，研究方向：分形幾何與圖像處理。

*通訊作者：黃可坤（1979-），男，廣東梅州市人，副教授，博士，研究方向：數(shù)學(xué)建模與模式識(shí)別。

（三）設(shè)計(jì)有關(guān)解析幾何的數(shù)學(xué)建模開(kāi)放性試題

除了在平時(shí)課堂教學(xué)中讓學(xué)生參與數(shù)學(xué)建模實(shí)踐之外，還需要用一些開(kāi)放性試題讓學(xué)生在課外自主完成。開(kāi)放性試題的引入有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)解題策略和發(fā)散思維。還可以讓學(xué)生結(jié)合學(xué)校項(xiàng)目、畢業(yè)設(shè)計(jì)、畢業(yè)論文等教學(xué)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生利用學(xué)到的解析幾何知識(shí)參與一定的實(shí)際科研活動(dòng)。通過(guò)實(shí)際問(wèn)題的研究、畢業(yè)論文的撰寫及答辯，使學(xué)生再一次受到真實(shí)的科研實(shí)踐鍛煉。知識(shí)與能力并不是矛盾的，我們應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生應(yīng)用解析幾何知識(shí)中的方法與技巧，使學(xué)生能盡可能系統(tǒng)地學(xué)到知識(shí)與技能，提高能力。

近幾年的全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽經(jīng)常出現(xiàn)解析幾何的應(yīng)用問(wèn)題。例如，2008年的A題要求確定標(biāo)定物上的點(diǎn)在像平面上的像點(diǎn)的精確位置，從而可以使攝像機(jī)標(biāo)定達(dá)到更高的精度。為了解決這個(gè)問(wèn)題，根據(jù)解析幾何的知識(shí)，空間圓的透視投影變換的軌跡無(wú)法用參數(shù)方程表達(dá)，即空間圓的投影軌跡是一個(gè)不規(guī)則的軌跡，既不是圓，也不是橢圓。而且，圓心的投影的位置也不在這個(gè)不規(guī)則軌跡的中心。圓心的投影與空間圓的投影軌跡的中心的位置如圖1所示。

從圖1我們可以看出，如果空間圓所在的平面和攝像機(jī)坐標(biāo)系的平面的夾角比較大的話，圓心的投影Q與空間圓的投影軌跡的中心C的位置會(huì)有所偏離。于是，為了得到圓心的像的精確位置，我們首先需要估計(jì)圓心像點(diǎn)的粗略位置，然后估計(jì)靶標(biāo)上的標(biāo)記點(diǎn)在攝像機(jī)坐標(biāo)系中的大致位置，從而得到每個(gè)空間圓的投影軌跡以及圓心的投影相對(duì)于該軌跡的位置，然后用該軌跡進(jìn)行平移去擬合空間圓的像的邊界，得到擬合最佳時(shí)的平移量后，對(duì)圓心像點(diǎn)的粗略位置作相應(yīng)的平移，從而得到更精確的圓心像點(diǎn)的位置。再進(jìn)行同樣的迭代過(guò)程，可以進(jìn)一步逼近真正圓心像點(diǎn)的位置。

圖1空間同心圓的透視投影的平面圖

（四）應(yīng)用計(jì)算機(jī)技術(shù)輔助教學(xué)

多媒體課件輔助教學(xué)是電化教學(xué)的重要組成部分，它發(fā)展了現(xiàn)代電化教學(xué)手段，給電化教育事業(yè)注入新的生機(jī)和活力。運(yùn)用多媒體課件輔助教學(xué)，可以大力推廣運(yùn)用現(xiàn)代化計(jì)算機(jī)技術(shù)和現(xiàn)代化教學(xué)手段，改革傳統(tǒng)的課堂教學(xué)模式，極大地提高教學(xué)質(zhì)量，實(shí)現(xiàn)知識(shí)型教育向素質(zhì)型教育的轉(zhuǎn)變。作為一名數(shù)學(xué)教師，我們要讓多媒體進(jìn)入我們的數(shù)學(xué)課堂，使我們?cè)谥R(shí)傳授過(guò)程中，融音色清晰、畫(huà)面形象、影音統(tǒng)一等諸多優(yōu)點(diǎn)于一體，使教學(xué)由抽象到直觀，圖文并茂，聲像兼具，形象生動(dòng)，讓數(shù)學(xué)不再枯燥乏味。實(shí)踐證明，在解析幾何教學(xué)中正確運(yùn)用多媒體，會(huì)產(chǎn)生很多好的效果。

例如，在講解旋轉(zhuǎn)曲面的時(shí)候，我們可以在Matlab軟件中把旋轉(zhuǎn)曲面繪制出來(lái)，有助于提高學(xué)生的直覺(jué)思維能力和空間想象能力。以下是一個(gè)例子。

（五）組織相關(guān)教師進(jìn)行教研活動(dòng)

教師知識(shí)是解析幾何教學(xué)實(shí)施的基石。在課堂教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想，最大的問(wèn)題是教師的知識(shí)和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力問(wèn)題。數(shù)學(xué)建模所涉及知識(shí)和領(lǐng)域的廣泛性，要求數(shù)學(xué)教師必須掌握更多的知識(shí)，具有更深的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，才能更好的指導(dǎo)學(xué)生。因此，教師必須不斷地學(xué)習(xí)，不斷地?cái)U(kuò)大自己的知識(shí)面，擴(kuò)大自己的視野，只有這樣教師才能站在更高的位置上，從更高的維度和更深的層次上在解析幾何的教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想。

三、結(jié)束語(yǔ)

加強(qiáng)學(xué)科的應(yīng)用性是地方性本科院校的教學(xué)改革的方向，而解析幾何教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想，正是學(xué)科應(yīng)用性的表現(xiàn)，同時(shí)也激發(fā)了同學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)了同學(xué)的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新精神和團(tuán)結(jié)合作精神。怎樣更好地在地方性普通本科院校解析幾何教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想，還需要不斷進(jìn)行探索。

［1］呂林根，許子道.解析幾何［M］.北京:高等教育出版社，2002.

［2］姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型［M］.北京:高等教育出版社，2004.

［3］姜啟源.開(kāi)展數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，提高學(xué)生綜合素質(zhì)［J］.中國(guó)大學(xué)數(shù)學(xué)，1999（3）:21-23.

We analyze the problems of analytic geometry teaching in local undergraduate universities，then propose to integrate mathematical modeling concept and give several methods as follows:1.choose appropriate teaching materials；2.increase practice teaching class；3.designing open mathematical modeling questions about analytic geometry；4.apply computer technology to aid teaching；5.organize teachers to carry out the teaching and research activities.

teaching reform；analytic geometry；mathematical modeling；local undergraduate universities.

2096-000X（2016）16-0121-02

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