有限元仿真模擬在《理論聲學》教學中的應用：利用散射柵實現聲子晶體相空間模式調控*

鄧科　　姚官清（吉首大學 物理與機電工程學院，湖南 吉首 416000）

有限元仿真模擬在《理論聲學》教學中的應用：利用散射柵實現聲子晶體相空間模式調控*

鄧科姚官清
（吉首大學 物理與機電工程學院，湖南 吉首 416000）

文章以帶有表面散射柵結構的聲子晶體為例，探討了計算機仿真模擬在《理論聲學》教學中的應用。基于COMSOL Multiphysics軟件，利用有限元方法數值計算了表面柵聲子晶體的透射性質，結果表明添加表面柵能有效實現聲波的相空間調控，并以此為基礎在聲子晶體帶隙頻率范圍內實現了聲波的定向激發。這種基于仿真模擬的教學模式有利于抽象概念的形象化，具有較好的教學效果。

計算機仿真教學；多物理有限元模擬；散射柵聲子晶體

一、概述

聲波在周期性復合介質（即聲子晶體）中的傳播行為是《理論聲學》課程中非常重要的一塊教學內容。聲波在聲子晶體中傳播時，受到單體麥氏散射和周期性布拉格散射的共同作用，形成獨特的能帶結構。如何在能帶結構對應的相空間實現聲波調控是教學中的一大難點。比如，學生通常很難理解聲子晶體模式在表面柵結構散射下波矢量平行分量的增加效應。文章提出在聲子晶體教學中引入計算機仿真模擬［1，2］，基于COMSOL Multiphysics軟件開展有限元數值計算，以帶有表面散射柵的聲子晶體的透射性質為例，向學生清晰展示了通過添加表面柵結構實現的聲波相空間的有效調控，并以此為基礎在聲子晶體帶隙頻率范圍內實現了聲波的定向激發，為新型聲學器件的設計提供了有意的理論指導［3-9］。在這種仿真模擬教學環境下，學生能很方便的自主設置各種參數并查看結果，有利于加深學生對聲波在復合介質中折射性質的理解和掌握，具有較好的教學效果。

圖1有限元法計算得到的聲子晶體第一條能帶結構

二、仿真教學模型的設計及結果分析

我們考慮一個由水圓柱四方排列于水銀基體中而形成的二維聲子晶體，水圓柱的半徑被設定為0.4mm，晶體排列的周期被設定為a=1mm。首先我們利用COMSOL Multiphysics有限元軟件數值計算了該聲子晶體的帶結構，圖1給出了計算所得的第一條能帶。在計算中所用的材料參數如下：水銀的密度為p=1.35×104kg/m3、縱波波速為c=1.45×103m/s；水的密度為p=1.0×103kg/m3、縱波波速為cw=1.49×103m/s。從圖中可以看到，該聲子晶體在歸一化頻率0.2到0.28之間存在著一個沿X方向的方向帶隙。根據作者多年的教學經驗，此時，在參照《理論聲學》中有關聲波帶隙的知識點“晶體中的帶隙是聲波被禁止傳播的頻率范圍”后，多數學生很容易武斷地得出結論，認為位于此頻率范圍的聲波在任何情況下都不能沿著晶體的X方向傳播。事實上，通過引入表面柵結構，入射聲波波矢的平行分量將獲得增量，這種相空間的調制作用將使晶體中原本禁止聲波傳播的方向變為允許傳播的狀態，從而實現由禁帶向導帶的轉變。在傳統的教學中，帶有表面柵結構的聲子晶體其色散計算比較復雜，很難給出解析結果，通常只能通過光學中的光柵方程作簡單的類比，于是進一步向學生分析以上“由禁帶向導帶”的轉變將變得比較困難。

*基金項目：本文得到吉首大學校級課題（2015JSUJGB01以及JC201507）的資助。

作者簡介：鄧科（1978-），男，湖南湘潭人，博士，副教授，從事凝聚態物理研究。

在此，我們提出利用基于COMSOL Multiphysics軟件的有限元方法數值計算帶有表面柵結構的聲子晶體色散性質，利用該軟件的“本征模態分析”模塊可以計算出聲子晶體本征模式相空間的等頻色散線圖。該圖保留了聲子晶體相空間中的所有模式信息，并可利用COMSOL軟件非常方面地調出每一個單獨模式進行分析，從而進一步確定每種模式對應的物理圖像。具體過程如下，我們在一塊沿著X方向排列的聲子晶體板系統中引入如圖2（a）所示的散射柵結構。該散射柵結構由位于聲子晶體板左右兩側對稱分布的兩排水圓柱組成。散射柵的半徑被設定為0.24mm，柵結構沿著平行于聲子晶體板方向的周期為2mm（等于兩倍晶體周期），柵結構與聲子晶體板之間的距離被設定為0.15mm?？紤]歸一化頻率為0.2694的聲波從圖2（a）中左面入射。在沒有散射柵結構時，入射聲波將遇到晶體-基體沿X方向的界面。圖2（b）中深黑色的虛線半圓給出了歸一化頻率為0.2694的聲波在水銀基體中的等頻色散線，圖2（b）中實線圓則代表該頻率下聲子晶體中對應的等頻色散線。從圖2（b）中我們可以看出，由于此時頻率較低，聲波在水銀基體中的等頻色散圓沿X方向與晶體中等頻色散線沒有任何交點，這意味著當沒有散射柵時，在該頻率下從基體中以任意角度入射的聲波都將在聲子晶體板界面被全反射，這一分析結果驗證了我們從圖1中獲得的帶隙結論（此時的分析結果與學生在課本中學習到的帶隙的概念是一致的）；當存在散射柵時，由于柵結構在平行晶體板方向具有周期性，柵結構帶來的周期性散射使得入射波矢的平行分量獲得一個增量δk=n（2π/T），此處T=2a為散射柵沿平行晶體方向的周期，n為任意整數。對于一階情形（n=1），當頻率為0.2694時，從基體中以任意角度入射的聲波首先將在左側散射柵的作用下獲得一個平行于晶體界面的波矢增量δk=0.5（2π/a），這在圖2（b）中相當于左側的深黑色虛線半圓集體向上平移了0.5（2π/a）的距離，于是本來該全反射的入射聲波將按照廣義的折射定律參照圖2（b）中的晶體等頻色散線（實線圓）發生折射。根據作者的教學經驗，通常分析至此時，學生已經能夠對由散射柵導致的“禁帶向導帶”的轉變有了一個較為清楚的認識。我們進一步注意到，在該頻率下實線圓半徑相對于深黑色虛線半圓來說比較小，而且此時晶體中等頻色散線隨頻率增加逐漸向M點匯聚（形成以M點為中心的負折射色散態），也就是說，此時入射聲波將受到晶體的微量負折射作用。于是，如果在圖2（a）中復合體系的左側放置一個頻率為0.2694的點源，在聲子晶體和散射柵的共同作用下，在復合體系的右側我們將得到一束具有準直效果的出射聲波［10］。為了驗證以上分析，我們利用有限元方法數值模擬了圖2（a）中復合體系對頻率為0.2694的輸入點源的作用效果，結果由圖2 （c）給出。從圖中可以看到，在散射柵——聲子晶體復合系統的作用下，我們得到了較好的聲定向激發效果。以上的數值分析模擬過程能夠使學生對本節教學內容產生形象的認識，從而加深他們對表面柵的相空間調控這一知識難點的理解和掌握。

三、結束語

計算機仿真教學能有效幫助學生形成對知識點的形象認識，是一項攻克知識難點的強有力的教學手段。文章以聲子晶體表面柵結構對聲波相空間的調控作用這一知識難點為例，探討了仿真模擬教學在《理論聲學》課程中的應用，通過將難以理解的知識點轉化為模擬結果中生動形象的仿真結果，得到了較好的教學效果。

圖2

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Taking photonic crystals with surface scattering gratings，this paper discusses the application of computer simulation in the teaching of"Theoretical Acoustics".On the basis of COMSOL Multiphysics software，this paper works out the transmitting properties of photonic crystals with surface scattering by using the finite element method..It is demonstrated that acoustic phase modulation can be achieved by adding scattering gratings in a sonic crystal.Based on this mechanism，directional excitation of sound wave is fully realized within the gap frequency of photonic crystals.Such an analog-simulation-based teaching mode makes the abstract concept pictorial，thus will be effective and helpful in teaching process.

computer simulation teaching；Multiphysics finite element simulation；sonic crystal with scattering grating

2096-000X（2016）16-0072-02

G642

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