對流擴散模型的格子波爾茲曼方法及其應用*

郭孟琦　岳　軍　黃　攀

(1.青島理工大學　青島　266520)(2.海軍工程大學　武漢　430033)

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對流擴散模型的格子波爾茲曼方法及其應用*

郭孟琦1岳軍1黃攀2

(1.青島理工大學青島266520)(2.海軍工程大學武漢430033)

摘要格子玻爾茲曼方法(LBM)是一種新興的求解偏微分方程的數值工具，論文提出了一種基于對流擴散方程的圖像去噪模型，并運用格子波爾茲曼方法對模型進行了求解。實驗結果表明，該模型對含噪圖像有著很好地去噪能力，同時還能很好的保持邊緣細節信息。與P-M模型的AOS算法相比，在計算效率上有著較明顯的優勢，并且克服了處理前對閾值參數的選擇，進一步地滿足了圖像處理中實時處理的要求。

關鍵詞格子波爾茲曼方法; 對流擴散方程; 圖像去噪

Class NumberP641

1引言

Lattice Boltzmann Method(LBM)，即格子玻爾茲曼方法，是20世紀80年代中期建立和發展起來的一種流場模擬方法。LBM直接從離散模型出發，應用物質世界最根本的質量守恒、動量守恒和能量守恒規律，在分子運動論和統計力學的基礎上構架起宏觀與微觀、連續與離散之間的橋梁，從一種全新的角度診釋流體運動的本質問題。

LBM與傳統的計算流體力學方法(如有限單元法、有限差分法等)相比，其算法相對簡單。簡單的線性運算加上一個松弛過程，就能模擬各種復雜的非線性宏觀現象。能夠處理復雜的邊界條件，壓力可由狀態方程直接求解。同時，它的編程容易，計算的前后處理也非常簡單，具有很高的并行性，能直接模擬有復雜幾何邊界的諸如多孔介質等連通域流場，無須作計算網格的轉換。因此，近些年它也成為了一種新的求解偏微分方程的數值工具。其求解偏微分方程的出發點是系統的微觀模型，通過微觀行為設計格子波爾茲曼方法的演化方程，在對系統進行模擬的同時實現對偏微分方程的數值求解。最早是錢躍竑[1]在1992年提出的，主要是用來求解Navier-Stokes方程的，現在已經在流體力學中得到了廣泛的應用。

在圖像處理應用方面，Jawerth B[2]運用LBM求解了非線性擴散方程。此方法在保證穩定性的情況下，能實現并行化以及大步長迭代計算以提高計算效率。Chang[3]根據變分模型提出了LBM去噪算法，嚴壯志等[8～11]通過在LBM的松弛因子中嵌入矢量圖像的邊緣特征，并定義新的平衡態分布函數，實現了矢量圖像的非線性擴散去噪。2013年，柴振華等[12]提出了一種對流擴散方程的LBM。本文提出一種基于對流擴散方程的干涉圖去噪新模型，并運用格子波爾茲曼方法對新模型進行了求解。實驗結果表明，該模型對圖像有著很好地去噪能力，同時還能很好的保持邊緣細節信息。

2格子波爾茲曼方法

2.1格子波爾茲曼方法

格子波爾茲曼模型由離散化的計算網格構成，每個網格的值由粒子的分布函數fi(i=0,1,…,q-1)和擴散矢量構成，結構如圖1所示。

圖1　LBM中D2Q5和D2Q9的結構以及半步長邊界反彈格式原理圖

(1)

對D2Q9模型：

(2)

LBM的演化方程：

(3)

在整個擴散過程中，需滿足質量守恒定律：

(4)

其中，I是圖像強度(或圖像灰度)。

設定D2Q5的平衡態分布函數為

(5)

D2Q9的平衡態分布函數為：

(6)

2.2對流擴散模型的格子波爾茲曼方法

鑒于格子波爾茲曼方法有著算法穩定，可進行大步長迭代，計算效率高等優點，下面對提出的對流擴散模型進行格子波爾茲曼演化。為了方便，本文把對流擴散模型的格子波爾茲曼方法記為LBCDM。考慮求解如下形式的一個偏微分方程：

(7)

(8)

(9)

(10)

對方程式(10)做時域上的離散化，則可以做到：

(11)

(12)

這里有：

(13)

以D2Q5為例，這里，αi=1/5,i=0,1,2,3,4。

首先，對方程式(12)的左邊做泰勒展開：

(14)

把式(14)代入式(12)中得：

(15)

利用C-E展開并且代入到式(15)中，并在兩邊同時取O(ε2)，可以得到：

(16)

再對式(16)取O(ε)，則可以得到：

(17)

而又因為有

(18)

在式(17)的兩邊對i求和可以得到：

(19)

再對式(16)兩邊取O(ε2)，則可以得到：

(20)

再把式(17)代入式(20)，則有：

(21)

而由式(17)可以得到：

(22)

(23)

再把式(23)代入式(21)，則有

(24)

令式(18)乘以ε再加上式(23)乘以ε2則可得

(25)

(26)

(27)

3數值實驗結果與分析

把格子波爾茲曼方法下的對流擴散模型應用于圖像去噪中去，與其他格子玻爾茲曼擴散模型的去噪算法進行比較。這里主要進行比較的模型是改進的P-M模型。

對一般的lena圖分別用改進的P-M模型的AOS算法和對流擴散方程的格子玻爾茲曼算法(LBCDM)做數值實驗，處理結果如下：

圖2是經常用于圖像處理的lena圖，大小為500×500;圖3對原圖增加了十倍的隨機噪聲;圖4、圖5分別是兩種去噪方法對加噪lena圖的處理結果，其中時間步長選為0.05，LBCDM迭代次數為20次，邊緣截止函數中的閾值為5，改進的P-M模型的迭代次數也為20次，高斯方差為1。

圖2　原圖

圖3　十倍隨機噪聲圖

圖4　AOS算法的處理結果

圖5　LBCDM的處理結果

從表1可以看出，對流擴散模型的格子波爾茲曼方法(LBCDM)計算時間上是明顯優于改進的P-M模型的，這也充分地體現出了格子波爾茲曼方法的優勢。其次，在噪聲和迭代次數相同的情況下，LBCDM的殘余點數少于改進的P-M模型，這就說明了LBCDM比P-M模型的AOS算法去噪能力稍強。最后，在具有較少殘余點數目的前提下，LBCDM的邊緣保持指數(EPI)也較P-M模型的更大一些，這就說明了LBCDM比P-M模型的AOS算法具有更好的邊緣保持能力。

表1　不同降噪模型的處理結果對比

對湖試實驗中得到的湖試噪聲圖分別用各向異性擴散模型的格子波爾茲曼方法(LBADM)、P-M模型的AOS算法和對流擴散模型的格子波爾茲曼方法(LBCDM)做數值實驗，處理結果如下。

圖6是從湖試試驗中得到的帶有噪聲的湖試噪聲圖，大小為1080×4000;圖7～圖9則分別是三種去噪方法對湖試噪聲圖的處理結果，其中，時間步長均選為0.2，LBADM和LBCDM的迭代次數為3次，邊緣截止函數中的閾值為5，P-M模型的迭代次數為5次，高斯方差為1。

圖7　AOS算法的處理結果

圖9　LBCDM的處理結果

從表3中首先可以看出，各向異性擴散模型的格子波爾茲曼方法(LBADM)和對流擴散模型的格子波爾茲曼方法(LBCDM)計算時間上是明顯優于P-M模型的，這也充分地體現出了格子波爾茲曼方法的優勢。其次，在具有較少殘余點數目的前提下，LBCDM和LBADM的邊緣保持指數(EPI)也較P-M模型的更大一些，這就說明了LBCDM和LBADM比P-M模型的AOS算法具有更好的去噪效果和更好的邊緣保持能力。最后，LBCDM和LBADM相比，LBCDM相對具有更好的去噪能力和邊緣保持能力。

表3　不同降噪模型的處理結果對比

4結語

本文提出了一種基于對流擴散方程的圖像去噪模型，并用格子波爾茲曼方法對模型進行了演化，即格子波爾茲曼的對流擴散模型。對圖像進行了數值實驗，實驗表明格子波爾茲曼的對流擴散模型在圖像去噪上有著很好的效果，同時對邊緣細節信息的保持也有著較好的效果。通過對各向異性擴散模型的格子波爾茲曼方法(LBADM)、P-M模型的AOS算法和對流擴散模型的格子波爾茲曼方法(LBCDM)三種模型處理結果的比較，進一步地顯示了對流擴散模型的格子波爾茲曼方法在圖像的去噪效果、邊緣保持以及計算時間等方面的優勢，并且克服了AOS算法中處理前閾值參數選取的困難，進一步的滿足了圖像處理中實時處理的要求。

參 考 文 獻

[1] Qian Y H, D’humieres D, Lallemand P. Lattice BGK models for Navier-Stokes equation[J]. Europhysics Letters, 1992,17(6):479-484.

[2]Jawerth,B.,Lin,P.,Sinzinger,E.:Lattice Boltzmann Method for anisotropic diffusion of images[J].J.Math.Imaging Vis.1999,11,231-237.

[3]Chang Qianshun, Yang Tong. A lattice Boltzmann method for image denoising[J]. IEEE Transactions on Image Processing, 2009,12(18):2797-2802.

[4]Huang Pan, Yue Jun, Chen Ming, Wang Maolin. Study of InSAS Interferogram Denoising Based on Partial Differential Equation[J]. Journal of Qingdao Technological University (in Chinese), 2011, vol.32(6).

[5]Koenderick I J.The structure of image[J].Biological Cybernet,1984,50(5):363-370.

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[9] 王志強，嚴壯志，錢躍竑.圖像非線性擴散去噪的格子玻爾茲曼方法[J].應用科學學報，2010,28(4):367-373.

[10] Chen Yu,Yan Zhuang-zhi,Qian Yue-hong.An anisotropic diffusion model for medical image smoothing by using the lattice Boltzmann method[C]//Asian-Pacific Conference on Medical and Biological Engineering,2008.IFMBE Proc.2008,19:255-259.

[11] 陳玉.格子玻爾茲曼模型及其在圖像處理中的應用研究[D].上海：上海大學,2008.

[12] Zhenhua Chai, T.S. Zhao. Lattice Boltzmann model for the convection-diffusion equation[J].PHYSICAL REVIEW E,2013,87(6):1-15.

收稿日期：2016年1月8日,修回日期：2016年2月28日

基金項目：自然科學基金課題“多物理場圖像處理與應用”(編號：61271015)資助。

作者簡介：郭孟琦，男，碩士研究生，研究方向：圖像處理的偏微分方程。岳軍，男，博士，教授，研究方向：物理海洋中的偏微分方程。黃攀，男，博士研究生，研究方向：干涉合成孔徑圖像處理。

中圖分類號P641

DOI：10.3969/j.issn.1672-9730.2016.07.013

Lattice Boltzmann Method and its Application of Convection-diffusion Model

GUO Mengqi1YUE Jun1HUANG Pan2

(1.Qingdao Technological University，Qingdao266520)(2.Naval University of Engineering， Wuhan430033)

AbstractThe lattice boltzmann method is an emerging tool for solving partical differential equations(PDE) a new image de-noising model is proposed based on convection-diffusion equations and the lattice boltzmann method is used to evolve the new model. Simulation experiment and real experiment data processing results and analysis show that the new model has a good de-noising ability on the interference figure and normal image. At the same time,it also can keep the edge details so well.Compared with P-M model of AOS algorithm, the new model has better computation efficiency and calculation result.

Key Wordslattice boltzmann method, convection-diffusion equations, image de-noising