淺談利用微積分知識(shí)求解高中物理中的疑難問題

費(fèi)琳翔

（天津武清區(qū)楊村三中 天津 301700）

淺談利用微積分知識(shí)求解高中物理中的疑難問題

費(fèi)琳翔

（天津武清區(qū)楊村三中 天津 301700）

微積分在高中物理解題中有著廣泛的應(yīng)用，特別是一些公式推演以及解題方法都會(huì)涉及到微積分連續(xù)累積的思想，其對(duì)于物理概念以及物理定律的給出都有著一定的影響。本文將從自身在物理學(xué)習(xí)和解題中對(duì)微積分知識(shí)的運(yùn)用進(jìn)行闡述，從而提出微積分知識(shí)在求解高中物理疑難問題中的重要作用。

微積分；高中物理；疑難問題

微積分知識(shí)在高中數(shù)學(xué)課程中學(xué)習(xí)的比較淺顯，在物理課程的應(yīng)用沒有得到足夠的重視，但微積分知識(shí)對(duì)于解決疑難物理問題有著重要的作用。在高三復(fù)習(xí)階段，基于已經(jīng)掌握了一定的物理求導(dǎo)和積分知識(shí)，可以嘗試用微積分知識(shí)解決物理疑難問題。

1 利用微積分知識(shí)求解非線性變量的過程量

在求解非線性變量的過程量中，通常我會(huì)選擇一個(gè)微元作為分析對(duì)象，在分析其受力、狀態(tài)、變化等情況之后，將難以分析，不易確定的變量對(duì)象或物理變化過程拆分成一個(gè)小的處理單元，化整為零，在將每個(gè)區(qū)間內(nèi)的問題整理之后，再將這些零散的問題整合起來，就可以得出想要的結(jié)果[1]。我曾經(jīng)遇到過如下的物理問題，都是通過這種思路尋找解題答案的。

例如：如圖1所示，豎直向上方向上，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中，兩條相互平行，相距L的光滑平行金屬導(dǎo)軌P1P2P3-Q1Q2Q3，兩導(dǎo)軌間的電阻連接為R，導(dǎo)軌P2P3、Q2Q3處于同一水平面上，且P2Q2垂直P2P3，傾斜導(dǎo)軌和水平導(dǎo)軌均用相切的一小段光滑圓弧連接，長度忽略不計(jì)。在傾斜角為θ的斜導(dǎo)軌P1P2-Q1Q2上放置一根質(zhì)量為m的細(xì)金屬桿AB，桿AB始終垂直于導(dǎo)軌并與導(dǎo)軌保持良好接觸。現(xiàn)用沿P1P2方向的拉力F施加于桿AB，使桿AB在高h(yuǎn)處由靜止開始向下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)桿AB運(yùn)動(dòng)到P2Q2時(shí)撤去拉力，最終在CD處停下，測(cè)得CD與P2Q2之間的距離為s，不計(jì)導(dǎo)軌和桿A的電阻，不計(jì)空氣阻力。求：桿AB下滑過程中通過電阻R的電荷量q；桿AB運(yùn)動(dòng)到P2Q2處時(shí)的速度v；回路中最大感應(yīng)電流I和桿AB在斜導(dǎo)軌上的加速度大小a。

圖1

將水平軌道上的運(yùn)動(dòng)分割成數(shù)個(gè)小段，每個(gè)小段有相對(duì)應(yīng)的微小時(shí)間，設(shè)為△t，則對(duì)于每微小段時(shí)間△t內(nèi)，借助牛頓第二定律，則為：

而a=△v/△t，把式子左右兩邊都乘以△t，則變成BiL△t=m△v

在進(jìn)行求和得出∑Bil△t=∑m△v，將式子左邊的i△t替換成△q，

其中，∑i△t=∑△q=q1，q1為棒由P2Q2到停下來過程中通過AB橫截面的總電量，而，，式子右側(cè)的∑△v=v-0=v，即此段初末速度之差，即AB棒由P2Q2到停下來的過程中速度的變化量。

由于速度v出現(xiàn)，第三問的兩個(gè)問題也就此解決了：最大感應(yīng)電流I是在P2Q2位置處，由E=BLv及，得出。由v2=2a，斜面加速度為：

在解決物理疑難問題時(shí)，我已經(jīng)充分地認(rèn)識(shí)到微積分知識(shí)在其中發(fā)揮的重要作用，因此，常將此種思想滲透到物理解題當(dāng)中。

2 利用微積分知識(shí)求解物理量的瞬時(shí)值

在高三物理復(fù)習(xí)階段，處理物理圖像相關(guān)物理量的曲線某一點(diǎn)的切線的斜率的物理意義，即相應(yīng)的縱坐標(biāo)物理量和橫坐標(biāo)物理量的比值的瞬間值。

在處理此類問題時(shí)，我首先要找出相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)對(duì)應(yīng)的物理量的意義，位移關(guān)于時(shí)間函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的物理意義等，通過比值求導(dǎo)出物理量的瞬間值。

例如，兩平行金屬導(dǎo)軌處于同一水平面上，每兩根導(dǎo)軌每米的電阻為r=0.1Ω/m，導(dǎo)軌的端點(diǎn)P、Q用電阻可忽略導(dǎo)線相連，兩導(dǎo)軌建的距離l=0.2m，隨著時(shí)間的變化，勻強(qiáng)磁場垂直桌面，已知B與t之間的關(guān)系B=kt（k=0.02T/s），其中一個(gè)電阻不計(jì)的金屬桿可以在導(dǎo)軌上無摩擦滑動(dòng)，在滑動(dòng)的過程中，保持與軌道垂直，在t=0的情況下，金屬桿緊靠P、Q端，在外力作用下，恒定加速度使桿從靜止?fàn)顟B(tài)開始滑動(dòng)，求：在桿滑動(dòng)6s時(shí)，金屬桿受到的安培力。

常規(guī)解法：

在t時(shí)刻，金屬桿與初始位置的距離L=1/2at2，此時(shí)桿的速度v=at，此時(shí)桿和導(dǎo)軌構(gòu)成的回路面積s=Ll，回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為BLv，而 B=kt，回路的總電阻為R=2Lr，回路中的感應(yīng)電流為，作用于桿的安培力為F=Bli，由上解得出代入公式得F=1.44×10-3N。

微積分知識(shí)解法：

現(xiàn)下筆者將用導(dǎo)數(shù)來進(jìn)行推理，以加深微積分知識(shí)運(yùn)用的意義。

從已知的情況上分析，電動(dòng)勢(shì)產(chǎn)生的原因有兩個(gè)：△B感生的；△s動(dòng)生的，如此就很容易得出

用導(dǎo)數(shù)來解題，可以更好地幫助我理解解題含義，而且當(dāng)物理題中有變量的情況下，問題處理起來更為方便。

3 利用微積分知識(shí)再現(xiàn)物理過程的本質(zhì)

在處理物理問題時(shí)，若能拓寬解題思路，從多角度入手，問題就會(huì)更容易解決。

在解決物理疑難問題時(shí)，我曾遇到過這樣一道綜合性的問題：MN、PQ是兩個(gè)傾斜防置的平行金屬導(dǎo)軌，電阻忽略不計(jì)，其構(gòu)成的平面與水平面成θ=37°角，導(dǎo)軌上端接阻值R=1.5Ω的電阻，導(dǎo)軌寬L=1m，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T的勻強(qiáng)磁場垂直導(dǎo)軌平面，垂直導(dǎo)軌跨接一金屬桿ab，ab的質(zhì)量m=0.2kg，電阻r=0.5Ω，ab與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)u=0.5，ab桿從靜止開始，2s后開始勻速運(yùn)動(dòng)，求：ab勻速運(yùn)動(dòng)的速度v；ab加速運(yùn)動(dòng)過程中，通過R的電荷量Q；ab加速過程中，整個(gè)回路產(chǎn)生的焦耳熱Q。

首先我列出金屬桿的動(dòng)力方程，即：

然后將等式兩邊進(jìn)行積分處理，得出：

第三個(gè)問題是解決整個(gè)回路產(chǎn)生的焦耳熱，通常我可采用三種方法進(jìn)行處理，即能量守恒、電流做功以及克服安培力做功[3]。在處理的過程中，方法3容易發(fā)生平均值求解錯(cuò)誤，所以，在沒有十足的把握的情況下，筆者一般會(huì)采用前兩種方法進(jìn)行解題[4]。通過對(duì)問題的全面分析，可以清晰地了解線路整個(gè)物理過程發(fā)生的本質(zhì)，可以使我對(duì)物理規(guī)律的理解更為全面和深刻。當(dāng)然，問題處理也就更得心應(yīng)手了。

4 結(jié)束語

在高三物理復(fù)習(xí)階段，對(duì)于疑難問題的解決，運(yùn)用微積分知識(shí)可以更好地幫助我理解問題并解決問題，從而有效提高了學(xué)習(xí)成績，為高考取得好成績創(chuàng)造了條件。

[1]滿桂花.利用微積分知識(shí)求解高中物理中的疑難問題[J].物理教師，2011，32（7）：64～65.

[2]冉芳.高中新課程改革下微積分知識(shí)的滲透之分析[J].科技風(fēng)，2014，26（2）：224.

[3]李小棣.妙用微積分知識(shí)解決一個(gè)物理疑難[J].物理通報(bào)，2011，40（10）：39，57.

[4]王國士.巧用微積分活解物理題[J].物理教學(xué)探討，2013，31（6）：25～26.

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1004-7344（2016）06-0039-02

2016-2-10