談“相關(guān)變化率問(wèn)題”的求解

歐平 羅佳生

（張家界航空工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院）

談“相關(guān)變化率問(wèn)題”的求解

歐平 羅佳生

（張家界航空工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院）

本文闡述了相關(guān)變化率的應(yīng)用及求解方法，并舉例說(shuō)明了相關(guān)變化率問(wèn)題的求解。

導(dǎo)數(shù)；相關(guān)變化率；求解

我們知道，函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即函數(shù)在該點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率，也就是平均變化率的極限。微分學(xué)研究變化率的問(wèn)題，它使人們能夠定義曲線的切線斜率，計(jì)算運(yùn)動(dòng)著的物體的速度和加速度，求得炮彈能達(dá)到其最大射程的發(fā)射角。在工業(yè)的經(jīng)營(yíng)管理中，計(jì)算邊際成本和邊際收入等等。變化率問(wèn)題已經(jīng)廣泛地應(yīng)用在各個(gè)領(lǐng)域中。用一個(gè)能直接求得的變化率來(lái)求一個(gè)不能直接求得的變化率的問(wèn)題，稱(chēng)為相關(guān)變化率問(wèn)題。如下例：

例1設(shè)以10m3/s的速率將氣體注入球形氣球內(nèi)，當(dāng)氣球半徑為4m時(shí)，氣球表面積的變化速率是多少？

對(duì)學(xué)生而言，解決相關(guān)變化率應(yīng)用問(wèn)題的困難依次在于：把實(shí)際問(wèn)題用數(shù)學(xué)語(yǔ)言翻譯為明確的數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后來(lái)求解這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。為幫助學(xué)生解決這些難題，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，本文指出相關(guān)變化率問(wèn)題的求解方法和要點(diǎn)，并舉例說(shuō)明。

相關(guān)變化率問(wèn)題的求解方法。

第一步：設(shè)出與問(wèn)題有關(guān)的變量及函數(shù)，畫(huà)出示意圖。

第二步：寫(xiě)出已知的數(shù)值信息及所求的量（通常是用導(dǎo)數(shù)表示的變化率）。

第三步：找出變量之間的關(guān)系公式（通常是客觀存在的關(guān)系或問(wèn)題中已知的關(guān)系）。

第四步：對(duì)上述關(guān)系式求導(dǎo)（把所求的變化率用已知其值的變化率和變量表示出來(lái)）。

第五步：代入求值并解釋。

例1解：第一步：設(shè)t表示時(shí)間，r（t）表示氣球半徑，V（t）表示氣球的體積，S（t）表示氣球的表面積。

第三步：變量之間的關(guān)系式

得：

例2正在追逐一輛超速行駛汽車(chē)的一輛警察巡邏車(chē)從北向南駛向一個(gè)直角路口，超速汽車(chē)已拐過(guò)路口向東駛?cè)?。?dāng)巡邏車(chē)離路口向北0.6英里而汽車(chē)離路口向東0.8英里時(shí)，警察用雷達(dá)確定了兩車(chē)之間的距離正以20英里/h的速率在增長(zhǎng)。如果巡邏車(chē)在該測(cè)量時(shí)刻以60英里/h的速率行駛，試問(wèn)該瞬間超速汽車(chē)的速率是多少？

解第一步：設(shè) t表示時(shí)間，x（t）表示時(shí)刻 t汽車(chē)的位置，y（t）表示時(shí)刻t巡邏車(chē)的位置，s（t）表示汽車(chē)與巡邏車(chē)之間的距離，如圖1所示。

第二步：已知 x（t）=0.8 英里，y（t）=0.6 英里時(shí)，=20英里/h。求

圖1

第三步：變量之間的關(guān)系式

第四步：求導(dǎo)

第五步：代入求值

解釋?zhuān)涸撍查g超速汽車(chē)的速率是70英里/h。

[1]同濟(jì)大學(xué)，天津大學(xué)，浙江大學(xué)，重慶大學(xué)，等.高等數(shù)學(xué).高等教育出版社，2002，8.

[2]geogre B thomas等著.葉其孝，等譯.托馬斯微積分.高等教育出版社，2003，5.

O172.1

A

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2016-4-10