三角形解的個數的進一步討論

劉振龍（福建省泉州培元中學）

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三角形解的個數的進一步討論

劉振龍
（福建省泉州培元中學）

在學習了正弦定理、余弦定理之后，學生經常對如何判斷三角形解的個數而煩擾。結合初中全等三角形的判定定理，若已知三角形的三邊（且符合任意兩邊之和大于第三邊）、兩邊一夾角、兩角一邊，則該三角形有唯一解。但是如果已知三角形的兩邊及其中一邊的對角時，解的情況又如何呢？普通高中課程標準實驗教科書《數學必修5》在第8頁到第9頁的“探究與發現《解三角形的進一步討論》”中有詳細的說明（此處略），但分類種數較多，學生容易混淆結論，故在實際操作中仍存在很多困惑。因此，針對學生的具體學情，筆者以課堂實例為依托，對已知“兩邊一對角”的三角形解的個數問題進行多種方法的探究討論。

【例1】在△ABC中，若a=18，b=24，A=45°則此三角形解的個數為______。

綜上，該三角形有兩解。

方法二：畫圓找交點

解：由于角A為已知角，故先畫出角A，在角A的其中一邊上確定頂點C，使得AC=24，即b=24，接著以點C為圓心，a=18為半徑畫圓，觀察所畫得的圓與角A的另一邊出現的交點個數（交點即為三角形的頂點B），若沒有交點，則說明該三角形無解；若只有一個交點，則說明該三角形解的個數為1個；若有兩個交點，則說明該三角形解的個數為2個。

如圖所示，以C為圓心，為半徑所畫得的圓與角A的另一邊交于B1，B2兩點，故該三角形有兩解。在判斷交點個數時，可利用半徑a與過點C作射線AB1的垂線段CH的長度大小進行對比：若a＜CH，則無交點；若a=CH，則有一個交點；若CH＜a＜b，則有兩個交點；若a≥b，則有一個交點。

方法一：正弦定理

方法二：畫圓找交點

方法三：二次方程的正根個數

已知兩邊一角問題，也可對角A應用余弦定理，并將其整理成關于邊長c的一元二次方程c2-2bcosA·c+b2-a2=0，若該方程無實根或只有負數根，則該三角形無解；若方程有一個正數根，則該三角形有一解；若方程有兩個不相等的正數根，則該三角形有兩解。

對于例2，若應用“方法三”，可以得到關于邊長c的一元二次方程c2-bc+b2-3=0。由題意，要使得該方程有一個正數根，結合二次函數的圖象特點（對稱軸為），可得Δ=（-b）2=4（b2-3）=0或者b2-3≤0，解得b=2或。

數學教學活動中，不斷滲透、總結相關的數學思想并有效地理解掌握，對于尋找解題途徑和提高解題能力具有重大意義。上述方法體現了數學學習中常見的分類討論思想、數形結合思想、化歸思想等多種數學思想。當面臨問題時，先思考該問題所屬類別，盡可能多地聯想解決此類問題所能包含的各種數學思想，選擇其中一種或多種思想予以解決。所以，平時注重對數學思想的認識歸納和掌握，對于提升認識并解決問題的能力大有益處。

·編輯尹軍