關(guān)于兩類拉伸桿的斜截面應(yīng)力分布的探究

王金城，王柳菁

（大連理工大學(xué)運(yùn)載工程與力學(xué)學(xué)部，遼寧大連 116024）

關(guān)于兩類拉伸桿的斜截面應(yīng)力分布的探究

王金城，王柳菁

（大連理工大學(xué)運(yùn)載工程與力學(xué)學(xué)部，遼寧大連 116024）

在大多數(shù)工程實(shí)踐中，細(xì)長桿件都是忽略自重的，但是某些特殊情況下，桿件的自重是不可忽略的，其自重給桿內(nèi)應(yīng)力帶來的影響直接關(guān)乎該桿件的強(qiáng)度校核。為了使工程中桿件的設(shè)計(jì)與應(yīng)用更加安全可靠，本論文研究了拉伸桿件的在考慮自重和不考慮自重兩類情況下的桿內(nèi)各點(diǎn)應(yīng)力的分布情況，運(yùn)用局部化思想解決桿件截面受力不均勻的難題，并得出兩類桿的各點(diǎn)應(yīng)力準(zhǔn)確計(jì)算公式。

局部化思想；應(yīng)力分布；應(yīng)力不均

1 問題描述

以下兩種情況下：（1）忽略桿件自重并將與自重等大的軸力施加于桿件末端（2）考慮桿件自重。如何確定同一桿件同一斜截面上同一點(diǎn)的應(yīng)力。

2 問題分析

2.1 受軸向集中載荷無自重桿

針對(duì)第一種情況，由于Fp是施加在桿件軸線上的，結(jié)合材料力學(xué)的均勻、連續(xù)、各向同性的基本假設(shè)，可知桿內(nèi)的內(nèi)力是均勻分布的，且斜截面上應(yīng)力是處處相等的。

假設(shè)斜截面與桿件橫向成α角度，則截開后的面上軸向方向的內(nèi)力是相同的，將這些內(nèi)力都向軸線簡(jiǎn)化，可α得到總的軸力也為Fp。現(xiàn)以平行于斜截面方向?yàn)閤軸，垂直于斜截面為y軸建立直角坐標(biāo)系，將力Fp分別投影到兩坐標(biāo)軸上，分別記為FN和FQ。

其中

切應(yīng)力為

故分析公式可知任意斜截面上的任意點(diǎn)的應(yīng)力只與斜截面和桿件橫向方向之間的夾角a有關(guān)，而與斜截面的位置、點(diǎn)在斜截面上的位置無關(guān)。

當(dāng)α=0°時(shí)，正應(yīng)力σα最大，最大值為

當(dāng)α=45°時(shí)，切應(yīng)力最大，最大值為

2.2 自重不可忽略桿

針對(duì)第二種情況，已知均布載荷為p kN/m3，故斜截面上軸線方向上的應(yīng)力不是均勻分布的，故對(duì)斜截面上應(yīng)力計(jì)算帶來了不便。換個(gè)思路，我們可以運(yùn)用局部化分析思想來解決這個(gè)問題。

在斜截面處沿橫截面方向、縱截面方向切出一個(gè)小立方體微元，沿長度方向的長度為δx，設(shè)立方體微元上表面A的橫坐標(biāo)為xo，下表面B的橫坐標(biāo)為xo+δx。由于A、B面都是沿橫截面切下的，故面內(nèi)只有正應(yīng)力，下面對(duì)A、B面正應(yīng)力進(jìn)行計(jì)算。設(shè)桿件長為L，橫截面長為a，寬為b。現(xiàn)對(duì)A面進(jìn)行受力分析，設(shè)A面所在橫截面受力為Fxo，方向?yàn)檎较颍瑒tA’面所在橫截面受力Fx′o與Fxo互為相反力，求出Fx′o相當(dāng)于求出Fxo。則首先對(duì)整根桿做受力分析得桿的最上端受力

方向?yàn)閤軸負(fù)方向。對(duì)A’面列平衡方程

解得

則

同理，對(duì)B面列平衡方程

解得

由于δx足夠小，故

故微元的上下表面所受力大小可近似看做相等，那么微元體內(nèi)內(nèi)力可看做均勻分布。此時(shí)，可在微元體內(nèi)任意用假想平面切分，進(jìn)而研究截面內(nèi)的應(yīng)力分布。下面采用和第一種情況相類似的斜面切割法，用與橫截面成α角斜截面將微元體切分為兩半，任取一半進(jìn)行分析。方法與第一種情況完全類似，唯一區(qū)別為將第一種情況里的Fp替換為Fxo。則由式（2）得斜截面正應(yīng)力

由式（3）得斜截面切應(yīng)力

由公式（13）可知，在考慮自重的情況下斜截面上一點(diǎn)的正應(yīng)力和切應(yīng)力的大小不僅與斜截面和桿件橫向方向的夾角α有關(guān)，還與點(diǎn)所在位置的橫坐標(biāo)xo有關(guān)，當(dāng)α大小確定時(shí)，xo越大應(yīng)力越小；xo越小，即越接近桿的根部，應(yīng)力越大。

當(dāng)xo=0，α=45°時(shí)，截面內(nèi)正應(yīng)力最大，最大值為

當(dāng)xo=0，α=45°時(shí)，該點(diǎn)處的切應(yīng)力最大，最大值為

3 結(jié)論

對(duì)比兩種情況最終的應(yīng)力公式（2）（3）（13）（14）發(fā)現(xiàn)，同一斜截面上的各點(diǎn)的應(yīng)力分布是不同的，不考慮自重情況下，同一斜截面上的點(diǎn)的應(yīng)力分布相同，即在其他條件不變的情況下，應(yīng)力大小只與斜截面角度α有關(guān)。也就是說桿件任意與軸線成確定角度的斜截面上的點(diǎn)的應(yīng)力是相等的，且將斜截面沿軸線平移到任何位置，應(yīng)力大小都不變化，因此由公式（5）可計(jì)算最大切應(yīng)力。

桿件自身重力不可忽略時(shí)，同一斜截面上的點(diǎn)的應(yīng)力分布是不均勻的，即桿件內(nèi)一點(diǎn)處的應(yīng)力大小不僅與斜截面角度α有關(guān)，還與點(diǎn)所在位置的沿桿長度方向的坐標(biāo)x有關(guān)。

通過以上分析，可以清楚地認(rèn)識(shí)到考慮自重與忽略自重兩種情況下，斜截面應(yīng)力分布的計(jì)算方法的異同，該結(jié)論可以應(yīng)用到工程實(shí)際中。

[1]季順迎.材料力學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社，2013.

Explore the Oblique Section on Types of Ttress Distribution in the Stretch Rod

Wang Jin-cheng，Wang Liu-qing

In most cases，people are learning and research are ignored rod weight，but in some special cases，the weight of the rod is not negligible，its weight to the impact of stress caused by the inner rod may be directly related to the strength check rods，in order to make the design and application engineering rod is more secure and reliable，this thesis studied a stretch considering the weight of the rod and does not consider the weight of the various types of stress at the inner rod in case of distribution，as long as the use of a localized thinking to solve a cross-section rods discontinuity problem，the conclusion that the two types of stem stress points to accurately calculate the formula.

localized thinking；Uneven stress；Stress distribution

U448.213

A

1003–6490（2016）04–0246–02

2016–04–08

王金城（1994—），男，四川江油人，本科在讀生，主要從事工程力學(xué)學(xué)習(xí)與研究工作。