數格子估算面積與數格點估算面積

王軍

《義務教育數學課程標準（2011年版）》對于估算有明確的要求，即“理解估算的意義”“會用方格紙估計不規則圖形的面積”。很多教師認為估算是在不要求精確計算的情況下使用的一種能快捷求出近似結果的計算方法，或者是檢驗精算結果是否正確的驗算方法。但是他們沒有意識到，估算更重要的功能在于培養學生的數感、觀察能力、空間想象能力和邏輯推理能力。

一、教材中對曲線圖形面積的估算

江蘇教育出版社小學數學教材五年級上冊第22頁有這樣一道例題：

例11.下面是某自然保護區一個湖泊的平面圖，如圖1，（每個小方格表示1公頃）。你能估計這個湖泊的面積大約是多少公頃嗎？

通過數格子來估算，55個整格，34個非整格，非整格的算半格，這個湖泊的面積大約是72公頃。

這個圖形面積的準確值應該在55與89之間，上述估算方法不夠精確，思維含量偏低，也較難引起學生的興趣，有沒有其他的估計方法呢？

二、數格點估算面積

1.數格點算面積的方法介紹

通過閱讀文獻，我們認為，有一種數格點計算多邊形面積的方法可以用來估算曲線圖形的面積。這種方法起源于格點多邊形。所謂格點多邊形，就是說這個多邊形的頂點全是格點，如圖2：

設S為圖2的面積，L是邊界上的格點數（組成格子的橫豎線的交叉點正好在圖形的邊上），N是內部格點數（交叉點在圖形的內部），容易計算出圖形面積是11。如果聯系到圖形的L=6及N=9，還有+N-1的關系式成立，這種方法是否具有一般性呢？

2.數格點估算面積方法合理性的說明

數格子的估計方法學生應該是可以理解的，但是數格點估算面積的方法有何依據呢？先以格點矩形為例。看圖3。

設圖3矩形的長和寬分別為m和n，則面積S=mn。

再來考慮這個矩形的邊界格點數L，L=2（m+1）+2（n-1）；內部格點數N=（m-1）（n-1）；而 +N-1=m+n+mn-m-n+1-1=mn，所以關系式S=+N-1對格點矩形是成立的。

從圖形的對稱性可知，上述關系式對于格點直角三角形也是成立的，對于一般三角形也是成立的。

3.用不同方法估算圖形面積的比較和分析

由于我國一向重視計算結果的準確性以及估算剛剛走進小學課堂，導致很多一線教師對估算教學缺乏相應的經驗，因此，在估算教學中存在不少誤區。其中之一就是估算的方法、需求單一。我們在教學中要設法改變這種狀況，豐富估算的策略和方法，以便根據不同的需求進行選用。下面以江蘇教育出版社小學數學五年級上冊第22頁的一道練習題來說明。

練一練1：估計一下，下圖4中樹葉的面積大約是多少平方厘米？（每個小方格表示1平方厘米）

用數格子的方法來求面積，整格數有22個，非整格數有34個，因此估計其面積是22+34÷2=39平方厘米。

用數格點的方法來估算，先要在圖形上畫出與原圖面積接近的格點多邊形，再計算格點多邊形的面積。這里可以放手讓學生去畫不同的格點多邊形，然后展示格點多邊形的幾種不同畫法，繼而豐富估算的策略。

觀察圖5。點畫線畫出的格點多邊形接近銀杏葉且比銀杏葉的面積大，邊界和內部格點數分別是16和39，所以它的面積是46平方厘米；實線格點多邊形接近且比銀杏葉的面積小，邊界和內部格點數分別是20和24，其面積是33平方厘米；這樣就確定了銀杏葉的面積在33到46平方厘米之間。

與數格子估算面積相比，構造格點多邊形估算面積的方法可以更加直觀地看出估算面積與原面積的關系，可以更精確地確定面積范圍。從思維層面看，數格點更有數學味，其中的思維含量也高一些。

三、皮克（Pick）定理及其應用引入小學數學課堂的積極因素

上述數格點算面積的方法早在1889年就被奧地利數學家皮克發現了，S、L、N三者的關系式被稱為“皮克定理”。“皮克定理”被譽為有史以來“最重要的數學定理”之一。

數年前，國外某次數學會議上，一位林業官員向與會者介紹一系列有關數學應用在森林工業中的突出例子。其中一個例子，就是由巡航車在森林中的位置確定的地域范圍，用一張畫有點陣的透明薄膜覆蓋其上，畫出格點多邊形，數出邊界上點數的一半加上多邊形內部的點數，從而得出多邊形的面積。雖然這位官員并未意識到他基本上（稍有誤差）在使用十分完美、實用的皮克定理。

用數格點的方法估算面積，既豐富了估算圖形面積的方法，也能培養學生的空間想象能力和邏輯推理能力。在小學數學教學中引入皮克定理，對學生來說應該是可以掌握并在生活中有效運用的，作為小學教師能掌握本體性知識也是有必要的。教學中增加皮克定理的相關知識的介紹，也可以作為數學史在小學數學中的一種滲透，使學生了解到數學的價值，體悟數學的味道，激發學生的數學學習興趣。

參考文獻：

[1]桑帆.小學估算教學的現狀及對策研究[J].新課程研究，2014（8）.

[2]談祥柏.數學不了情[M].科學出版社，2010.

[3]詹國梁.皮克定理及其證明[J].蘇州教育學院學報，2000（3）.

編輯 魯翠紅