例談直線與圓中存在性問題的解題策略

賀勇久

江蘇高考數(shù)學(xué)《考試說明》中共有8個C級考點(diǎn)，直線的方程、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程是其中的兩個考點(diǎn).直線與圓中的存在性問題是考查的熱點(diǎn)問題，本文結(jié)合具體的例題淺談直線與圓中存在性問題的解題策略，希望對同學(xué)們有所幫助.

一、結(jié)合圖形，充分利用幾何性質(zhì)及圖形的特征

例1 （2014年北京卷（文科）第7題）已知圓C：（x-3）2+（y-4）2=1和兩點(diǎn)A（-m，0），B（m，0）（m>0），若圓C上存在點(diǎn)P，使得∠APB=90°，則m的最大值為 .

分析：結(jié)合直角三角形中的幾何性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，把問題轉(zhuǎn)化為求圓上動點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的最大值，數(shù)形結(jié)合求解.

解析：根據(jù)題意，畫出示意圖，如圖所示，圓心C的坐標(biāo)為（3，4），半徑r=1，且AB=2m.因?yàn)椤螦PB=90°，連接OP，易得OP=12AB=m，要求m的最大值，即求圓C上的點(diǎn)P到原點(diǎn)O的最大距離，因?yàn)镺C=32+42=5，所以O(shè)Pmax=OC+r=6，即m的最大值為6.

點(diǎn)評：本題中隱含坐標(biāo)原點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn)，由∠APB=90°發(fā)現(xiàn)OP=12AB=m對于解決本題至關(guān)重要.

例2 （2014屆江蘇省南通市高三第三次調(diào)研測試第12題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2+y2-4x=0.若直線y=k（x+1）上存在一點(diǎn)P，使過P所作的圓C的兩條切線相互垂直，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 .

分析：結(jié)合題意先作出示意圖，由直線與圓相切的幾何性質(zhì)等可知四邊形PMCN是正方形，所以PC=22，故原問題轉(zhuǎn)化為“直線y=k（x+1）上存在一點(diǎn)P，使得P點(diǎn)到圓心C的距離為PC=22，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.”