約束阻尼板的漸進(jìn)法結(jié)構(gòu)減振拓?fù)鋭恿W(xué)優(yōu)化

賀紅林，陶　結(jié)，袁維東，肖智勇

（南昌航空大學(xué) 航空制造工程學(xué)院，南昌 330063）

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約束阻尼板的漸進(jìn)法結(jié)構(gòu)減振拓?fù)鋭恿W(xué)優(yōu)化

賀紅林，陶結(jié)，袁維東，肖智勇

（南昌航空大學(xué) 航空制造工程學(xué)院，南昌 330063）

摘要：旨在為結(jié)構(gòu)減振設(shè)計(jì)奠定一定基礎(chǔ)，研究約束阻尼板減振優(yōu)化問題。建立約束阻尼板動力學(xué)平衡方程，推導(dǎo)模態(tài)損耗因子計(jì)算模型。構(gòu)建以模態(tài)損耗因子最大為目標(biāo)，黏彈性材料用量及模態(tài)頻率變動最小為約束的阻尼板拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)模態(tài)損耗因子靈敏度算式。引入漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法對約束阻尼板動力學(xué)優(yōu)化模型進(jìn)行求解，采用獨(dú)立網(wǎng)格濾波技術(shù)，解決優(yōu)化迭代中出現(xiàn)的棋盤格問題。編制阻尼板拓?fù)鋬?yōu)化程序，實(shí)現(xiàn)約束阻尼板減振優(yōu)化。仿真顯示，與非優(yōu)化刪除方法相比，采用漸進(jìn)拓?fù)鋭恿W(xué)優(yōu)化，更有利于實(shí)現(xiàn)黏彈材料優(yōu)化布局，且模態(tài)頻率變化比較穩(wěn)定。對阻尼結(jié)構(gòu)進(jìn)行諧響應(yīng)分析，以驗(yàn)證拓?fù)鋬?yōu)化方法有效性，引入模態(tài)損耗因子體積密度指標(biāo)以評價(jià)阻尼板減振拓?fù)鋬?yōu)化性能。研究表明，若能實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)模態(tài)損耗因子最大化，約束阻尼板減振效果明顯。該方法對于約束阻尼板設(shè)計(jì)具有較強(qiáng)實(shí)用性，擁有較高的穩(wěn)定性。

關(guān)鍵詞：振動與波；約束阻尼板；模態(tài)損耗因子；棋盤格；動力學(xué)優(yōu)化

隨著航空航天等現(xiàn)代科技的迅猛發(fā)展，機(jī)械日益朝著高速度、大動力、輕量化方向發(fā)展，使機(jī)器的結(jié)構(gòu)變得越來越復(fù)雜，運(yùn)轉(zhuǎn)環(huán)境更為惡劣，從而愈加容易受外界振動的干擾。劇烈的振動將會導(dǎo)致諸多不良危害，如造成機(jī)器工作精度下降、振動疲勞、損壞，并產(chǎn)生噪聲等問題[1–3]。如何高效控制結(jié)構(gòu)振動已成為機(jī)械設(shè)計(jì)的重要課題。由于具有良好減振性能，在結(jié)構(gòu)表面敷設(shè)阻尼材料是抑制振動的重要方法之一[4]。附加阻尼結(jié)構(gòu)作為常用的有效阻尼減振結(jié)構(gòu)形式，被廣泛應(yīng)用于振動控制中，附加阻尼結(jié)構(gòu)有自由阻尼層和約束阻尼層兩種。自由阻尼層主要通過阻尼材料拉伸變形來消耗結(jié)構(gòu)能量，而約束阻尼層通過阻尼材料剪切以耗能。若在結(jié)構(gòu)表面全部敷設(shè)阻尼材料，可最大限度地降低振動，但必然帶來結(jié)構(gòu)質(zhì)量增大的問題，這對飛機(jī)等質(zhì)量敏感性結(jié)構(gòu)，是不可接受的。為此，必須在保證最佳減振效果，確定阻尼材料優(yōu)化布局的同時(shí)，減少阻尼材料用量。張志飛基于變密度法，建立自由阻尼結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了方法的有效性[5]。胡衛(wèi)強(qiáng)等建立在諧和激勵(lì)條件下，自由阻尼板材料優(yōu)化配置模型，能夠有效控制振動[6]。王明旭基于變密度拓?fù)鋬?yōu)化方法[7]，獲得結(jié)構(gòu)的最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)形。鄭玲基于優(yōu)化準(zhǔn)則構(gòu)建以模態(tài)阻尼比為目標(biāo)函數(shù)的拓?fù)鋬?yōu)化模型獲得約束阻尼結(jié)構(gòu)最優(yōu)構(gòu)型[8]。郭中澤采用密度法和RAMP插值模型建立的阻尼板結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型得到最優(yōu)分布構(gòu)形[9]。李攀基于SIMP插值模型和變密度法對阻尼板進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，顯著降低頻響幅值[10]。變密度法和準(zhǔn)則法等數(shù)學(xué)意義嚴(yán)格，但實(shí)際應(yīng)用會遇到較大困難。為此，Xie提出結(jié)構(gòu)漸進(jìn)法，該方法盡管數(shù)學(xué)意義不甚嚴(yán)格但易于實(shí)現(xiàn)、較具實(shí)用性[11]。實(shí)踐表明，自由阻尼結(jié)構(gòu)耗能方式效率較低，約束阻尼結(jié)構(gòu)則能消耗更多的機(jī)械量[12]，同時(shí)，薄板結(jié)構(gòu)在工程上應(yīng)用較為廣泛，研究薄板結(jié)構(gòu)減振有著較大的理論意義和工程實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，故本文采用研究約束層阻尼板的漸進(jìn)拓?fù)鋬?yōu)化問題。

1　模態(tài)損耗因子建模

約束阻尼板由基層、黏彈阻尼層及約束層構(gòu)成，主要利用阻尼層的剪切效應(yīng)來耗散結(jié)構(gòu)的振動能，借助約束層來強(qiáng)化減振效率，其減振特性可用模態(tài)損耗因子予以評價(jià)，為此有必要推導(dǎo)其損耗因子計(jì)算模型。根據(jù)振動理論，約束阻尼板動力學(xué)平衡方程可寫成

式中M是阻尼板質(zhì)量矩陣；C為板的阻尼矩陣；K為阻尼板剛度矩陣；X為位移向量；Q為外加在阻尼板的激勵(lì)載荷向量。復(fù)剛度法對黏彈阻尼材料特性采用復(fù)模量模型進(jìn)行描述，并將黏彈性阻尼材料的彈性模量定義為復(fù)數(shù)形式[13]

式中E為阻尼層復(fù)彈性模量；E′、E″為阻尼材料的實(shí)剛度和虛剛度；ηv是阻尼材料損耗因子。考慮約束阻尼板的構(gòu)成并引入復(fù)剛度模型后，可將阻尼板動力學(xué)方程改寫成

式中Ky表示約束層剛度矩陣；Kb表示基層剛度矩陣；KvR表示黏彈性層剛度矩陣實(shí)部；KvI表示黏彈性層剛度矩陣虛部。采用模態(tài)法求解式（3）時(shí)，可寫出阻尼板的自由振動解形式

式中Φ?r是阻尼板r階復(fù)模態(tài)振型，為r階復(fù)圓頻率，且復(fù)圓頻率可由瑞利商求得Rao推導(dǎo)出模態(tài)損耗因子與復(fù)圓頻率間關(guān)系[14]式中ωr為r階復(fù)模態(tài)圓頻率的實(shí)部；ηr為第r階模態(tài)損耗因子。考慮到約束阻尼板彈性特質(zhì)的主導(dǎo)性，故在計(jì)算精度要求不是特別高的情況下，Φ?

r可用實(shí)模態(tài)振型Φr近似替代，則由式（5）可得第r階近似圓頻率

式中K（=Ky+Kb+KvR）為阻尼板總剛矩陣。

將式（6）代入式（7），得模態(tài)損耗因子計(jì)算式

2　結(jié)構(gòu)動力學(xué)優(yōu)化建模

2.1優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

合理地設(shè)計(jì)約束阻尼板的黏彈層及約束層平面敷設(shè)形貌，可望最大程度地發(fā)揮黏彈層的減振效能，并減少阻尼板的質(zhì)量。從減少結(jié)構(gòu)振動能的意義上講，既可擇取阻尼板振動響應(yīng)幅值為量化的優(yōu)化目標(biāo)，也可選取模態(tài)阻尼比、模態(tài)損耗因子、動撓度等為目標(biāo)。眾所周知，特定階次模態(tài)損耗因子全方位地反映結(jié)構(gòu)耗散該階次振動響應(yīng)能力，這說明，只要合理規(guī)劃阻尼層和約束層形貌及其敷設(shè)位置可提高結(jié)構(gòu)在激振頻區(qū)內(nèi)的振動模態(tài)損耗因子，即能使阻尼板獲得較佳減振效果。或換個(gè)角度講，為保證阻尼板減振效果及輕量化設(shè)計(jì)要求，可基于模態(tài)損耗因子最大化的目標(biāo)，規(guī)劃黏彈性層與基層的幾何布局。值得注意的是，在保證減振特性的同時(shí)，如何最大程度地保證結(jié)構(gòu)動態(tài)特性，比如結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率等保證基本不變，也是在結(jié)構(gòu)動學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)必須關(guān)注的方面。基于上述考慮，為最大限度地消耗振動能量，以模態(tài)損耗因子最大化為目標(biāo)，阻尼材料用量和模態(tài)頻率變動最小為約束條件，建立了阻尼板的拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型

其中xi=[0，1]為拓?fù)湓O(shè)計(jì)變量，表征第i個(gè)黏彈阻尼單元在優(yōu)化迭代后的狀態(tài)，xi取值為0時(shí)表示該單元已刪除，為1時(shí)則表示該單元繼續(xù)保留，n為粘彈性單元網(wǎng)格化數(shù)量，vi、Vo分別表示粘彈性單元i的體積與粘彈性材料總體積，α表示體積分?jǐn)?shù)。 f、fo分別為優(yōu)化前和拓?fù)涞蟮趓階模態(tài)頻率，fˉr表示第r階歸一化頻率，fˉ(low)r、?fˉ(upper)r分別表示歸一化

頻率的上下限。NF表示需控制頻率變化范圍的模態(tài)數(shù)量。

2.2損耗因子靈敏度

采用漸進(jìn)優(yōu)化法求解模型式（9）。該方法建立在目標(biāo)函數(shù)對設(shè)計(jì)變量求導(dǎo)基礎(chǔ)上，為目標(biāo)導(dǎo)數(shù)型方法，即為求解式（9）須推導(dǎo)出模態(tài)損耗因子關(guān)于設(shè)計(jì)變量的靈敏度。實(shí)際上，該靈敏度不僅是拓?fù)鋬?yōu)化的評判依據(jù)，更重要的是為迭代搜索提供方向。有了損耗因子靈敏度，可較易地尋得優(yōu)化構(gòu)型。為此，令式（8）對設(shè)計(jì)變量求導(dǎo)，從而得到模態(tài)損耗因子靈敏度

式（14）表示阻尼材料單元i及相應(yīng)約束層單元?jiǎng)h除后導(dǎo)致約束阻尼結(jié)構(gòu)模態(tài)損耗因子的變化量。則第r階約束阻尼單元i的靈敏度可定義為

2.3頻率約束靈敏度

約束阻尼結(jié)構(gòu)在優(yōu)化設(shè)計(jì)過程中，必須滿足頻率約束條件的限制，而阻尼結(jié)構(gòu)復(fù)雜，若僅憑借經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，較難達(dá)到模態(tài)變動最小的要求，為解決該問題，可進(jìn)行頻率靈敏度分析，以提高優(yōu)化效率。

根據(jù)結(jié)構(gòu)動力學(xué)理論，可得以下方程式

式（17）即模態(tài)頻率 f對設(shè)計(jì)變量xi變化的敏感程度。若結(jié)構(gòu)出現(xiàn)重頻時(shí)，靈敏度分析推導(dǎo)更復(fù)雜一些。

2.4獨(dú)立靈敏度濾波

采用漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化進(jìn)行連續(xù)體靜力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化時(shí)引來一個(gè)重要問題是會出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象，其主要表現(xiàn)是棋盤格式、網(wǎng)格依賴癥等。約束阻尼板漸進(jìn)減振動力學(xué)優(yōu)化將面臨同樣的問題。為了克服上述現(xiàn)象，本文擬采用Sigmund[15]獨(dú)立網(wǎng)格濾波技術(shù)消除數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象。該技術(shù)是一種簡單適用的啟發(fā)式算法，它以所分析的單元為中心，對過濾半徑范圍內(nèi)所有單元靈敏度進(jìn)行加權(quán)求和，且以加權(quán)值作為該單元的靈敏度。優(yōu)化時(shí)以靈敏度均化值決定單元的刪留表示單元i濾波前的靈敏度，Hi=Rmin-dist(i,e），Hi是權(quán)重因子，Rmin是濾波半徑，dist(i,e)表示單元i和單元e的中心距離，N表示單元e的中心距離dist(i,e）不大于Rmin的單元總數(shù)。選擇合適的濾波半徑，能夠有效消除棋盤格式和網(wǎng)格依賴癥等現(xiàn)象。

3　優(yōu)化模型的求解

約束阻尼板拓?fù)錅p振優(yōu)化的實(shí)質(zhì)就是逐步刪除靈敏度絕對值較小的單元，在減小阻尼材料用量的情況下，實(shí)現(xiàn)模態(tài)損耗因子最大化。運(yùn)用ANSYS的APDL語言編制優(yōu)化程序，使用Debug命令提取矩陣，形成OUT文件，清除單元編號、行編號、注釋等，以數(shù)組方式輸入MATALB中，處理和計(jì)算完成后，以共享數(shù)組方式實(shí)現(xiàn)與ANSYS數(shù)據(jù)傳遞。圖1給出了優(yōu)化數(shù)學(xué)模型求解程式，即

圖1　約束阻尼材料拓?fù)鋬?yōu)化程序流程圖

（1）建立約束阻尼板有限元分析模型，確定阻尼板邊界條件以及各相關(guān)參數(shù)；

（2）進(jìn)行結(jié)構(gòu)模態(tài)分析。提取約束阻尼板的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、模態(tài)振型，將數(shù)據(jù)導(dǎo)入MATLAB中，分別按式（15）、式（17）進(jìn)行損耗因子靈敏度和頻率約束靈敏度計(jì)算，經(jīng)處理后將數(shù)組返回ANSYS；

（3）選擇合適的濾波半徑，按式（18）對損耗因子靈敏度進(jìn)行獨(dú)立網(wǎng)格濾波處理；

（4）判斷頻率約束靈敏度值，構(gòu)建符合頻率約束條件的黏彈性阻尼單元集合Q，若單元集合為空，則優(yōu)化結(jié)束，否則繼續(xù)優(yōu)化迭代；

（5）對單元集合Q中損耗因子靈敏度值進(jìn)行排序，提取正靈敏度中最小值ξ1min和負(fù)靈敏度中最大值ξ2max；

（6）當(dāng)||ξ1min小于||ξ2max，刪除靈敏度等于ξ1min的黏彈性單元，當(dāng)||ξ1min大于或等于||ξ2max，則按由小到大原則逐漸刪除β個(gè)損耗因子靈敏度絕對值較小的單元；

（7）若滿足材料用量要求，則優(yōu)化結(jié)束，否則重復(fù)步驟（2）至（7），直到滿足材料用量要求退出優(yōu)化迭代。

4　算例分析

為驗(yàn)證優(yōu)化算法的有效性，針對矩形結(jié)構(gòu)約束阻尼板進(jìn)行漸進(jìn)優(yōu)化仿真，該板的長度和寬度均設(shè)定為0.5 m，基層厚0.004 5 m，基層彈性模量設(shè)定為70 GPa，泊松比為0.34，密度為2 700 kg/m3；黏彈性層彈性模量為12 MPa，泊松比0.495，密度為1 200 kg/m3，阻尼損耗因子0.5，黏彈性層厚0.001 5 m。約束層各項(xiàng)參數(shù)與基層基本相同，只是約束層厚為0.001 5 m。

分別以黏彈性材料刪除率為25%、50%作為迭代終結(jié)點(diǎn)對約束阻尼板的漸進(jìn)優(yōu)化迭代過程進(jìn)行跟蹤，且為便于對比，在圖2給出了僅按單元序號刪除黏彈材料的非優(yōu)化結(jié)果。圖3則給出了對應(yīng)于上述兩種黏彈材料刪除率的阻尼板優(yōu)化布局。

圖2　約束阻尼板未優(yōu)化時(shí)的布局

圖3　約束阻尼材料優(yōu)化布局

圖3（a）、（b）是針對1階模態(tài)損耗因子進(jìn)行優(yōu)化時(shí)的黏彈性阻尼材料的優(yōu)化布局，在刪除率為25% 和50%的情況下，搜尋阻尼材料最優(yōu)布局，優(yōu)化過程中，逐漸刪除處于無效或低效狀態(tài)的單元，保留高效單元。從圖3看出，優(yōu)化布局邊界清晰，獨(dú)立網(wǎng)格濾波技術(shù)很好地解決了優(yōu)化過程中的棋盤格等問題。

圖4給出了基于損耗因子最大化為目標(biāo)，1階和2階損耗因子變化，同時(shí)給出了阻尼材料按單元序號刪除的非優(yōu)化損耗因子變化。隨著刪除率的不斷增大，按漸進(jìn)法刪除阻尼材料，損耗因子雖有一定程度下降，但降幅不大，而按非優(yōu)化方法刪除阻尼材料，模態(tài)損耗因子在非優(yōu)化的后半段逐漸劇烈下降。可見，若基于漸進(jìn)法，優(yōu)先刪除靈敏度較小的阻尼單元，可使結(jié)構(gòu)以較少的材料獲得較好的減振能力。因此合適的優(yōu)化方法和阻尼材料布局，可盡可能的提高結(jié)構(gòu)模態(tài)損耗因子，更好地提高結(jié)構(gòu)抑制振動的能力。

圖5給出了模態(tài)頻率隨刪除率的變化。可見，隨著迭代不斷進(jìn)行，阻尼材料不斷刪除，基于優(yōu)化法的模態(tài)頻率變化比較穩(wěn)定，而未優(yōu)化時(shí)頻率均呈現(xiàn)先降后升的趨勢，頻率變化劇烈。刪除率為50%時(shí)，1階、2階優(yōu)化后頻率變動均比未優(yōu)化時(shí)小，驗(yàn)證了優(yōu)化結(jié)果的有效性。因此，相比較于未優(yōu)化的刪除方法，基于漸進(jìn)法逐漸刪除阻尼材料，結(jié)構(gòu)特定階次的頻率并無很大幅度的變化，同時(shí)還滿足頻率約束的要求。

圖4　約束阻尼模態(tài)損耗因子隨刪除率的變化

圖5　約束阻尼模態(tài)頻率隨刪除率的變化

圖6給出了阻尼結(jié)構(gòu)在優(yōu)化前后的諧響應(yīng)特性變化。圖中可見，若分別按1階模態(tài)、2階模態(tài)優(yōu)化時(shí)，即使阻尼材料刪除率達(dá)50%也能保證優(yōu)化后的1階、2階模態(tài)振幅值均有一定程度下降，故而驗(yàn)證了優(yōu)化方法的可行性，也表明基于漸進(jìn)法的阻尼結(jié)構(gòu)優(yōu)化，可使結(jié)構(gòu)獲得良好的減振特性。

為定量評價(jià)約束阻尼板黏粘彈材料優(yōu)化前后耗能效能，引入損耗因子體積密度的概念，并將其定義為模態(tài)損耗因子與阻尼材料體積之比。

圖7（a）、（b）給出了1階、2階模態(tài)損耗因子體積密度的變化曲線，隨著低效阻尼單元不斷刪除，保留在阻尼板上的都為高耗能單元，能最大程度發(fā)揮阻尼材料減振效能，故1階、2階模態(tài)損耗因子體積密度均呈現(xiàn)直線上升趨勢。若不進(jìn)行優(yōu)化，按單元編號逐漸刪除阻尼單元，1階、2階損耗因子密度均呈現(xiàn)先升后降的趨勢，且其值比優(yōu)化時(shí)小，表示此時(shí)阻尼材料并未較好地發(fā)揮減振效能。以上分析進(jìn)一步表明在設(shè)計(jì)阻尼板減振結(jié)構(gòu)時(shí)，采用基于模態(tài)損耗因子最大化的漸進(jìn)優(yōu)化方法有利阻尼材料優(yōu)化布局，能充分發(fā)揮阻尼材料減振效果。

圖6　阻尼結(jié)構(gòu)諧響應(yīng)分析

圖7　模態(tài)損耗因子密度隨刪除率的變化

5結(jié)　語

基于漸進(jìn)法對約束阻尼板拓?fù)錅p振優(yōu)化方法進(jìn)行了研究。依據(jù)阻尼板動力學(xué)平衡方程，推導(dǎo)了模態(tài)損耗因子計(jì)算模型，建立結(jié)構(gòu)動力學(xué)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，給出模態(tài)損耗因子靈敏度計(jì)算方法。采用獨(dú)立網(wǎng)格濾波技術(shù)，有效消除棋盤格等現(xiàn)象，編程實(shí)現(xiàn)了矩形板拓?fù)錆u進(jìn)減振動力學(xué)優(yōu)化算法，并基于漸進(jìn)算法對優(yōu)化模型進(jìn)行求解，同時(shí)為評價(jià)約束阻尼板減振優(yōu)化效果，引入模態(tài)損耗因子體積密度指標(biāo)。研究結(jié)果表明，通過與非優(yōu)化刪除方法進(jìn)行比對，本文提出的漸進(jìn)優(yōu)化算法，能在保證黏彈材料用量較小，結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率變動最小的前提下，使結(jié)構(gòu)獲得良好的減振效果。

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江西省自然科學(xué)基金（20122BAB216027）

學(xué)優(yōu)化、精密驅(qū)動技術(shù)等研究。E-mail:hehonglin1967@163.com

中圖分類號：O422.6

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

DOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.01.004

文章編號：1006-1355(2016)01-0015-06

收稿日期：2015-08-14

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金（51265040）；

作者簡介：賀紅林(1967-)，男，博士,教授，從事復(fù)雜結(jié)構(gòu)動力

Topological Dynamic Optimization for Structure Vibration Reduction of Constraint Damping Plates Using EvolutionaryMethod

HE Hong-lin,TAOJie,YUAN Wei-dong,XIAO Zhi-yong

(Institute ofAeronautical Manufacturing,Nanchang HangKong University,Nanchang 330063,China)

Abstract:Structure topological optimization for vibration reduction of constraint damping plates was studied.The dynamic equations for the constraint damping plates were established,and a modal loss factor model for the plates was obtained. A topological optimization model to maximize the modal loss factor with lest viscoelastic damping materials consumption and minimum modal frequency variation as the constraints,was established for the constraint damping plates.The evolutionary structural optimization method was employed to solve the optimization model,and the modal loss factor sensitivity formula was deduced.Independent mesh filter method was introduced to avoid checkerboard appearance.An optimization program was accomplished for damping plate optimizing simulation.Results of simulation show that compared with the non-optimized method,the evolutionary structural optimization was more advantageous for realizing the viscoelastic material optimal layout, and the modal frequency variation was more stable.Harmonic response analysis was carried out for the damping plate to verify the topological optimization method,and the modal loss factor density index was introduced to evaluate the optimization performance.The results of the study show that the constraint damping plates can obtain better vibration suppression effects while the damping materials layout can maximize the modal loss factor.This method has strong practicability and high stability for the optimization design of damping structures.

Key words:vibration and wave;constraint damping plates;modal loss factor;checkerboard;dynamic optimization