如何結合函數圖像解決“路程問題”

吳國平

函數及其性質是初中數學重點內容，也是中考重點考查內容之一.

中考對函數知識的考查主要是運用函數知識來解決實際生活問題.函數實際應用型問題是把題中數量關系抽象為函數模型，如一次函數、二次函數、反比例函數以及它們的分段函數，進而應用函數進行分析、研究、解決有關問題.函數問題的實質是研究兩變量之間的對應關系，用函數思想構建數學模型解決實際問題.

例1：“五一節”期間，王老師一家自駕游去了離家170千米的某地，下面是他們離家的距離y（千米）與汽車行駛時間x（小時）之間的函數圖像，當他們離目的地還有20千米時，汽車一共行駛的時間是（ ）.

A. 2小時 B. 2.2小時 C. 2.25小時 D. 2.4小時

考點：函數的圖像.

解析：設AB段的函數解析式是y=kx+b，

y=kx+b的圖像過A（1.5，90），B（2.5，170），

1.5k+b=90，2.5k+b=170， 解得k=80，b=-30.

∴AB段函數的解析式是y=80x-30.

離目的地還有20千米時，即y=170-20=150千米，

當y=150時，80x-30=150， x=2.25小時.

故選：C.

解題反思：本題考查一次函數的應用，利用待定系數法求解析式，利用函數值求自變量的值.

例2：小明從家出發，外出散步，到一個公共閱報欄前看了一會兒報后，繼續散步了一段時間，然后回家.如圖描述了小明在散步過程中離家的距離s（米）與散步所用的時間t（分）函數關系.根據圖像，下列信息錯誤的是（ ）.

A. 小明看報用時8分鐘

B. 公共閱報欄距小明家200米

C. 小明離家最遠的距離為400米

D. 小明從出發到回家共用時16分鐘

考點：函數的圖像.

解析：A. 看報用時8-4=4分鐘，A項錯誤；B. 公共閱報欄距小明家200米，B項正確；C. 由圖可知，12分鐘時小明離家最遠，小明離家最遠的距離為400米，C項正確；D. 由圖可知小明從出發到回家共用時16分鐘，D項正確.

故選：A.

解題反思：本題考查利用函數的圖像解決實際問題的能力，正確理解函數圖像橫縱坐標表示的意義，理解問題的過程，就能夠通過圖像得到函數問題的相應答案.

例3：甲、乙兩人在直線跑道上同起點、同終點、同方向勻速跑步500米，先到終點的人原地休息.已知甲先出發2秒.在跑步過程中，甲、乙兩人的距離y（米）與乙出發的時間t（秒）之間的關系如圖所示，給出以下結論：①a=8；②b=92；③c=123. 其中正確的是（ ）.

A. ①②③ B. ①②

C. ①③ D. ②③

考點：一次函數的應用.

解析：易得乙出發時，兩人相距8米，除以時間2秒即為甲的速度；由于出現兩人距離為0米的情況，那么乙的速度較快.乙100秒跑完總路程500米可得乙的速度，進而求得100秒時兩人相距的距離可得b的值，同法求得兩人距離為0米時，相應的時間，讓兩人相距的距離除以甲的速度，再加上100秒即為c的值.

解：甲的速度為：8÷2=4（米/秒）；

乙的速度為：500÷100=5（米/秒）；

b=5×100-4×（100+2）=92（米）；

5a-4×（a+2）=0，

解得a=8，

c=100+92÷4=123（秒），

∴正確的有①②③.

故選：A.

解題反思：得到甲乙兩人的速度是解決本題的突破點；得到相應行程的關系式是解決本題的關鍵.

例4：早晨，小剛沿著通往學校唯一的一條路（直路）上學，途中發現忘帶飯盒，停下往家里打電話，媽媽接到電話后帶上飯盒馬上趕往學校，同時小剛返回，兩人相遇后，小剛立即趕往學校，媽媽回家.15分鐘后媽媽到家，再經過3分鐘小剛到達學校，小剛始終以100米/分的速度步行，小剛和媽媽的距離y（米）與小剛打完電話后的步行時間t（分）之間的函數關系如圖，下列四種說法：

①打電話時，小剛和媽媽的距離為1 250米；

②打完電話后，經過23分鐘小剛到達學校；

③小剛和媽媽相遇后，媽媽回家的速度為150米/分；

④小剛家與學校的距離為2 550米.其中正確的個數是（ ）.

A. 1個

B. 2個

C. 3個

D. 4個

考點：函數的圖像.

解析：①由圖可知打電話時，小剛和媽媽的距離為1 250米是正確的；

②因為打完電話后5分鐘兩人相遇后，小剛立即趕往學校，媽媽回家，15分鐘后媽媽到家，再經過3分鐘小剛到達學校，經過5+15+3=23分鐘小剛到達學校，所以②是正確的；

③打完電話后5分鐘兩人相遇前，媽媽的速度是1 250÷5-100=150米/分，走的路程為150×5=750米，媽媽回家的速度是750÷15=50米/分，所以媽媽回家的速度為150米/分是錯誤的；

④小剛家與學校的距離為750+（15+3）×100=

2 550米，所以④是正確的.

正確的答案有①②④.故選：C.

解題反思：此題考查函數的圖像的實際意義，結合題意正確理解函數圖像，利用基本行程問題解決問題.