例談變式思想在試題命制中的應用

張順華

高考數學試題絕大多數是新題（新情境、新材料、新形式），但考查的知識卻都能從數學教材中找到。盡管全國的數學教師都在猜題，考生也都在做題，但猜（做）中的概率微乎其微，其中的緣由就是命題者采用了一定的變式，所以，我們看到的高考試題似曾相識但又從未做過。由此可見，變式法命制試題是非常重要的命題方法。接下來，我們將從變式的形式、作用以及試題的科學性談談變式思想在試題命制中的應用。

1 變式的形式和作用

所謂變式就是在原有試題的基礎上推陳出新，是指將已有的一些現成的“好”題經適當改造編制形成新的試題。變式的一般方法有：①改變條件；②改變題型；③改變設問；④改變背景。

（-）改變條件

例1：（理）已知四面體ABCD的頂點都在球O球面上，AD=AC=BD=2， ，∠BDC=90°，平面ADC 平面BDC，則球O的體積為 ________.

變式：（文）已知四面體ABCD的頂點都在球O球面上，且球心O在BC上，平面ADC 平面BDC，AD=AC=BD，∠DAC=90°，若四面體ABCD的體積為 ，則球O的體積為 ________.

例1與變式是兩個同結論的題目，但條件的形式有差別。例1給出了邊的具體長度，但需要學生能判斷球心O在BC上；變式沒直接給出各邊的長度，不過已知球心O在BC上，利用四面體ABCD體積為 計算球半徑，相對于例1在思維上的要求就降低了。因考查學生不同，通過變式，一題兩用.

（二）改變題型

例2：（文）設 ，則

數列 的前2015項的和S2015=（ ）

A.0 B. 2014 C.2015 D.2016

變式：（理）設 ，則

數列 的前2015項的和S2015=_________________

改變題型是最簡單的變式形式，就因為那個窄窄的橫線，原有的25%的正確概率不一定存在了，有可能從選項中得到的思考方向也沒了，什么特值法、排除法都發揮不了作用了，似乎有種世界變了的感覺。不過也正因為那個窄窄的橫線，可以無限伸縮，選項從4個變成了100個、1000個，給了考生無限的想象空間，在將它栓住的那一刻，考生的思維已經成功的放飛并且又安全的著陸，思維上得到更有力的訓練。

（三）改變設問

例3：（文）在三棱柱ABC-A1B1C1中，側面AA1C1C底面ABC，AA1=A1C=AC=BC=2，AC BC，點S是側棱AA1延長線上一點，EF是平面SBC與平面A1B1C1的交線.

（1）求證 ：EF AC1； （2）求四棱錐A1-BCC1B1的體積.

變式：（理）第一問與例3相同，第二問變為 （2）求直線A1C與平面A1AB所成角的正弦值.

改變設問，是非常常見的變式命題形式，此處變式是因為文理考查要求既有交叉知識點又有不同。理科數學對空間直角坐標系的考查，是文科數學所不要求的，在此種情況下求空間角等問題對文科生來說需要作出空間角利用三角知識解答，難度較大。變式之后，作為理科試題，既起到了考查的目的，又體現了空間直角坐標系解決空間角問題的便利。

（四）改變背景

例4：一個袋子中裝有只有顏色不同的13個球，其中紅球8個，藍球5個，現從袋子中任取3個球，

（1）求其中恰有2個藍球的概率。

（2）記取出的3個球中藍球的個數為X，求X的分布列，數學期望E（X）及方差D（X）

變式：設不等式x2+y2≤4確定的平面區域為U，|x|+|y|≤1確定的平面區域為V

（1）定義橫、縱坐標為整數的點為“整點”，在區域U內任取3個整點，求這些整點中恰有2個整點在區域V內的概率；

（2）在區域U內任取3個點，記3個點在區域V內的個數為X，求X的分布列，數學期望E（X）及方差D（X）

例4來源于數學教材的改編，同時也是與生活聯系較緊密的背景。此種背景雖然很好的體現了數學來源于生活，反過來可以解決生活中的數學問題，但是顯得比較陳舊了，變式題中的兩個區域內的整點很好的契合了例4中的所有球和藍色球，而變式題的第二問更是將問題從有限樣本空間拓展到無限樣本空間，很好的將幾何概率和二項分布知識聯系起來。解決此題，需要學生有良好的轉化與化歸思想。

2 試題的科學性

上面舉例說明了變式的形式和作用，應當指出的是，命題變式不是為了變式而變式，而是為了考查的需要，遵循考生的認知規律而設計，可以是知識點考查、難易度、思維考查、能力考查的要求不同。此外，變式是在原題基礎上推陳出新，一定要謹慎、科學，不要題目變了新了卻壞了。下面我們舉例說明，試題命制的科學性的重要。

例5：如圖，在△ABC中，AB=5，AC=3，D是中點，且AD=4，則BC=_____

此題是一題邏輯通順，算理準確，答案能算出但實際不存在的題。只是一類經常會出現的錯題，在平時做的習題和考試中都會出現，所以往往被命題者忽略。命題者忽略了題設數據因滿足的隱含條件，因此該題雖然計算思路沒問題，計算過程也正確，答案也可以求出，可事實上，由于BC=2x=2，出現了

AC+BC=AB，這時并不構成△ABC，即△ABC不存在。

一線教師的命題機會越來越多，命制的試卷良莠不齊，但一份試卷最起碼的要求就是不要出現科學性錯誤，一定要考慮變式的合理性、科學性。

最后希望，通過變式命題對數學問題多角度、多方位、多層次的探究和思考，有意識、有目的地引導學生從“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”的本質中探究“變”的規律，使所有知識點融會貫通，使思維在所學知識中游刃有余、順暢飛翔。

參考文獻

1、《上海市中小學數學課程標準》上海教育出版社，2004年

2、趙曉楚 周愛東《如何在數學課堂中實施變式教學》中小學教學研究，2007年第5期

3、徐勇彪《變式訓練在初中數學中的應用與思考》新課程研究（教師教育）

4、張文娣《例題變式的途徑和方法》中學數學（2007年1期）解題研究