基于Bayes方法的動(dòng)車組軸箱彈簧可靠性壽命評估

李永華，程杰，陳秉智

(1.大連交通大學(xué) 交通運(yùn)輸工程學(xué)院，遼寧 大連 116028；2.大連交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116028)

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基于Bayes方法的動(dòng)車組軸箱彈簧可靠性壽命評估

李永華1，程杰2，陳秉智1

(1.大連交通大學(xué) 交通運(yùn)輸工程學(xué)院，遼寧 大連 116028；2.大連交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116028)

摘要:采用Bayes方法進(jìn)行動(dòng)車組軸箱彈簧可靠性壽命評估，提出在小子樣條件下利用改進(jìn)的證據(jù)理論合成規(guī)則對多源驗(yàn)前信息進(jìn)行信息融合；軸箱彈簧壽命滿足Weibull分布時(shí)，在形狀參數(shù)不變的條件下將該分布轉(zhuǎn)化為指數(shù)分布，簡化Bayes可靠性評估中后驗(yàn)分布的求解過程。該方法不僅使評估結(jié)果更符合實(shí)際情況，而且提高了評估結(jié)果的準(zhǔn)確性。

關(guān)鍵詞：信息融合；Bayes；軸箱彈簧；壽命評估

軸箱彈簧作為動(dòng)車組轉(zhuǎn)向架的關(guān)鍵部件之一，起到連接、定位、緩和振動(dòng)與沖擊等作用[1]。目前，對軸箱彈簧的可靠性壽命評估方法主要是通過對載荷、應(yīng)力分析、碰撞損傷、接觸疲勞等方面進(jìn)行分析[2-5]，并預(yù)計(jì)或估算其疲勞壽命，所得到的彈簧壽命多為循環(huán)次數(shù)，而非運(yùn)營里程數(shù)，這樣的評估結(jié)果不能直接為彈簧檢修、更換提供指導(dǎo)。在小子樣條件下對軸箱彈簧進(jìn)行可靠性壽命評估時(shí)，可采用現(xiàn)有的半經(jīng)驗(yàn)法，但半經(jīng)驗(yàn)法過于依靠工程經(jīng)驗(yàn)，評估結(jié)果過于集中、存在一定誤差[6]。因此，如何在小子樣條件下根據(jù)軸箱彈簧實(shí)際壽命里程數(shù)進(jìn)行可靠性壽命評估，得到更可靠的、準(zhǔn)確的、符合實(shí)際的軸箱彈簧壽命，并對運(yùn)營中的軸箱彈簧更換、檢修十分重要。本文使用Bayes方法對軸箱彈簧進(jìn)行可靠性壽命評估，并結(jié)合D-S證據(jù)理論進(jìn)行信息融合；在形狀參數(shù)不變的條件下，通過將Weibull分布轉(zhuǎn)化為指數(shù)分布，選取伽瑪分布作為驗(yàn)前分布；使用Bayes方法對Weibull分布中的尺度參數(shù)進(jìn)行估計(jì)得到后驗(yàn)分布，運(yùn)用后驗(yàn)分布進(jìn)行可靠性壽命計(jì)算。該過程可簡化Bayes可靠性評估的求解，還使得在小子樣試驗(yàn)條件下，更加充分地利用大量歷史信息和專家信息等信息，做出更符合實(shí)際和準(zhǔn)確的評估結(jié)果，為動(dòng)車組運(yùn)行維護(hù)中軸箱彈簧檢修及更換提供參考。

1基于D-S證據(jù)理論的信息融合

在小子樣可靠性評估中，雖然試驗(yàn)信息較少，但存在著大量驗(yàn)前信息[7]，需要將這些不同類別的信息進(jìn)行融合。證據(jù)理論可以綜合多個(gè)證據(jù)信息的信任分配，已被成功于用來處理許多專業(yè)領(lǐng)域的不確定、不精確信息以及多源信息問題[8-10]。本文利用證據(jù)理論中的合成規(guī)則，對驗(yàn)前多源信息進(jìn)行融合。

1.1合成規(guī)則

使用傳統(tǒng)的D-S證據(jù)合成規(guī)則對沖突證據(jù)進(jìn)行合成時(shí)，存在合成結(jié)果與事實(shí)不符的悖論[11-12]。為避免出現(xiàn)悖論問題，文獻(xiàn)[13]提出一種改進(jìn)方法，通過使用一種新的沖突度量因子和證據(jù)來修正。所提出的沖突因子是對Jousselme證據(jù)距離[14]的一種改進(jìn)，對沖突證據(jù)的合成具有明顯優(yōu)勢。

定義：設(shè)Θ為辨識框架，?X?Θ，m(X)表示用[0,1]區(qū)間上一個(gè)確定值來賦予2Θ中的每一個(gè)元素，即m(X)：2Θ→[0,1]，并且滿足：

m(φ)=0

(1)

∑X∈2Θm(X)=1

(2)

式中，m(X)為基元的基本信任分配函數(shù)(BasicProbabilityAssignment，BPA)。

用D-S證據(jù)理論的合成規(guī)則來融合所有的BPA時(shí)，表達(dá)式為：

m(C)=mi(X)⊕mj(Y)=

(3)

文獻(xiàn)[13]中針對沖突的證據(jù)進(jìn)行了修正，修正規(guī)則為：

(4)

滿足歸一化后：

(5)

(6)

1.2信息融合

將歷史試驗(yàn)數(shù)據(jù)信息和專家信息進(jìn)行信息融合時(shí)，先將2種數(shù)據(jù)盡可能地轉(zhuǎn)化為相同類型的信息，再建立辨識框架，通過辨識框架構(gòu)建多個(gè)BPA。按照1.1節(jié)中的修正合成方法對進(jìn)行證據(jù)信息進(jìn)行修正，并將修正后的證據(jù)進(jìn)行合成。

對識別框架{A,B}，建立2個(gè)不同證據(jù)源的基本信任分配函數(shù)：

AB

當(dāng)m1和m2沖突證據(jù)時(shí)，使用文獻(xiàn)[13]中的方法進(jìn)行修正，得到修正后的基本信任分配函數(shù)為：

ABΘ

(7)

由于辨識框架中滿足：∑X∈2Θm(X)=1，對修正后的證據(jù)使用D-S證據(jù)合成后的結(jié)果也一定滿足：∑m(C)=1。可以將合成后的m(C)值視為相應(yīng)信息源中相關(guān)參數(shù)在融合后的信息中所占的權(quán)重。

假設(shè)：參數(shù)λ在信息源A和B中的值為λ1和λ2，使用式(7)求得m(A)、m(B)、m(Θ)后，對參數(shù)λ進(jìn)行融合，其方程為：

(8)

根據(jù)D-S證據(jù)理論合成過程，分別對信息源A和B中所包含的其他參數(shù)進(jìn)行逐一歸納、融合，可以得到多個(gè)參數(shù)的融合結(jié)果。

通過本節(jié)對信息融合方法的描述，可以看出：融合過程中沒有使用過多的假設(shè)，避免了因主觀原因而導(dǎo)致的不合理結(jié)果；即使不同信息之間出現(xiàn)較明顯的沖突時(shí)，改進(jìn)后合成規(guī)則也能根據(jù)其自身優(yōu)勢使得融合結(jié)果更加合理。

2Weibull分布的Bayes可靠性評估

在結(jié)構(gòu)疲勞壽命評估中，認(rèn)為Weibull分布比其他分布更能準(zhǔn)確地描述疲勞壽命的概率分布[15]，且在根據(jù)同批次的產(chǎn)品的疲勞壽命數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)顯示，當(dāng)滿足Weibull分布時(shí)，其形狀參數(shù)基本保持不變[16]，可視為常數(shù)，可以將Weibull分布轉(zhuǎn)化為指數(shù)分布；Weibull分布沒有與之相應(yīng)的共軛分布，指數(shù)分布存在共軛分布，通過共軛分布方法選取適當(dāng)?shù)尿?yàn)前分布，避免直接求解Bayes方程時(shí)的大量積分運(yùn)算。

Weibull分布中的尺度參數(shù)作為未知變量，通過將Weibull分布的轉(zhuǎn)化為指數(shù)分布，并選取伽瑪分布作為驗(yàn)前分布；對尺度參數(shù)進(jìn)行Bayes評估，對形狀參數(shù)進(jìn)行極大似然估計(jì)；再根據(jù)評估結(jié)果將后驗(yàn)分布還原為Weibull分布；最后使用后驗(yàn)分布進(jìn)行可靠性相關(guān)指標(biāo)計(jì)算。

2.1Weibull分布的轉(zhuǎn)化及參數(shù)估計(jì)

兩參數(shù)的Weibull分布的概率密度函數(shù)f(t)為：

(9)

兩參數(shù)的Weibull分布的可靠度R(t)為：

(10)

式中，t為時(shí)間；η為尺度參數(shù)；m為形狀參數(shù)。

變量t的累積分布函數(shù)F(t)為[16]：

當(dāng)形狀參數(shù)m為常數(shù)時(shí)，令x=tm，則dx=mtm-1dt，可得：

轉(zhuǎn)化后的F(t)的可視為指數(shù)分布的累積分布函數(shù)形式，轉(zhuǎn)化后的概率密度函數(shù)f′(t)為：

(11)

式(11)中θ=ηm，x=tm(η>1，m>1)，可以看出尺度參數(shù)η的差將被放大m次方；因此，對評估精度的影響因數(shù)中，尺度參數(shù)η的誤差引起的影響比形狀參數(shù)m誤差引起的影響更大。對尺度參數(shù)η進(jìn)行Bayes評估比對形狀參數(shù)m進(jìn)行評估對保證評估結(jié)果的精度更有意義。

利用得到的極大似然函數(shù)方程對參數(shù)η，m求偏導(dǎo)，得到極大似然估計(jì)方程：

(12)

2.2Bayes可靠性評估

使用Bayes方法進(jìn)行可靠性評估時(shí)，可以充分利用樣本信息構(gòu)成的似然函數(shù)分布和歷史信息構(gòu)建驗(yàn)前分布，再利用Bayes公式推導(dǎo)出后驗(yàn)分布。在評估該過程中由共軛分布法原則，根據(jù)樣本信息可以對驗(yàn)前信息進(jìn)行適當(dāng)修改，使得最終的評估結(jié)果更加接近真實(shí)情況。

Bayes原理可表達(dá)為：

(13)

軸箱彈簧的實(shí)驗(yàn)樣本信息服從Weibull分布時(shí)，將參數(shù)1/θ作為未知變量；由共軛分布法，選取伽瑪分布作為驗(yàn)前信息的分布形式。由θ=ηm可知，參數(shù)θ的值只與尺度參數(shù)η值有關(guān)，對θ進(jìn)行Bayes點(diǎn)估計(jì)，就是對尺度參數(shù)η的點(diǎn)估計(jì)。

當(dāng)驗(yàn)前信息服從伽瑪分布時(shí)，將參數(shù)1/θ作為變量的概率密度函數(shù)為：

(14)

對θ的均值進(jìn)行Bayes點(diǎn)估計(jì)時(shí)，選擇在平方損失函數(shù)條件下[16]，其評估值為：

(15)

由伽瑪分布的矩估計(jì)方法，可知參數(shù)α和β的矩估計(jì)值為：

(16)

(17)

(18)

使用Bayes方法得到的后驗(yàn)分布進(jìn)行可靠性評估時(shí)，根據(jù)式(10)，可靠度R′(t)為：

(19)

3軸箱彈簧的Bayes可靠性評估過程

軸箱彈簧的Bayes可靠性壽命評估流程圖如圖1所示。

圖1　Bayes可靠性評估流程圖Fig.1 Flowchart of the Bayes reliability evaluation

按照第1節(jié)中介紹的證據(jù)理論合成規(guī)則，首先對軸箱彈簧的驗(yàn)前信息建立識別框架：{相似的軸箱彈簧的壽命信息(A),專家信息(B)}；其基本信任分配函數(shù)為：

AB

該函數(shù)中的證據(jù)m1和m2為明顯的沖突證據(jù)，經(jīng)過修正后的證據(jù)和合成后結(jié)果見表1。

表1　證據(jù)融合結(jié)果

表2　相關(guān)參數(shù)計(jì)算結(jié)果

通過圖2信息融合中的概率密度函數(shù)圖可知，使用文中的信息融合方法得到的信息融合結(jié)果是多種信息的綜合，融合后的信息加強(qiáng)了類似試件的試驗(yàn)信息和專家信息中共同包含的信息，同時(shí)減弱了2種信息中的沖突部分，使得融合后信息更加準(zhǔn)確。隨著信息源的增加，融合后的信息的準(zhǔn)確性將進(jìn)一步增加。

圖2　信息融合中的概率密度函數(shù)圖Fig.2 Robability density function of information fusion

軸箱彈簧可靠性壽命評估中，使用Bayes方法得到的評估結(jié)果綜合了試驗(yàn)信息和歷史信息，結(jié)合式(18)得到的概率密度函數(shù)為：

將似然函數(shù)分布、驗(yàn)前分布以及驗(yàn)后分布的概率密度函數(shù)進(jìn)行比較，如圖3所示。可以看出，使用Bayes方法得到的驗(yàn)后分布中加強(qiáng)了驗(yàn)前信息和歷史信息中相同的部分，同時(shí)減弱了2種信息中不相同的部分，使得使用后驗(yàn)分布評估結(jié)果比后兩者更加接近實(shí)際情況。

圖3　Bayes評估中的概率密度函數(shù)圖Fig.3 Probability density function of Bayes evaluation

利用Bayes方法得到的后驗(yàn)分布進(jìn)行可靠性壽命評估中，當(dāng)可靠度為90%時(shí)，根據(jù)式(19)，得到軸箱彈簧壽命評估結(jié)果為：t=67×104km。

相同條件下，采用傳統(tǒng)的半經(jīng)驗(yàn)法[6]計(jì)算，當(dāng)可靠度為90%時(shí)，得到的壽命評估結(jié)果為：t′=99×104km。

通過將t和t′與測試數(shù)據(jù)對比可知，文中所提方法的評估結(jié)果與試驗(yàn)測試結(jié)果更符合，因此評估結(jié)果更加可靠。

4結(jié)論

1)使用證據(jù)理論合成規(guī)則，將不同類型的信息和沖突信息進(jìn)行合成，把更多的信息整合到驗(yàn)前分布中。本文的信息融合過程中，沒有使用過多的前提假設(shè)，避免了一部分由主觀認(rèn)識產(chǎn)生的誤差，使得到的驗(yàn)前分布更準(zhǔn)確。

2)隨著新信息的出現(xiàn)，可以在此基礎(chǔ)上繼續(xù)合成。隨著驗(yàn)前分布中融合的信息越多，使用Bayes方法的評估結(jié)果就越接近真實(shí)情況。

3)由于Bayes評估方法的靈活性，隨著新的試驗(yàn)樣本的出現(xiàn)，本次評估結(jié)果可作為下一次試驗(yàn)數(shù)據(jù)的一種驗(yàn)前信息，再繼續(xù)進(jìn)行Bayes可靠性壽命評估，從而對軸箱彈簧建立實(shí)時(shí)的可靠性壽命評估模型。

4)通過在形狀參數(shù)不變的條件下，將Weibull分布轉(zhuǎn)化為指數(shù)分布，簡化了Weibull分布下Bayes方程的求解過程；得到的Bayes點(diǎn)估計(jì)同樣準(zhǔn)確、有效。最終的評估結(jié)果符合實(shí)際情況，當(dāng)可靠度為90%時(shí)，軸箱彈簧壽命t=67×104km，可為指導(dǎo)軸箱彈簧的檢測、維修提供參考。

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* 收稿日期：2016-01-30

基金項(xiàng)目：遼寧省自然科學(xué)基金優(yōu)秀人才培育項(xiàng)目(2014028020)；遼寧省教育廳科學(xué)研究一般項(xiàng)目(L2013182)；大連市科技計(jì)劃項(xiàng)目(2015A11GX026)

通訊作者：李永華(1971-)，女，黑龍江青岡人，教授，從事可靠性工程，機(jī)車車輛RAMS，穩(wěn)健優(yōu)化方面的研究；E-mail：yonghuali@163.com

中圖分類號：U271.91

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1672-7029(2016)06-1193-06

Reliability life evaluation of EMU exle box spring based on bayes method

LI Yonghua1, CHENG Jie2, CHEN Bingzhi1

(1.SchoolofTrafficandTransportationEngineering,DalianJiaotongUniversity,Dalian116028,China;2.SchoolofMechanicalEngineering,DalianJiaotongUniversity,Dalian116028,China)

Abstract:The reliability life of EMU axle box spring is evaluated by Bayes method. The improved Evidence theory is mentioned and used on information fusion between a variety of prior information on the condition of small sample. When the life of axle box spring satisfies the Weibull distribution, this distribution is converted to the exponential distribution under the situation of keeping the shape parameter invariant. Then the posterior distribution in the process of the Bayes reliability evaluation can be solved. This method can be used to get more practical results and improve the accuracy of the evaluation results.

Key words:information fusion; Bayes; axle box spring; life assessment