考慮黏聚力弱化的巖石軟化模型研究

余俊，李真，潘偉波，何月

(中南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410075)

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考慮黏聚力弱化的巖石軟化模型研究

余俊，李真，潘偉波，何月

(中南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410075)

摘要:大量研究表明，巖石的破損可以認為是微裂隙的發展過程，從宏觀角度體現為黏聚力的弱化和內摩擦角增強。以往的軟化模型研究大都考慮了內摩擦角的變化，在前人研究的基礎上，將黏聚力的變化引入其中，研究考慮黏聚力弱化的巖石軟化模型。將力學參數假設成峰后應變的函數，基于摩爾-庫倫破壞準則，建立了以峰后內摩擦角φpr和峰后黏聚力Cpr為表征的峰后軟化曲線斜率公式。利用Tennessee大理巖試驗數據對公式進行驗證，得出了內摩擦角φpr和峰后黏聚力Cpr關于圍壓以及峰后應變的函數關系式，利用Matlab得到了峰后內摩擦角φpr和峰后黏聚力Cpr擬合曲面，繼而論證了巖石峰后力學參數軟化規律的假設。將峰后內摩擦角φpr和峰后黏聚力Cpr的擬合函數關系式代入到巖石峰后曲線斜率公式中，利用增量廣義胡克定律模擬繪出Tennessee大理巖不同圍壓下的全應力-應變曲線，結果表明不同圍壓下數值模擬曲線與試驗曲線吻合較好，從而驗證了本文提出的力學模型的合理性。

關鍵詞：峰后內摩擦角；峰后黏聚力；應力-應變曲線；廣義胡克定律；力學模型

大量的室內試驗和現場測試結果表明巖石材料的變形和破壞特征與金屬材料顯著不同。正是由于巖石類材料具有與金屬材料不同的材料特性，決定了巖石類材料有許多不同于金屬的力學特征，如峰后軟化特性等[1-2]。當巖石類材料處于峰值后區時，巖石類材料的力學特性發生很大變化。長期以來，許多學者針對巖石類材料峰后應變軟化模型進行了研究，討論了巖石類材料峰后力學特性的變化，并且提出了相應的力學模型。江權等通過對高地應力巖石的研究，提出了巖體參數動態劣化模型，該模型反應了巖體破損過程中其力學參數(黏聚力C和內摩擦角φ)的動態劣化[3]；Hajiabdolmajid等[4-5]提出了CWFS模型，該模型認為巖石破損時產生的微裂隙增加了巖石的摩阻力，體現為內摩擦角φ的增大。同時，巖石破損降低了巖石的完整性，體現為黏聚力C的減少；Zdenek等[6]提出了考慮了等效應力與等效塑性應變關系的塑性應變軟化模型；張帆等[7]通過對花崗巖的大量試驗研究建立了花崗巖的軟化模型； Rinaldi等[8-9]提出了一種參數易于取得的統計損傷模型。這些模型在很大程度上豐富了巖體峰后應變軟化本構模型的研究，但同時應該發現這些研究也存在一些問題：一是在研究巖體峰后力學參數時，大多數沒有考慮圍壓的影響；二是以往的大部分模型僅單獨對內摩擦角或黏聚力的變化進行研究，沒有同時考慮內摩擦角和黏聚力的變化；三是前期假設的力學參數變化函數在后面沒有得到論證。本文在李文婷等[10]研究的基礎上，將黏聚力的變化引入到軟化模型中，同時考慮內摩擦角和黏聚力的變化，依據峰后巖石內任意一點的應力狀態均滿足摩爾-庫倫極限破壞條件的假設，考慮峰后巖土類材料破壞的力學特點和在巖體破損過程中其力學參數參數(黏聚力C和內摩擦角φ)產生動態劣化，通過嚴格的數學方法，推導得出了巖石峰值后區曲線斜率K的公式，并依據增量廣義胡克定律獲得了巖石全應力-應變曲線。室內巖石三軸試驗應力-應變曲線擬合計算有力地驗證了該模型的合理性。

1巖石峰后本構模型

1.1巖石全應力-應變曲線分析

為了研究巖石峰后力學特性可將巖石全應力應變曲線簡化為圖1。

圖1　巖石峰后應變軟化簡化模型Fig.1 Post-peak strain softening simplified model of rock

由圖1可知，巖石峰前區的曲線是線性的，其斜率K滿足如下關系：

(1)

式中：σp為極限應力；εp為與極限應力對應的應變；C為普通常數。

巖石峰后軟化段曲線的斜率Kpr不斷變化，其滿足如下關系：

(2)

式中：σpr為巖石峰后軟化段應力；εpr為與σpr對應的峰后軟化段應變。

巖石峰后殘余強度段由于應力已經穩定不變，其斜率Kr滿足如下關系：

(3)

式中：σr為巖石峰后殘余應力；εr為與σr對應的峰后殘余應變。

1.2巖體峰后力學參數軟化規律細觀機制

地下工程巖體在開挖過程中，巖體由三向應力狀態向二向應力狀態方向調整，巖石的力學性質由此發生了轉變。僅從細觀的角度看，巖石力學性質的轉變是由于細微裂隙的產生和擴展；從宏觀上來看，巖體力學性質發生改變可看作時巖體黏聚力c和內摩擦角φ等發生改變的過程[3]。巖石微裂隙擴展與力學參數變化見圖2[3]。

巖體開挖過程中產生的微裂隙增加了巖體間的阻礙，此種情況從力學的角度來說導致了內摩擦角的增大。另一方面微裂隙的產生和擴展導致巖體整體性降低，從力學的角度來說導致了黏聚力的減小。鑒于以上的分析，可假設巖石峰后黏聚力Cpr和內摩擦角φpr都是峰后應變εpr的函數，即

φpr=fφ(εpr)

(4)

cpr=fc(εpr)

(5)

式中：φpr和Cpr為一定峰后應變εpr下巖體的內摩擦角和黏聚力；fφ(εpr)和fc(εpr)為內摩擦角和黏聚力的變化函數。

圖2　巖石裂隙的產生和擴展圖Fig.2 Diagram of formation and propagation of rock fracture

1.3峰后本構模型力學參數說明

巖體峰后軟化過程中，其力學參數由初始值逐漸遞變到殘余值。變化函數fφ(εpr)，fc(εpr)的取法不同，則力學參數的遞變過程也不同。因此變化函數的選取至關重要。江權等[3]通過對高地應力巖石的研究，提出了巖體參數動態劣化模型，為了簡化模型，作者將變化函數fφ(εpr)和fc(εpr)都取為線性函數，但張帆等[7]和張凱等[2]通過研究，得出巖石在軟化過程中，黏聚力隨峰后應變呈非線性減小，而內摩擦角隨峰后應變呈非線性增大。李文婷等[10]在巖石的軟化力學行為研究中將fφ(εpr)假設為εpr的二次函數，其數值計算結果和實驗結果吻合較好。綜合以上研究 ，同時為了使建立的模型具有實際的工程意義，采用簡單實用的變化函數以描述巖石峰后力學行為，盡量不采用過于復雜的變化函數和過多的參數，從而本文將fφ(εpr) 和fc(εpr)假設為εpr的二次函數，則式(4)～(5)可寫成：

φpr=fφ(εpr)=A+Bεpr+Cεpr2

(6)

(7)

1.4理論推導

由式(6)可得：

φp=A+Bεp+Cεp2

(8)

φr=A+Bεr+Cεr2

(9)

(10)

聯立式(8)～(10)求解，可得峰后內摩擦角與峰后應變的關系式為：

(11)

同理，可得峰后黏聚力與峰后應變的關系式為：

(12)

根據摩爾應力圓(見圖3)可得

(13)

(14)

聯合式(13)～(14),可得：

(15)

(16)

由式(11)～(12),可得：

(17)

(18)

聯合式(15)～(18),得到：

{4sec2φpr(φp-φr)(εpr-εr)[σ3cosφpr+

cpr(1-sinφpr)]}/{(εr-εp)2[cosφpr-

(1-sinφpr)tanφpr]2}

(19)

圖3　摩爾應力圓Fig.3 Mohr stress circle

2算例驗證

為了驗證前述的理論推導，利用FANG[11]的大理巖數據，如表1所示。

表1　大理巖三軸試驗數據

由摩爾庫倫準則可知大理巖峰值強度隨著圍壓的增大而增大，和圍壓呈線性關系，即：

堅持用習近平新時代中國特色社會主義思想武裝全黨和全國各族人民是一項重大戰略任務，作為黨校教員，必須深入學懂學深學透，把《習近平談治國理政》《黨的十九大報告輔導讀本》《習近平新時代中國特色社會主義思想三十講》等著作爛熟于心。黨校教員要守好底線，務必同以習近平同志為核心的黨中央保持高度一致，自覺向黨中央看齊，向習近平總書記看齊，向黨的基本理論基本路線基本方針看齊。黨校姓黨，黨校課堂就不能有雜音，就要堅決維護好黨中央權威，確保黨中央令行禁止。

σp=mp+kpσ3

(20)

對表1中的試驗數據進行一元回歸分析可得：

σp=139.64+2.846 8σ3

(21)

其相關系數為0.995 59，聯立式(20)～(21)，按照摩爾-庫倫準則，求得大理巖在峰值時的C和φ為：Cp=41.4 MPa，φp=28.7°。

同理求得大理巖在殘余強度時的C和φ為：Cr=9.9 MPa，φr=41.2°。

對表1中的殘余強度進行二次函數回歸分析，其相關系數為0.988 69，得殘余強度與圍壓的關系，即：

(22)

由Joseph[12]關于峰值強度與殘余強度的研究有：

(23)

將式(21)～(22)聯合求解，可得臨界圍壓σ3t=49.3 MPa，由mr可知巖石單軸抗壓殘余強度σcr=43.571 MPa。將其代入式(23)中可得峰后殘余強度關于圍壓的數值模擬公式。

(a)內摩擦角φ;(b)黏聚力C圖4　Tennessee大理巖C,φ與應變關系Fig.4 Relationship diagram of C,φ with strain

將所計算φp和φr數值及εp和εr擬合關系式代入到式(11)可得峰后內摩擦角φpr與圍壓σ3及峰后應變εpr的關系為：

φpr=41.2-

(24)

其中εp≤εpr≤εr

將前述計算的Cp和Cr數值及εp和εr擬合關系式代入式(12)可得峰后黏聚力Cpr與圍壓σ3及峰后應變εpr的關系為：

cpr=9.9+

(25)

其中εp≤εpr≤εr

根據式(24)～(25)，用Matlab建立峰后內摩擦角φpr和黏聚力Cpr與圍壓σ3及峰后應變εpr的擬合曲面，見圖5。

(a)內摩擦角φ;(b)黏聚力C圖5　Tennessee大理巖峰后內摩擦角、黏聚力擬合曲面Fig.5 Fitting surfaces of φ and C

由圖5可以看出：圍壓σ3和峰后應變εpr對峰后內摩擦角φpr和峰后黏聚力Cpr也有明顯影響。當εpr一定時，隨著σ3的增加，φpr呈快速減小趨勢，而Cpr則顯著增加。反之當σ3一定時，隨著εpr的增加，φpr呈快速增加趨勢，而Cpr則顯著減小。

圖6　數值模擬曲線Fig.6 Numerical simulation curves

由式(1)可得Tennessee大理巖峰前區域有：

σ=Kε

(26)

由圖6可得Tennessee大理巖峰后區域有：

σ2=Kprδε+σ1

(27)

由式(27)經過增量廣義胡克定律遞推可得整個峰后區域的應力應變關系。

由式(3)可得Tennessee大理巖殘余強度區域有：

σ=σr

(28)

式(28)中的σr由式(23)確定。

將前述計算的φp和φr數值及εp和εr擬合關系式，以及式(24)～(25)代入式(19)，可得峰后斜率Kpr的表達式。把峰后斜率Kpr的表達式代入到式(27)中利用增量廣義胡克定律可得峰后區域應力關于應變的關系，再聯合式(26)，(28)即可以模擬繪出表1中圍壓分別為6.9，13.8，20.7，27.6，34.5，48.3 MPa的數值模擬全應力應變曲線與試驗數據全應力應變曲線的對比圖(見圖7)。

由圖7可知，幾種圍壓下的試驗曲線和數值模擬曲線之間吻合程度高，不同圍壓下數值模擬峰后曲線與試驗曲線變化趨勢基本一致，這表明本文所建立的力學模型可以較好地描述不同圍壓下Tennessee大理巖的峰后力學行為。

(a)6.9 MPa；(b)13.8 MPa；(c)20.7 MPa；(d)27.6 MPa；(e)34.5 MPa；(f)48.3 MPa圖7　Tennessee大理巖數值模擬曲線與試驗曲線對比圖Fig.7 Contrast between the numerical simulation curves and the testl curves

3結論

1)考慮峰后巖土類材料破壞的力學特點和在現實工程中巖體參數(黏聚力C和內摩擦角φ)發生動態劣化，將黏聚力的弱化引入到模型研究中，建立了以峰后內摩擦角φpr和峰后黏聚力Cpr為表征的峰后軟化階段應力應變曲線的斜率Kpr的公式。

2)利用Tennessee大理巖試驗數據給出了不同圍壓下峰后內摩擦角φpr和峰后黏聚力Cpr的隨峰后應變的演變規律，驗證了將內摩擦角和黏聚力按峰后應變二次函數變化的假設。

3)將峰后內摩擦角φpr和峰后黏聚力Cpr的變化函數關系式代入峰后軟化階段應力應變曲線的斜率Kpr的公式中，結合增量廣義胡克定律，繼而模擬繪出Tennessee大理巖不同圍壓下的全應力-應變曲線，結果表明幾種圍壓下的試驗曲線和數值模擬曲線之間吻合程度高，從而驗證了本文力學模型的合理性。模擬曲線和試驗曲線均表明，低圍壓下，Tennessee大理巖呈現脆性特征，具有明顯的應變軟化現象，殘余強度和峰值強度相差較大；隨著圍壓的升高，Tennessee大理巖由脆性轉向延性，塑性變形能力大大增強，殘余強度和峰值強度間的差距逐漸減小，當圍壓達到臨界圍壓σ3t時，殘余強度轉變為峰值強度。

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* 收稿日期：2015-09-01

基金項目：國家自然科學基金資助項目(51008311);高等學校博士學科點專項科研基金資助課題(20100162120037)

通訊作者：余俊(1978-)，男，湖北武漢人，副教授，博士，從事隧道與地下工程、土-結構相互作用等方面的教學和科研;E-mail:jjyy1017@163.com

中圖分類號：TU45

文獻標志碼：A

文章編號：1672-7029(2016)06-1039-07

Research on softening model of rock with the weakening of cohesion

YU Jun，LI Zhen，PAN Weibo，HE Yue

(School of Civil Engineering，Central South University，Changsha 410075，China)

Abstract:A lot of researches show that the damage of rock can be considered as a process of the development of micro cracks. It can also be considered as a process of the weakening of cohesion and the enhanceent of internal friction angle in macroscopic angle. In the past, most of the research on the softening model only considered the variation of internal friction angle. On the basis of previous studies, the cohesion is embedded into the softening model of rock, and the model with the weakening of cohesion is studied. Assuming that the mechanical parameter is a function of the post peak strain, the post-peak slope formula about the post-peak internal friction angle φprand the post-peak cohesion Cpris derived based on Mohr-Coulomb criterion. Then the Tennessee marble test data is used to verify the formula, and the post-peak internal friction angle φprformula, the post-peak cohesion Cprformula that both about confining pressure and strain are obtained. With the use of Matlab software, the relationship between the post-peak internal friction angle φpr, the post-peak cohesion Cpr, the post-peak strain and confining pressure are fitted by surface. Based on this relationship, the hypothesiss of the post-peak mechanical parameters softening law are demonstrated. The formula of the post-peak internal friction angle φprand the post-peak cohesion Cprare embedded into the formula of the post-peak slope. The complete stress-strain curves under different confining pressures are got by means of Incremental generalized Hooke's law and they fit well with test curves. These results show that the mechanical model proposed by this paper is reasonable.

Key words：the post-peak internal friction angle; the post-peak cohesion; the stress-strain curves; Generalized Hooke's law; mechanical model