由一道高考題引出的圓錐曲線切線的性質

王麗爽

隨著素質教育的施行，高中教育中對學生能力的培養比較重視。尤其是在高中數學的學習過程中，受到高中數學邏輯思維與形象思維要求較多的影響，一些學生在幾何圖形的學習中比較困難。比如，關于圓錐曲線方面的知識掌握不夠扎實，特別是對圓錐曲線切線性質的理解方面存在一定誤區。主要針對一道高考題中對圓錐曲線切線性質的涉及進行探討，以此為高中生的數學學習提供積極的意見與建議，促進學生數學的學習與發展。

近些年來，高考數學中對圓錐曲線切線性質題型比較多，主要集中在圓錐曲線的切線問題與定點定直線問題上，這也使高考專家對圓錐曲線的研究更加注重。圓錐曲線是高考中的重要題型，這需要學生對其的掌握必須熟練。當前的高中數學教材中，一些對圓錐曲線問題的研究僅僅局限于簡單的幾何性質上，而且與切線問題相關的僅僅是位置關系的研究。但是，到目前為止，關于圓錐曲線切線性質的問題多種多樣。而且高考中關于圓錐曲線的切線問題出現頻率比較高，這就引起了廣大數學老師與學生的普遍關注。

作為平面解析幾何中的核心內容，圓錐曲線是高中數學的重點與難點。因此在高考中對其的考查也比較突出。其中，關于圓錐曲線問題的主要內容是切線問題，這一問題往往會造成學生解題的困難，大部分學生一旦遇到關于切線問題的圓錐曲線圖形，就會在解題過程中出現錯誤，而且在解題過程中往往會力不從心。因此，為了讓高中生能夠擺脫切線問題的困境，提高學生學習圓錐曲線問題的興趣與積極性，能夠讓學生深入了解圓錐幾何問題的解法，本文主要針對高考中的一道具體問題，對圓錐曲線的切線性質進行研究與分析，以此為高中生的圓錐曲線學習提供寶貴的意見。

圓錐曲線與很多知識都相互聯系，學生學好圓錐曲線方面的知識，不僅能夠有效培養自身的數學素質，同時也會深刻地將數學知識相互聯系，最終提升自身的學習質量以及思維判斷能力。所謂圓錐曲線，即利用一個平面去截一個圓錐面，其中得到的曲線就是圓錐曲線。這是從幾何觀念出發的。而從代數角度考慮，二元二次方程中Ax2+Bxy+Cy2+Dx+F=0的圖像表示的是圓錐曲線。對于不同的判別式，也具有不同的橢圓、雙曲線以及拋物線等。圓錐曲線是光滑的，所以有切線與法線之分。1822年的比利時數學家得出的冰淇淋定理，對圓錐曲線的幾何定義與焦點進行了說明。這一定理在當前的高中數學教學中得到了積極的運用。在圓錐曲線的研究中，阿波羅對前人的工作進行了總結，特別是歐幾里得的工作，對前人的成果通過加工、歸納與提煉使其成為一項系統的工作，并且在此基礎上，還進行了自身的創新。書中共8篇，包括487篇命題，而且已經容納了圓錐曲線的性質與內容，后來的學者已經沒有任何余地進行鉆研。

圓錐曲線的切線一直是高考、自主招生、各類競賽的熱點問題，圓錐曲線切線的性質頻繁出現在各級各類考試中，更多的圓錐曲線的切線性質可以參看。筆者以一道高考題為載體，研究圓錐曲線的切線，得到一些結論，現整理成下文，以供參考。

（2013安徽）已知橢圓C：+=1（a>b>0）的焦距為4，且過點P（，）.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設Q（x0，y0）（x0y0≠0）為橢圓C上一點，過點Q作x軸的垂線，垂足為E。取點A（0，2），連接AE，過點作的垂線交x軸于點D。點D是點關于y軸的對稱點，作直線QG，問這樣作出的直線QG是否與橢圓C一定有唯一的公共點？并說明理由。

答案：（1）+=1。

（2）由題意可知，QG的直線方程：=，化簡得x0y0x-（x02-8）y-8y0=0，又因為x02+2y02=8，所以x0x+2y0y-8=0代入+=1。

最后求得Δ=0，所以直線QG與橢圓只有一個公共點。

本題以橢圓為載體，考查了橢圓的標準方程、直線方程、直線與橢圓的位置關系等知識，考查解析幾何的基本思想，綜合運算能力、探究能力。本題難度適中，但筆者覺得本題還有很多工作可以做，因為我們自然會提出以下問題。

問題1：QG為什么偏偏就是橢圓的切線？一般的橢圓有這種性質嗎？

問題2：在仿射變換下，我們可以把橢圓變換成圓，圓的切線也會有類似的性質嗎？

對于以上兩個問題，我們作了探究，得到以下結論：

結論1.已知橢圓C：+=1（a>b>0），設Q（x0，y0）（x0y0≠0）為橢圓C上一點，過點Q作x軸的垂線，垂足為E。取點A（0，a），連接AE，過點A作AE的垂線交x軸于點D。點G是點D關于y軸的對稱點，作直線QG，則QG是橢圓的切線。

結論2.已知橢C：+=1（a>b>0），直線l1∶y=k1x，l2∶y=k2x，且k1k2=-，Q（x0，y0）（x0y0≠0）為橢圓D上一點，過點Q作直線y-y0=k2（x-x0）交l1于點E，l1交橢圓于點A。l1上點D滿足x2A=xExD，則QD是橢圓的切線。

通過以上例題可以充分發現圓錐曲線知識的重要性，這就需要教師在數學知識的教學中，要結合學生的實際情況，充分采取科學合理的措施，以此來提升學生的學習質量，讓學生對圓錐曲線知識有一個深入的了解，同時也能夠與其他知識相互聯系，應用到解題中，充分培養學生對數學知識的運用能力。總之，本文主要針對圓錐曲線切線性質的定義、概念以及前人的研究成果等進行分析，并且以此為基礎對高中生在圓錐雙曲線的性質學習、掌握與運用中遇到的問題，提出合理的解決舉措，以此為高中數學老師與學生提供合理的意見與建議，從而使高中生在高考中獲得成功。

參考文獻：

廖永明.由一道2013年高考題引出的圓錐曲線的一個性質[J].中學數學月刊，2014（1）.

編輯 薛直艷