一道幾何概型題探究性學習的反思

肖慧梅

問題：若實數k隨機取自區間[-，]，點M，N為直線y=kx+3與圓（x-2）2+（y-3）2=4的兩個交點，則MN≥2的概率為 。

一、解法探究

二、解法辨析

本題設置實數k的取值區間，指明了“等可能的探究角度”，題中所給直線y=kx+3恒過定點（0，3），當弦長MN變化時，直線只能繞定點（0，3）旋轉變化，所對應的直線斜率取值是均勻分布的，由幾何概型知道，其所求的概率是實數k取值區間的長度比，故解法1是符合題意的。

在解法2中，把實數k的取值轉化為弦長MN的取值，學生認為弦長MN的取值與實數k的取值之間有對應關系，用弦長MN作為測度進行概率計算是合題意的。事實不然，我們可以想象，移動圓的位置，弦長MN取值范圍隨著變化，所求得的概率值也發生改變。因此，解法2的錯誤在于變換研究對象，導致測度區間長度不等價，解法3、解法4具有類似錯誤。

在解法5中，平面區域內的點是均勻分布的，但當k取不同值時，直線變化與區域內點變化并無關聯，故以區域的面積作為測度，改變題目原意，所求得概率不合題意。

上述例題的解法與思路辨析進一步說明，解答幾何概型問題時一定要關注“等可能的探究角度”，一定要嚴格按照題目指定的研究角度進行作答，即使進行等價轉換也要做到測度區間長度不改變，否則，就會錯誤解答。

三、啟示探究

1.重視知識與能力要求，準確把握教材教學要求

對于授課者而言，照本宣科——重視幾何概型概念和幾何概型概率公式的理解和記憶是不可取的，應重視下列學生學習難點的突破：（1）如何理解并確定“等可能事件”；（2）如何通過閱讀題目正確選擇“等可能的探究角度”；（3）如何正確選擇計算相應的幾何度量（長度、面積、體積等）。

縱觀諸多教學設計，比較普遍的問題是：例題講解取代教學概念，大量解題訓練取代能力培養，學生對知識學習停留在課本，缺乏深度認識，教師往往質疑學生的數學學習能力，卻不反思自己教法的有效性、教學手段的科學性，這就是產生學生數學學習“懂而不會”的根源所在。

隨著新課程的實施和高考命題改革的發展，高考試題模式發生變化，中學數學教學顯然有一個適應過程，教師選取偏題、怪題作為高考復習例題有擴大趨勢，違背了《高考考試說明》的要求。就本文問題而言，學生專注于對原始條件進行等價轉換得到不同答案產生困惑，而教師往往只講授正確解答，對學生思維中的合理成分視而不見，影響學生思維能力的提高。

2.科學構題，提高考試試題的可信度

對于命題者而言，不同類型的考試有不同的命題要求。如本文所列各種解法，都有合理成分，但正確答案只有一個，無法準確區分各類學生數學學習能力。若在高三模擬試題中選用一些偏題，就可能產生一些負面的導向作用，浪費師生的時間和精力，難于取得良好的復習效果。事實上，高考命題專家命制高考試題，就非常關注試題的有效性和選拔性，這不能不引起廣大中學教師的注意。下面就幾何概型題略舉幾例，以資借鑒。

例1：在區間[-2，3]上隨機選取一個數x，則x≤1的概率為：

（2014年湖南省高考試題文科第5題）

例2：由不等式組x≤0y≥0y-x-2≤0確定的平面區域記為？贅1

不等式組x+y≤1x+y≥-2確定的平面區域記為？贅2，在？贅1中隨機取一點，則該點恰好落在？贅2內的概率為：

（2014年湖北省高考試題理科第7題）

例3.如圖，點A的坐標為（1，0），點C的坐標為（2，4），函數f（x）=x2，若在矩形ABCD內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于 .（2015年福建省高考試題理科第13題）

3.多視角探究，促進深度認知意識的生成

對于學生學習而言，從不同角度去探究同一問題，可能會得到不同的解題思路，得到正確答案是我們的解題目的，但對于學生中存在的不太完美的解法，也同樣值得關注，學生只有充分呈現自己思維，才可能暴露學習思維過程和方法中的缺陷，通過糾錯，可以不斷增強對錯誤的“抵抗力”。錯解也是一種寶貴的教學資源，通過錯解的講評、辨析和反思，教師也可審視自己的教學行為，以期不斷地改進教法，有效提高教學質量。

參考文獻：

高麗娟.高中生“幾何概型”學習困難及對第研究[D].山東師范大學，2015.

編輯 李琴芳