二元函數各種極限之間的關系

柴志遠

一、引言

在討論研究多元函數的有關理論和概念時，重要是研究二元函數，因為二元函數所討論的一切結論都能相應的推廣到n（n>2）元函數上去，二元函數的極限是反映函數在某一領域的重要屬性的一個基本概念，它刻畫了當自變量趨向于某一個定值時，函數值的變化趨勢，是高等數學中一個極其重要的問題，本文就是主要討論二元函數極限問題，重要研究二元函數各種極限之間的關系.

二、預備知識

定義1：設二元函數f（x，y）在平面點集D上有定義，（x0，y0）為D的聚點，A為常數，若？坌ε>0，？堝？啄>0使得：？坌（x，y）∈D，當0<<？啄時；或？坌（x，y）∈D，當x-x0<？啄，y-y0<？啄，且（x，y）≠（x0，y0）時，有f（x，y）-A<ε成立，則稱A為f（x，y）在點，f（x0，y0）的二重極限，記為f（x，y）=A.

定義2：設Ex？奐R，Ey？奐R，x0為Ex的聚點，y0為Ey的聚點，二元函數f（x，y）在平面Ex×Ey點集上有定義，若？坌y∈Ey，極限f（x，y）=？漬（y）存在，又若極限？漬（y）=B存在，則稱B為二元函數f（x，y）在點（x0，y0）先x后y的累次極限，記為f（x，y）=B.若？坌x∈Ex，極限f（x，y）=？漬（x）存在，又若極限？漬（x）=C存在，則稱C為二元函數f（x，y）在點（x0，y0）先y后x的累次極限，記為f（x，y）=C.

定義3：設二元函數f（x，y）在點（x0，y0）某空心領域內有定義，取α∈[0，2π]，若極限f（x0+ρcosα，y0+ρsinα）=Dα存在，則稱Dα為f（x，y）在點（x0，y0）沿方向（cosα，sinα）的方向極限.

定義4：設二元函數f（x，y）在點（x0，y0）某空心領域內有定義，？坌α∈[0，2π]，若極限f（x0+ρcosα，y0+ρsinα）=D存在且相等，則稱D為f（x，y）在點（x0，y0）的弱二重極限.

定義5：設{Pn（xn，yn}是平面上的一個無窮點列.我們稱{Pn}以點P0為極限即有Pn=P0.意思是說：？坌ε>0，？堝N>0，當n>N時，恒有Pn-P0<ε成立.我們很容易證明：Pn（xn，yn）→P0（x0，y0）當且僅當xn→x0，yn→y0（當n→∞時）.

三、二元函數各種極限之間的關系

二元函數各種極限之間的關系錯綜復雜，往往由一種極限的存在不能推出另一種極限存在.

1.二重極限與弱二重極限的關系

定理1：若（強）二重極限存在，則弱二重極限存在；若弱二重極限存在，則（強）二重極限不一定存在.

2.兩個累次極限之間的關系

（1）一個存在不能斷定另一個存在，或者兩個都不存在.

（2）兩個累次極限都存在，但不相等.

3.二重極限與累次極限的關系

二重極限與累次極限之間的關系是一個比較復雜的問題.

結論1：由二重極限存在，不能保證累次極限的存在；由兩個累次極限的存在，即使相等，也不能保證二重極限的存在.

那么在重極限和累次極限之間是否毫無關系可尋呢？并非如此，有下面的定理：

定理2：如果函數f（x，y）在點（x0，y0）存在二重極限，設f（x，y）=A，而它的累次極限也存在，且有f（x，y）=B，則A=B，即f（x，y）=f（x，y）.

由這個定理可得兩個推論：

推論1：當f（x，y）→（x0，y0）時，如果f（x，y）的重極限和它的兩個累次極限都存在，那么這些極限都相等，即等式f（x，y）=f（x，y）=f（x，y）.

推論2：如果兩個累次極限都存在，但不相等，那么二重極限不存在，例如，函數f（x，y）=，當（x，y）→（0，0）時，兩個累次極限存在但不相等：A21=-1，A12=1，所以極限不存在.

結論2：由二重極限和兩個累次極限存在，可以得出三者相等；若兩個累次極限都存在，但不相等，則二重極限不存在.

4.二重極限與方向極限之間的關系

由二重極限與方向極限的定義可知，方向極限是二重極限的特殊情形，即二重極限存在方向極限必存在，但其逆并不成立.即使f（x，y）在點（x0，y0）處沿任何方向（cosα，cosβ）都有等于A的極限，也不能保證二重極限存在.

結論3：二重極限存在是方向極限存在的充分條件，但并非必要條件.而方向極限存在又是二重極限存在的必要條件，那么方向極限不存在，或沿任何兩個不同方向的方向極限存在而不相等，則可得出二重極限不存在.

5.累次極限與方向極限的關系

一般的說，二者沒有什么關系，特別注意，累次極限絕不是方向極限的特例，即是說f（x，y）在點（x0，y0）處沿任何方向有等于A的極限，而累次極限也可能不存在.

結論4：兩個累次極限存在相等，也不能保證方向極限的存在，當二重極限，累次極限都存在，方向極限必存在，而且三者相等.

二元函數的極限是反映函數在某一領域內的重要屬性的一個基本概念，比起一元函數的極限無論從計算還是證明都具有更大的難度，尤其是二元函數各種極限之間的關系錯綜復雜，本文總結了兩個二重極限之間的關系、兩個累次極限之間的關系、二重極限與累次極限之間的關系、二重極限與數列極限之間的關系、二重極限與方向極限之間的關系、以及累次極限與方向極限之間的關系，這對于我們更深入研究二元函數具有十分重要的意義.

參考文獻：

[1]黃克武.論重極限與累次極限的等價性[J].云南教育學院學報，1995（9）：20-21.

[2]許萬銀，岳曉紅.二元函數各種極限之間關系的討論[J].隴龍院學報，2007（17）：1-2.

[3]趙麗琴，白云芬.累次極限與二重極限的關系研究[J].石家莊學院學報，2005（7）：19-20.

[4]劉玉漣，傅沛仁.數學分析：下冊[M].北京：高等教育出版社，1998：144-149.

[5]裴禮文.數學分析中的典型例題與方法[M].北京：高等教育出版社，2001：521-525.

編輯 李琴芳