基于擴展卡爾曼濾波的軌道垂向不平順估計

王　貴，邢宗義，王曉浩，陳岳劍

(1.南京理工大學自動化學院，南京　210094;2.南京理工大學機械工程學院， 南京　210094)

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基于擴展卡爾曼濾波的軌道垂向不平順估計

王貴1，邢宗義1，王曉浩2，陳岳劍2

(1.南京理工大學自動化學院，南京210094;2.南京理工大學機械工程學院， 南京210094)

摘要：軌道不平順是影響列車平穩性和舒適度的關鍵因素，因此及時掌握線路狀態對保證列車的運行安全具有重要意義。針對采用單個慣性量較難達到對不同波段不平順的檢測，通過觀測多個慣性量，運用擴展卡爾曼濾波解決非線性離散系統的最優估計原理，根據車輛軌道耦合狀態空間方程計算遞推雅克比矩陣，并結合線性觀測方程得到最優狀態估計，實現軌道不平順估計。在Matlab平臺下，進行了實測軌道不平順激勵作用下的仿真，將仿真得到的觀測值采用本文提出的方法進行軌道垂向不平順估計，結果表明該算法具有很好的精確性。

關鍵詞：軌道不平順；擴展卡爾曼濾波；最優估計

軌道不平順是引起車輛與軌道產生振動的主要激勵源之一，是軌道質量狀態的集中體現。軌道不平順不僅會增加車輛與軌道間的相互作用，縮短車輛與軌道的使用壽命，影響乘坐舒適度，當形變累積到一定程度時還會使車輛產生傾斜和側滾運動，嚴重威脅列車的安全運行，因此對運行線路的軌道不平順狀態進行實時檢測和估計具有重要意義[1-2]。

目前已見眾多軌道不平順在線檢測和估計的研究。朱文發等[3]提出了基于捷聯慣性系統實現軌道長波不平順的檢測方法，并采用小波去噪和積分濾波器將加速度信號處理得到軌道長波不平順位移。J Real等[4]在軸箱上安裝垂向加速度計，獲得軸箱振動加速度信號，并對信號進行二次積分、高通濾波、相位補償和振動模型逆輸入的處理，實現對軌道垂向不平順的檢測。Lee J S等[5]利用軸箱加速度通過卡爾曼濾波和波長帶通濾波來估計軌道不平順。

軌道垂向不平順包括波長較廣范圍內的不平順，常用檢測方法中，軸箱振動較難同時檢測局部不平順和長波不平順；構架振動由于一系簧濾波特性和幾何濾波而丟失了較多波長成分；構架傾角對短波不平順存在空間濾波特性；因此僅以軸箱垂向振動、構架垂向振動或構架點頭角速度中單個慣性量較難達到對不同波段不平順的檢測[6-7]。本文中綜合考慮振動加速度、構架角速度等多個慣性量，構建以多個慣性響應為輸入，以軌道垂向不平順為輸出的數學模型，以達到精確的軌道垂向不平順估計。

慣性響應與軌道垂向不平順的關系是復雜多輸入非線性動態[8]。常用的非線性濾波方法有擴展卡爾曼濾波(EKF)[9]、無跡卡爾曼濾波(UKF)[10]、粒子濾波(PF)[11]等。擴展卡爾曼濾波具有實時性強、精確度高等優點[12]，對非線性系統濾波能得到近似的可接受的解，因此采用擴展卡爾曼濾波算法實現多慣性監測量與軌道不平順之間的濾波。

1擴展卡爾曼濾波算法

對于如下離散非線性系統模型

(1)

(2)

(3)

式(1)為系統的狀態方程，式(2)為系統的輸出觀測方程。f()、h()為非線性傳遞函數，wk和vk代表過程模型激勵噪聲和觀測噪聲，兩個噪聲對應的協方差分別為Qk，Rk。xk為系統的狀態變量，yk為系統的觀測變量，uk為系統的驅動函數。

(4)

(5)

對偏微分雅克比矩陣Fk-1、Lk-1、Hk、Mk進行計算，狀態估計和估計誤差協方差的時間更新如下

(6)

(7)

狀態估計的測量更新和估計誤差協方差更新如下

(8)

(9)

(10)

2基于EKF的軌道垂向不平順估計

通過車輛軌道耦合模型的動力學方程可以改寫得到系統的狀態方程，結合傳感器的觀測方程，經過EKF濾波迭代后得到最優狀態，然后根據最優狀態逆向計算軌道不平順。

2.1車輛軌道耦合系統狀態方程

車輛軌道耦合模型的動力學方程可描述為

(11)

式中，M、C、K為車輛的質量、阻尼和彈簧矩陣與軌道的質量、阻尼和彈簧矩陣結合；Q為車輛與軌道動力學系統激勵的組合；狀態向量x為車輛與軌道動力學系統狀態向量的組合[8]

(12)

式中，Zc、Zt1、Zt2、Zw1、Zw2、Zw3、Zw4、Zsj、Zbi分別為車體、前構架、后構架、第1～4輪對、第i軌枕、道床的浮沉運動；βc、βt1、βt2分別為車體、前構架、后構架的點頭運動；NM為鋼軌模態階數；N為軌枕支點總數；qk(t)為鋼軌正則振型坐標。

對于車輛軌道垂向耦合模型，在仿真計算軌道長度l取70 m的情況下，N=100，根據文獻[8]，NM合理取值為90，整個系統的自由度為300，即x為300×1的系統狀態向量，M，C，K為300×300的常量矩陣。

將式(11)改寫成式(13)

(13)

2.2傳感器觀測方程

(14)

式中，v(t)為測量噪聲；H為測量矩陣；X(t)為t時刻狀態向量及其導數的組合。

注意到式(14)包含額外的重力加速度，這部分可視為測量噪聲并非為零均值的，本文采用對檢測到的加速度需先減去g的處理方式。

2.3濾波迭代方程配置

對系統狀態方程式(13)求取雅克比矩陣Fk-1

(16)

式(15)中A為已知的常數矩陣，推導可得Au

(17)

其中

(18)

狀態估計和估計誤差協方差的時間更新如下

(19)

(20)

式(20)狀態估計時間更新采用經典的4階龍格-庫塔積分實現[13]。

對觀測方程(14)求取雅克比矩陣

狀態估計的量測更新和估計誤差協方差的更新如下

(21)

(22)

(23)

2.4由最優狀態計算軌道不平順

(24)

改寫狀態轉移方程式(13)如下

(25)

式中，τ為常數矩陣。由于軌道不平順在不同車輪的激勵輸入僅是時間延遲，因此只需得到首個車輪Zw1受到的激勵即可。提取第307個行元素，建立等式如下

(26)

最終，軌道不平順的反推方程如下

(27)

3仿真驗證

基于EKF算法的軌道不平順估計研究框架匯總見圖1，通過車輛軌道耦合動力學模型仿真得到真實的狀態響應，采集可觀測的狀態如車體加速度、車體角速度、構架加速度和構架角速度等，利用擴展卡爾曼濾波，結合觀測方程、狀態方程和由估計狀態逆向計算軌道不平順實現軌道不平順的最優估計。

圖1　基于EKF算法的軌道不平順估計研究框架

圖2　高鐵實測軌道不平順

通過一段實測軌道高低不平順數據對車輛-軌道垂直耦合動力學模型進行數值求解。該段數據來自武廣高速鐵路DK1 534～DK1 536的運營線路，利用GJ-6型軌檢車基于激光檢測法檢測輸出。該段數據是以0.1 m為間隔的離散采樣序列，長度2 km，如圖2所示。動力學模型仿真可直接獲取車體振動加速度、車體點頭角速度、構架振動加速度和構架點頭角速度，仿真響應如圖3所示。

圖4　最優狀態量與仿真值比較空間域波形和功率譜(一)

圖3　觀測量空間域波形

濾波器迭代過程中，設定式(20)的狀態估計的積分步長為0.1 ms，濾波器迭代步長1 ms，空間步長0.1 m。濾波后車輛系統狀態量響應與動力學仿真輸出的真實狀態對比見圖4和圖5。圖4為車輪加速度，構架加速度和車體加速度最優狀態量與仿真值比較空間域波形和功率譜(一)。圖5為車輪速度，構架角速度，車體角速度最優狀態量與仿真值比較空間域波形和功率譜(二)。

圖5　最優狀態量與仿真值比較空間域波形和功率譜(二)

為了量化衡量圖4和圖5中濾波后車輛系統狀態量響應與動力學仿真輸出的真實狀態逼近程度，計算兩者之間的相關度系數R，標準差SD和歸一化均方誤差NMSE。仿真過程之前的狀態量均添加了協方差為Rk的觀測噪聲，因此為更直觀地展示拓展卡爾曼濾波的精度，對真實狀態值添加噪聲后計算相關度系數R，標準差SD和歸一化均方誤差NMSE。表1給出了濾波前后，車輪加速度等6個狀態變量的R，SD和NMSE。對比表1中各個狀態變量在濾波前后R，SD和NMSE，可發現濾波后相關系數R明顯增大，均高于0.98，表現了估計值和仿真值之間很高的相關程度；標準差SD和歸一化均方誤差NMSE均有減小，且SD多數小于0.1 m/s2，表明估計值自身的變化程度很小，NMSE均低于-10，表明估計值與仿真值的誤差很小。綜合濾波后各個狀態變量的R，SD和NMSE，各個狀態量都表現出了很高的逼近程度，有效地抑制了觀測噪聲帶來的影響，得到了狀態量可接受精度的最優估計。

表1　最優狀態量與真實值逼近程度量化指標

按式(24)由EKF得到的最優狀態，計算軌道不平順。得到的軌道不平順與真實軌道不平順激勵對比見圖6，可見最優狀態計算得到的軌道不平順在各個波段均逼近真實值，尤其在2～300 m波長范圍內功率譜值與真實不平順表現了很強的一致性。濾波后相關系數R為0.984 3，標準差SD為0.171 mm，歸一化均方誤差NMSE為-27.2，表明運營列車在廣泛的車速區間內均能實現垂向不平順的預測，驗證了所提擴展卡爾曼濾波方法的有效性。

圖6　濾波后軌道不平順與實際激勵值比較空間域波形和功率譜

4結論

本文提出了一種基于擴展卡爾曼濾波的軌道垂向不平順估計方法。由于采用單個慣性量較難達到對不同波段不平順的檢測，本文通過觀測多個慣性量，并結合車輛軌道耦合狀態空間方程，基于擴展卡爾曼濾波實現了軌道垂向不平順的估計。仿真結果表明本文所提方法的精確性和魯棒性。

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收稿日期：2015-09-14； 修回日期：2015-11-26

基金項目：中央高?；究蒲袠I務費專項資金項目(30920130132002)

作者簡介：王貴(1990—)，男，碩士研究生，主要從事軌道交通控制與安全研究，E-mail:smgwang1023@163.com。 通信作者：邢宗義(1974—)，男，副教授，主要從事交通運輸信息工程與安全保障研究，E-mail:xingzongyi@163.com。

文章編號：1004-2954(2016)07-0014-05

中圖分類號：U213.2

文獻標識碼：A

DOI:10.13238/j.issn.1004-2954.2016.07.004

Prediction of Vertical Track Irregularities Based on Extended Kalman Filter

WANG Gui1， XING Zong-yi1， WANG Xiao-hao2， CHEN Yue-jian2

(1.School of Automation， Nanjing University of Science and Technology， Nanjing 210094， China;2.School of Mechanical Engineering，Nanjing University of Science and Technology， Nanjing 210094， China)

Abstract：Track irregularities are main factors affecting stability and comfort of trains and it is important to understand the status of line to ensure safe operation of trains. Due the difficulties to detect different irregularities of different bands with a single inertial value， the method based on the observation of multi inertia values to predict vertical track irregularity is proposed. The optimal estimation principle of extended Kalman filter for nonlinear discrete systems is used to estimate track irregularities according to Recursive Jacobi matrix， the vehicle track coupling status-space equation and the optimal state estimation obtained with linear measurement equation. On Matlab platform， the simulation of actual track irregularities measured under stimulation is conducted. The simulation results show that this algorithm is accurate to estimate track irregularities．

Key words：Track irregularities; Extended Kalman Filter; Optimal estimation