杭長客專軌道控制網投影變形研究

王杏偉

(中鐵第四勘察設計院集團有限公司，湖北武漢　430079)

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杭長客專軌道控制網投影變形研究

王杏偉

(中鐵第四勘察設計院集團有限公司，湖北武漢430079)

摘要分析產生投影變形的原因及解決辦法，并通過對杭長客專江西段軌道控制網的數據分析，認為兩化改正法更為嚴謹，尺度改化雖然可以使平差結果顯得精度更高，但同時會掩蓋測量過程中一些可能出現的錯誤，無法真實反應棱鏡常數、已知點匹配性等問題。

關鍵詞軌道控制網兩化改正尺度改化

我國高速鐵路建設中通常采用高斯投影的工程獨立坐標系統，把高速鐵路平面坐標系統劃分為若干投影帶，以滿足投影長度變形值不大于10 mm/km的要求[1]。由于高速鐵路軌道控制網要求精度高，為保證測量數據與實際施工使用一致，將平差后方向與距離改正數也作為數據是否合格的標準。根據“規范”要求，測站至CPⅢ點的限差，無論自由網平差還是約束網平差，方向改正數限差均為±3″，距離改正數限差均為±2 mm。由于CPⅢ軌道控制網測量方式的特殊性，CPⅢ觀測邊長從距離儀器最近的20～30 m到最遠的170～180 m不等，當自由網平差尺度達到10時，約束平差后僅尺度改正在邊長上分配的最大誤差就達到1.7 mm以上，再加上儀器、棱鏡等設備本身的誤差，以及氣壓、溫度等環境因素的影響，在不對觀測數據進行改化的情況下很難滿足“規范”要求。因此，需要對觀測值進行合理的修正，使得實測數據滿足“規范”要求。

1產生長度投影變形的原因

我國高鐵建設中通常采用的投影方式為高斯投影，高斯投影又稱為高斯-克呂格投影，是一種等角橫軸切橢圓柱投影，由德國數學家高斯于19世紀20年代擬定，1912年經德國大地測量學家克呂格對投影公式加以補充形成的投影方式。如圖1所示，它是假設一個橢圓柱面與地球橢球體面橫切于某一條經線上，按照等角條件將中央經線東、西各3°或1.5°經線范圍內的經緯線投影到橢圓柱面上，然后將橢圓柱面展開成平面[2]。

圖1　高斯投影

該投影的特點是：將中央經線投影為直線，其長度沒有變形，與球面實際長度相等，其余經線為向極點收斂的弧線，距中央經線越遠，變形也越大；赤道線投影后是直線，但有長度變形；除赤道外的其余緯線，投影后為凸向赤道的曲線，并以赤道為對稱軸；經線和緯線投影后仍然保持正交，即投影后角度保持不變，而所有長度變形的線段，其長度變形比均大于1[2]。

除由于投影方式導致的邊長變形外，測量過程中的儀器、棱鏡及連接件等設備的影響，以及氣壓、溫度、濕度等環境影響也會導致軌道控制網測量數據與通過GPS加密得到的CPⅡ成果間存在較大偏差。

2減小長度投影變形的方法

由于定義的國家大地坐標系統橢球面是一個不可展平的曲面，因此當采用高斯投影將這個曲面上的元素投影到平面上時就會產生變形問題，而高斯投影為正投影，所以投影后僅長度發生了變形。引起長度變形有兩方面的因素。

2.1實測長度歸算到參考橢球面上的變形

(1)

式中S1——實測邊長；

H——歸算邊兩端的平均高程；

Hm——測區平均水準高；

R——歸算邊參考橢球法截弧長(如圖2)。

圖2　投影變形

2.2從參考橢球面歸算至高斯投影面的變形

(2)

式中S2——歸算至橢球面邊長；

ym——參考橢球面上兩點投影到高斯平面后橫坐標的平均值；

Δy——兩點間橫坐標的變化量；

Rm——測距邊中點的平均曲率半徑。

由式(1)、式(2)可以看出，距離中央子午線越遠，則從參考橢球歸算至高斯投影面的長度變形越大。因此，可以使用較小的投影分帶來減小投影變形對線路的影響。而在進行軌道控制網測量時，投影分帶工作已經完成，因此使用較小投影分帶的方式只能在線路設計初期進行，對于已經開始軌道控制網測設這個過程來說，一般不會對投影分帶再進行變更，需要在軌道控制網測量過程中來減弱對投影變形的影響。

2.3減弱投影變形影響的方式

第一種為兩化改正法，即首先通過觀測數據推算CPⅢ點的概略坐標，然后結合CPⅢ點的高程測量數據，根據公式(1)、(2)分別計算出實測長度改化到參考橢球面和參考橢球面改化至高斯平面的變形量，對觀測值進行精確改化。

第二種為尺度改化法。軌道控制網測量數據平差處理的實質是將全站儀實測的邊長歸算至通過GPS解算的CPⅡ所在高斯投影面，在平差計算時兩者間存在一個整體的尺度差，通過對軌道控制網自由網平差得到尺度k以后，可以對每一個觀測值的邊長都按這個尺度比例進行改化，具體計算公式為

(3)

式中S1——實測邊長/m；

k——每公里CPⅢ平面控制網邊長相對于高斯投影面的變形量/mm。

通過上述兩種方式都可以消除由于投影面高程和高斯投影原因造成的長度投影變形，第一種方式為推算出CPⅢ點的概略坐標后結合高程測量，根據公式精確計算出每條觀測邊長在高斯面的投影變形量，然后對觀測值進行精確改化，距離中央子午線越遠，投影變形越大，則分配到的改正量越大，這與實際情況相一致；而第二種改化方式則未考慮實測邊長距中央子午線的距離，只通過對測量數據根據邊長的不同進行整體的縮放來達到減弱投影變形的影響，這就導致距離中央子午線近的觀測邊長和距離中央子午線較遠的觀測邊長，分配到的誤差是一樣的。由于影響尺度k的因素有多種，除投影變形影響外，儀器精度、棱鏡常數、氣壓、溫度、濕度都會對尺度造成較大影響，正常觀測條件下，在1 km的距離上，溫度變化1 ℃所產生的測距誤差為0.95 mm，氣壓變化1 mmHg所產生的測距誤差為0.37 mm，尺度改化將這些因素引起的誤差均代入到對邊長的改化，顯然不夠嚴謹。

3杭長客專投影變形數據分析

杭長客專江西段軌道控制網測量技術方案未對數據改化作明確要求。為比較兩種改化方式的優劣，取杭長客專江西段兩段數據，分別采用不同的改化方式進行平差處理，并對平差結果進行分析，共計算9.28 km軌道控制網數據，參與統計CPⅢ點位312個點，分別比較改化后尺度大小、改正數大小及坐標較差并進行統計分析(如圖3～圖8所示)。

圖3　第一段未改化改約束網距離改正數統計

圖4　第一段兩化改正后約束網距離改正數統計

圖5　第一段尺度改化后距離改正數統計

圖6　第二段未改化約束網距離改正數統計

圖7　第二段未兩化改正約束網距離改正數統計

圖8　第二段尺度改化后約束網距離改正數統計

表1　尺度對比　mm

由表1可以看出，通過兩化改正和尺度改化均可以使變形量減小，兩化改正變形量減小值較一致，分別為1.59 mm和1.42 mm，差別較小，由于測段本身較短，在距離中央子午線方面差別不大，所以改化結果與實際情況較一致。而兩段改化前尺度差別為1.51 mm，這可能是由于外界環境、儀器及棱鏡等多種因素導致。改化結果真實的反應了測量的實際結果。而尺度改化后自由網平差尺度均大幅降低，分別減小3.40 mm和4.90 mm，改化后兩次測量尺度近乎為0，無法反應真實外界環境及儀器棱鏡對測量結果的影響。

無論是兩化改正還是尺度改化，改化后距離改正數最大值及平均值均小于未改化數據，第一段數據不管是否改化，改正數均滿足“規范”要求，第二段數據改化前約束平差結果超出“規范”限差要求，改化后均可以滿足要求。單從改正數統計來看，尺度改化后距離改正數變化最大，第一段從最大值1.95 mm降至1.46 mm，第二段最大值從3.29 mm降至2.76 mm。由此看來，對觀測數據進行改化是有必要的，但最終選擇哪種改化方式還需通過對最終平差結果的比較來確定(如圖9～圖12所示)。

由圖9～圖12可以明顯發現，兩化改正計算的結果與未改化結果偏差較小，第一段數據除起點處一個點和結尾處一個點的X方向坐標較差為0.4 mm外，其他92個點的X、Y方向上坐標較差絕對值均不大于0.3 mm，測段中間坐標較差基本小于0.1 mm；而尺度改化X方向與Y方向最大差值均達到了0.8 mm，與未改化數據坐標偏差較大；第二段數據兩化改正結果與未改化結果除起點2個點X方向較差為0.4 mm，結尾2個點Y方向較差為0.3 mm外，其他214個點X、Y方向上坐標較差值均不大于0.2 mm，而尺度改化結果與未改化結果X方向最大值達到了1.4 mm，Y方向最大值也達到了0.6 mm，測段中間與未改化數據偏差也較大，部分點位Y方向坐標較差達到0.6 mm。

圖9　第一段未改化數據與兩化改正后坐標較差統計(單位：mm)

圖10　第一段未改化數據與尺度改正后坐標較差統計(單位：mm)

圖11　第二段未改化數據與兩化改正后坐標較差統計(單位：mm)

圖12　第二段未改化數據與尺度改正后坐標較差統計(單位：mm)

由上述比較可以發現，在滿足“規范”要求每公里投影變形不大于10 mm的前提下，不對觀測數據進行改化處理仍然會出現數據超限情況，而改化后數據均可以滿足“規范”要求。從理論上來講，兩化改正是通過對軌道控制網高斯投影變形值的精確計算得到的改正值，與尺度改化相比，可以真實反應軌道控制網實際測量情況，不會掩蓋測量過程中出現的問題，如棱鏡常數、氣象改正等的影響；從實際平差結果來看，兩化改正和尺度改化后改正數均可以滿足“規范”要求，但通過兩化改正得到的結果與未改化結果更加一致，而尺度改化結果與實際測量結果偏差較大。

4結論

對比軌道控制網原始數據的兩種改化方式：兩化改正和尺度改化，理論和實測數據證明兩化改正更加嚴謹，與工地現場實測情況更加一致，不會掩蓋實測中存在的問題，因此推薦使用兩化改正的方式來減弱長度變形對測量的影響。

參考文獻

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收稿日期：2016-02-18

作者簡介：王杏偉(1984—)，男，工程師。

文章編號：1672-7479(2016)03-0009-04

中圖分類號：P221； P282.1

文獻標識碼：A

Research on the Method of Projective Deformation in Hangchang High-speed Railway Track Control Network

WANG Xingwei