基于頻率控制的自適應隨機共振系統研究

張　剛， 胡　韜， 張天騏

(1.重慶郵電大學,重慶　400065；2.信號與信息處理重慶市重點實驗室，重慶　400065)

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基于頻率控制的自適應隨機共振系統研究

張剛1,2， 胡韜1， 張天騏1,2

(1.重慶郵電大學,重慶400065；2.信號與信息處理重慶市重點實驗室，重慶400065)

摘要：研究雙穩Duffing系統隨機共振產生機理，針對不滿足絕熱近似條件的大參數信號，提出基于頻率控制自適應隨機共振微弱信號檢測系統，實現對未知大頻率微弱信號檢測。仿真結果表明，該系統能實現大頻率信號隨機共振，較傳統隨機共振系統精度及系統輸出信噪比均極大提高，并能擴展其在微弱信號檢測領域的應用。

關鍵詞：Duffing系統；頻率控制；隨機共振；自適應

Benzi等[1-2]研究雙穩態模型時首次提出隨機共振概念，并利用Budyko-Sellers模型的隨機共振解釋地球冰川期、暖周期交替現象。該理論獲得廣泛關注及研究，并提出諸多經典隨機共振模型，如閾值系統模型、混沌系統模型、神經系統模型及廣義系統模型[3]等。

Duffing振子為微弱信號檢測領域中常見的混沌系統模型，為能產生混沌現象的非線性系統，用其敏感性及免疫性能檢測強噪聲背景的微弱信號效果良好[4-5]，其難點在于原驅動信號的頻率設置。對大頻率信號，可通過頻率尺度變換匹配原驅動信號頻率，使待測信號頻率與驅動信號頻率相同，實現微弱信號檢測[6]。本文利用Duffing振子隨機共振特性[7]，去除外加策動力信號，將待測微弱周期信號直接作為雙穩系統驅動信號實現隨機共振；并提出基于頻率控制的定步長搜索隨機共振系統實現對微弱周期信號檢測。

1雙穩Duffing隨機共振系統特性分析

取一階非線性系統Langevin方程[8]為

(1)

式中：U(x)為系統勢函數；s(t)為外加信號；n(t)為外加噪聲。

據非線性系統穩態解個數(曲線U(x)頂點個數)可將穩態隨機共振系統分為單穩系統、雙穩系統及多穩系統。單穩態系統中，系統只能在平衡點附近的有效區域內運動，即使初始狀態遠離平衡點，經一定時間振蕩后系統將趨于平衡點；而對存在兩個穩定點的雙穩態系統，會在外力作用下越過勢壘點在兩穩定點間躍遷。

基于式(1)，構建由周期信號s(t)及噪聲信號n(t)共同驅動的二階Duffing方程為

(2)

式中：k為阻尼比；a>0，b>0為勢阱參數。

為方便分析，令s(t)=Acos(ω0t+φ0)，n(t)作為輸入信號及噪聲，其中信號振幅為A，頻率ω0為常數，相位φ0=0，n(t)為均值為0、噪聲強度為D的高斯白噪聲，滿足

〈n(t)〉=0,〈n(t)n(0)〉=2Dδ(t)

(3)

白噪聲可表示為

n(t)=σξ(t),σ2=2D

(4)

式中：σ2為噪聲方差；ξ(t)為均值0、方差1的高斯白噪聲。

圖1　雙穩Duffing系統勢函數Fig.1 Bistable Duffing system potential function

(a) 僅加入周期信號且A

時系統輸出越過勢壘在兩勢阱間大范圍躍遷運動。此因引入周期策動信號打破系統平衡，使勢阱發生周期性傾斜。而系統中同時加入周期正弦信號及噪聲時(圖2(c))，即使A

2基于絕熱近似理論的隨機共振

絕熱近似理論[9]能較好解釋存在于雙穩系統中的隨機共振現象，即輸入信號幅值A、頻率ω0及噪聲強度D均較小、且三者達到協同效應時，單個勢阱內局部平衡可被認為瞬時完成，產生隨機共振系統會在兩穩態間進行一定概率交換。因此，基于絕熱近似理論的隨機共振只適用小參數條件(信號幅值A?1，信號頻率ω0?1，噪聲強度D?1)[10]。

基于此，可得雙穩隨機共振系統輸出功率譜[11]為

(5)

由式(5)看出，輸入信號及噪聲經非線性雙穩系統后，輸出信號功率譜Sf0(D,ω)及噪聲功率譜Sη(D,ω)均向低頻集中，由此亦證明基于絕熱近似理論的隨機共振只適用低頻信號。而現實中需檢測的微弱信號大多不滿足小參數條件，且頻率未知。其中針對大頻率微弱信號、未知頻率信號最常用方法為對輸入信號進行尺度變換(或二次采樣)[12-13]及混沌振子陣列法。可見，對任意未知頻率微弱信號檢測會變困難、復雜。

3基于頻率控制的自適應隨機共振

3.1頻率控制隨機共振檢測原理

針對頻率未知待測微弱信號不能直接輸入雙穩Duffing系統進行檢測問題，提出基于頻率控制的自適應隨機共振，滿足對任意未知頻率微弱信號的檢測。

信號輸入隨機共振檢測系統前引入頻率控制信號對待測微弱信號進行頻率調制。先將待測微弱信號與頻率控制信號相乘，通過乘法器輸出兩新的不同頻率高、低頻信號及統計特性改變的噪聲，再將新產生信號及噪聲輸入隨機共振系統。頻率控制原理見圖3。

圖3　頻率控制原理Fig.3 The principle diagram of the frequency control

頻率控制表達式為

[s(t)+n(t)]c(t)=

[Acos(2πf0t)+n(t)]cos(2πfct)=

n(t)cos(2πfct)=s1(t)+s2(t)+n′(t)

(6)

式中：f1=f0-fc；f2=f0+fc。

由此可知，經頻率控制處理后產生具有f1、f2兩種新的低、高頻成分信號s1(t)及s2(t)，且f1

(7)

(8)

據式(7)可得，經非線性雙穩系統后新的頻率成分與待測信號頻率輸出功率關系為

Pf1≥Pf0≥Pf2

(9)

同理，輸出噪聲能量亦向低頻集中，為系統躍遷提供更多能量，一旦輸入信號頻率與之匹配便能產生隨機共振。

3.2基于頻率控制自適應算法

由Kramers逃逸率可知，噪聲引起的雙穩系統在勢阱之間的躍遷的速率為

(10)

(11)

當雙穩系統參數a=b=1且噪聲強度D較大時，由式(11)可求出理論極限值rkmax≈0.225 Hz；系統在某個勢阱中的平均駐留時間Tk=1/rk等于周期信號半周期T/2(勢函數周期性變化時間)即rk=2f0時，式(2)中Duffing混沌系統將產生隨機共振。由此可知，絕熱近似條件下雙穩系統只能與頻率0

以上分析可知，對未知大頻率微弱信號，通過引入控制頻率fc，總能找到1個新低頻信號f1使之滿足0

據系統輸出信號功率及噪聲功率可求出系統輸出信噪比表達式為

(12)

將式(11)代入式(12)，得

(13)

通過計算系統輸出信噪比大小衡量系統性能，基本流程見圖4。具體實施步驟為：① 初始化各系統參數a=b=1，設置控制頻率fc步長及搜索范圍；②用fc對輸入信號進行頻率控制，將調制后信號輸入非線性雙穩系統，用四階Runge-Kutta算法對非線性微分方程求解；③ 計算系統輸出信噪比SNRout并記錄，其最大值對應的控制頻率即為最優控制頻率；④ 將最優控制頻率代入系統求解，由f0=f1+fc反算獲得待測信號準確頻率。

圖4　自適應算法流程Fig.4 The adaptive algorithm flow chart

4數值研究與分析

4.1輸入信號不經頻率控制

4.1.1輸入信號為小頻率未知信號

由式(2)構建雙穩隨機共振系統，令系統參數a=b=1，k=0.5，輸入信號參數A=0.2 V，f0=0.02 Hz(設輸入系統前頻率未知)，采樣頻率fs=5 Hz，噪聲強度D分別取0.14,0.43,0.83，采用四階Runge-Kutta算法對非線性微分方程進行求解，計算點數N=4 096，步長h=0.2。雙穩系統輸入待測微弱信號為低頻信號時，適當增加噪聲強度即可使系統克服勢壘產生隨機共振，見圖5。圖5(a)、(b)為噪聲強度D=0.14時系統輸出信號及功率譜，可見因噪聲較小，系統未能實現隨機共振；由圖5(c)、(d)看出，加入適當強度噪聲信號時系統、噪聲及待測信號有協同效應，致系統產生共振，并在f=0.02 Hz處出現譜峰值特征，表明待測信號頻率為f=0.02 Hz。由圖5(e)、(f)看出，加入較大強度噪聲時系統雖能實現共振并在f=0.02 Hz處出現譜峰值特征，但由于噪聲強度過大使系統輸出性能下降。由此可見，雖噪聲能量可轉化為低頻信號能量，但不可過度加大噪聲強度，只有噪聲強度適當才能提高系統的輸出性能。

圖5　小頻率信號在不同噪聲強度下系統輸出信號時域及功率譜圖Fig.5 The system output small frequency signal time domain and power spectrum diagram under different noise intensity

4.1.2輸入信號為大頻率未知信號

由式(2)構建雙穩隨機共振系統，令系統參數a=b=1，k=0.5，輸入信號參數A=0.1 V，f0=5 Hz(假設輸入系統前頻率未知)，采樣頻率fs=20 Hz，噪聲強度D分別取0.3,1.2,4.8。采用四階Runge-Kutta算法對非線性微分方程進行求解，計算點數N=10 000，步長h=0.05。雙穩系統中輸入待測微弱信號為大頻率未知信號時，無論加入多大強度噪聲信號，系統均不能實現隨機共振，見圖6。由圖6看出，在3種不同噪聲強度下系統均未實現隨機共振，且在f=5 Hz處未出現譜峰值特征，由此驗證基于絕熱近似理論的隨機共振只適用小參數條件。

圖6　大頻率信號在不同噪聲強度下系統輸出信號時域圖和功率譜圖Fig.6 The system output big frequency signal time domain and power spectrum diagram under different noise intensity

4.2基于頻率控制的自適應未知大頻率信號檢測

由以上分析知，基于絕熱近似理論的隨機共振僅適用于小頻率信號。大量實驗證明，基于頻率控制的自適應隨機共振可提高系統輸出信噪比，達到優化系統性能目的。

由式(2)構建雙穩隨機共振系統，令系統參數a=b=1，k=0.5，輸入信號參數A=0.1 V，f0=30 Hz(設輸入系統前未知)，采樣頻率fs=5 Hz，噪聲強度D=0.4。采用四階Runge-Kutta算法對非線性微分方程進行求解，計算點數N=10 000，步長h=0.2。取控制頻率初始值為步長，即fc=0.02，0.005，0.001。按圖4步驟搜索待測信號，結果見圖7。由圖7看出，隨控制頻率步長減小，系統輸出性能得到提升。而當輸入信號不經頻率控制系統時，則不能產生隨機共振，由仿真實驗求得此時系統輸出信噪比SNRout=0.000 0016，由此可知，非隨機共振下信號基本完全被淹沒。圖7(a) 、(b)為控制頻率初始值、步長為0.02時輸出信號及功率譜，通過自適應算法搜索，當控制頻率fc=29.98 Hz時系統輸出信噪比最大且SNRout=0.060 309，在f=0.02 Hz處呈不明顯的譜峰值特征，即此時新低頻信號f1=0.02 Hz，由f1=f0-fc可計算待測未知大頻率信號頻率f0=30 Hz；圖7(c)～(f)為控制頻率初始值、步長為0.005及0.001時輸出信號與功率譜，可見控制頻率分別為fc=29.995 Hz及fc=29.999 Hz時，系統輸出信噪比最大，為SNRout=0.075 431、SNRout=0.076 661。據f1=f0-fc所得待測未知大頻率信號頻率均為f0=30 Hz，可見，通過提高控制頻率精度在一定程度上可改善系統輸出性能，輸出信號功率明顯增加。

圖7　大頻率信號在不同初始值控制頻率時系統輸出信號時域圖和功率譜圖Fig.7 The system output big frequency signal time domain and power spectrum diagram under different initial control frequency

系統輸出信噪比SNRout能較好反映雙穩系統性能，輸入待測頻率f0=30 Hz、噪聲強度D=0.1、D=0.4時，系統輸出信噪比隨頻率調制的輸出新低頻信號f0-fc變化曲線見圖8。由圖8看出，SNRout隨f0-fc(控制頻率精度)增大性能急劇下降；隨噪聲強度D增加系統性能進一步惡化。可見，雙穩隨機共振系統在噪聲強度及待測信號頻率為低頻信號時系統性能更好。因此，利用雙穩系統檢測待測未知大頻率信號時，可通過減小噪聲干擾、提高控制頻率精度優化系統檢測性能。

圖8　頻率f0=5 Hz時SNRout隨f0-fc變化曲線Fig.8 Frequency f0=5 Hz SNRoutwith f0-fc curves

5結論

分析雙穩Duffing系統實現隨機共振動力學機理，基于絕熱近似理論小參數條件基礎上提出基于頻率控制的自適應算法隨機共振系統，結論如下：

(1) 通過頻率控制可產生新的小頻率信號，并能有效減小噪聲干擾。

(2) 基于定步長頻率控制自適應隨機共振系統，能檢測未知大頻率信號，可用于未知機械軸承故障信號檢測及其它類型微弱周期信號的隨機共振檢測。

參 考 文 獻

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基金項目：國家自然科學基金資助項目(61071196;61102131)

收稿日期：2015-05-07修改稿收到日期：2015-07-22

中圖分類號:TN911.23

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.02.015

Adaptive stochastic resonance system based on frequency control

ZHANG Gang1,2, HU Tao1, ZHANG Tian-qi1,2

(1. Chongqing University of Posts and Telecommunications, Chongqing 400065, China; 2. Key Laboratory of Signal and Information Processing of Chongqing, Chongqing 400065, China)

Abstract:The stochastic resonance of a bistable Duffing system was studied. Aiming at the large parameter condition which does not meet the adiabatic approximation, a kind of adaptive weak signal detection system with the aid of stochastic resonance based on frequency control was proposed. The system can detect the unknown weak signal with high frequency. The simulation results show that the system can realize the stochastic resonance of high frequency signals. Compared with the traditional stochastic resonance system, its precision and the signal-to-noise ratio of its output are greatly improved, and its application in the weak signal detection field is developed.

Key words:Duffing system; frequency control; stochastic resonance; adaptive

第一作者 張剛 男，博士，副教授，1976年生