含摩擦與間隙的失諧葉盤系統振動局部化研究

曾海楠， 曹樹謙， 蘇永雷

(1.天津大學 機械工程學院，天津　300072； 2.天津市非線性動力學與混沌控制重點實驗室, 天津　300072;3.長安汽車工程研究總院 CAE工程所，重慶　401120)

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含摩擦與間隙的失諧葉盤系統振動局部化研究

曾海楠1,2， 曹樹謙1,2， 蘇永雷3

(1.天津大學 機械工程學院，天津300072； 2.天津市非線性動力學與混沌控制重點實驗室, 天津300072;3.長安汽車工程研究總院 CAE工程所，重慶401120)

摘要：針對葉片榫頭與輪盤榫槽連接處間隙及摩擦,基于葉盤結構典型集中參數模型,建立含干摩擦、間隙的非線性動力學方程,研究失諧葉盤系統振動局部化。在葉身剛度隨機失諧下分析葉盤系統對不同耦合剛度的固有特性及共振響應。結果表明,非線性諧調葉盤系統亦出現振動局部化現象。利用振幅放大系數對線性、非線性失諧葉盤系統振動響應局部化研究,振幅放大系數呈失諧閾值現象，且非線性干摩擦、間隙作用會降低失諧系統振動響應局部化程度。而諧調葉盤系統非線性振動研究表明,隨氣流激勵力頻率變化,系統呈非簡諧單周期運動、多周期諧波運動、混沌運動等多種動力學行為。失諧因素存在會使非線性失諧葉盤系統動力學行為更復雜。

關鍵詞：葉盤系統；失諧；振動局部化；干摩擦；間隙；振幅放大系數；非線性動力學

葉盤系統為航空渦輪發動機轉子基本組件，發動機運行安全可靠性主要依賴于旋轉部件結構完整性。通常，葉盤系統被設計成諧調的,呈循環對稱周期結構。而因制造誤差、運轉使用中磨損等原因會使葉片特性有小量差別,即失諧。失諧會使系統振動響應局限在較小葉片區域，導致該區域振動響應遠大于其它部位,即振動局部化現象[1-5]。振動能量空間局部化使少數葉片應力顯著增加，導致葉片過早發生疲勞損傷[6]。王建軍等[7]提出基于葉片振型位移、模態應力及應變能3種定量描述失諧葉盤結構模態局部化方法。王培屹等[8]利用振幅放大系數對失諧葉盤系統振動響應局部化程度進行定量描述。Choi等[9-10]研究認為振幅放大系數隨失諧強度增大到一定值后又隨失諧強度進一步增大而減小,即存在一定失諧閾值。

采用非整體葉盤結構的現代航空發動機壓氣機工作葉片主要由葉身與榫頭兩部分組成。葉身與輪盤的連接為榫頭等方式。榫頭與輪盤榫槽之間含一定間隙,使榫頭與輪盤連接處受熱后自由膨脹減少熱應力[11]。文獻[4]用攝動法分析的各種系統參數條件下具有干摩擦散亂失諧的葉盤系統振動響應局部化問題未考慮榫頭處間隙作用。Cigeroglu等[12]對含干摩擦阻尼器的非線性失諧葉盤系統進行振動分析,但亦未考慮間隙的存在。Sinclair等[13-15]認為榫頭與榫槽之間含間隙,系統非線性因素源于榫頭因變形擴張產生的接觸力及接觸面摩擦力,并利用線性彈簧模擬葉片根部彈性力。而因間隙存在,等效的彈性力為非線性的。Petrov[16]對3種含非線性界面(摩擦阻尼、間隙、三次非性彈簧)模型進行數值計算,但仍未考慮失諧因素。張亮等[17]采用集中參數模型分析榫頭處干摩擦對失諧葉盤系統振動特性影響時,發現增加榫頭摩擦能降低失諧葉盤系統振動局部化程度。王艾倫等[18-19]利用增量諧波平衡法研究含非線性摩擦力失諧葉盤系統振動響應,發現含非線性摩擦阻尼的諧調葉盤系統同樣產生振動能量局部化現象,干摩擦失諧的不同形式對諧調葉盤系統振動局部化影響不同。現有文獻雖對含非線性摩擦的失諧葉盤系統響應研究有一定成果,但對同時含非線性干摩擦力及間隙的失諧葉盤振動局部化研究較少。

本文以航空發動機壓氣機部分葉盤系統為研究背景,利用典型葉盤集中參數模型首次同時考慮干摩擦、間隙下利用四階Runge-Kutta法對失諧葉盤系統非線性動力學方程進行數值求解,分析失諧葉盤系統非線性動力學行為。

1系統集中參數模型及動力學方程

1.1典型葉盤集中參數模型

壓氣機工作葉片主要由葉身、榫頭兩部分組成,輪盤邊緣有榫槽。工作葉片通過榫頭與輪盤連接。葉盤結構見圖1。本文對葉盤結構建立集中參數模型，所用典型單扇區二自由度集中參數模型見圖2。

圖1　航空發動機低壓壓氣機多級葉盤結構Fig.1 The structure of low pressure compressor multi-stage bladed disk of aero-engine

圖2　葉盤集中參數模型Fig.2Lumped parameter model of a bladed disk

將輪盤等效為無質量的彈性體,不考慮輪盤動力學特性,只考慮榫槽對榫頭摩擦、彈性約束作用。對原結構圖中第i個葉片進行簡化(對應第i個扇區)，將葉身等效為質點,用圖2集中質量塊mi表示；將榫頭等效為質點,用集中質量塊mi+n表示。圖1中葉身發生切向彎曲變形時與榫頭之間產生彈性力,將其作用簡化為圖2中彎曲剛度為ki的無質量彈性桿。圖1中單個榫頭發生切向彎曲變形時輪盤榫槽亦會對單個榫頭有彈性約束力,將此作用簡化為圖2中彎曲剛度為ki+n的無質量彈性桿。此彈性桿將榫頭集中質量塊與基礎相連(圖2中弧線),代表輪盤榫槽對對應單個扇區內榫頭的彈性約束力。本文認為圖1的榫頭、榫槽為小間隙配合,當相鄰榫頭發生振動時輪盤對相鄰榫頭的耦合作用是變化的。對相鄰扇區之間復雜的耦合作用力,用圖2中耦合剛度為kg的分段線性彈簧連接相鄰扇區,示意間隙的存在導致耦合作用力變化。ci，ci+n為第i個扇區葉身、榫頭的等效阻尼；xi，xi+n為第i個扇區葉身、榫頭位移沿輪盤切線方向；fi為作用于葉身的氣流激振力,也沿輪盤切線方向。用榫頭對輪盤榫槽(圖2中固定端)的摩擦件模擬接觸面的摩擦。gi+n為作用在第i個扇區榫頭與輪盤榫槽連接位置的干摩擦力。

1.2含間隙的葉盤結構中耦合作用力

設第i扇區的等效榫頭質量塊受右側扇區間作用力fkr及左側扇區間作用力fkl,則由對耦合作用力分析可知

(1)

(2)

1.3干摩擦力

Wei等[21]分析干摩擦阻尼對近似循環結構局部化振動影響時用庫侖干摩擦模型模擬摩擦阻尼。對具有緣板下阻尼件的葉盤系統分析時用葉片對地(輪盤)的摩擦件模擬摩擦阻尼。Berthillier等[22]對含摩擦阻尼器的葉盤系統進行振動響應分析采用庫侖干摩擦模擬摩擦阻尼。本文模型的干摩擦亦用庫侖摩擦模型，即

(3)

式中：μ為摩擦系數；Ni+n為第i扇區擦面間法向壓力。

1.4氣流激振力

作用于葉盤系統的外部激振力主要為氣流激振力,通常簡化為以圓周變化運動的周期激振源。此處采用諧和力形式為

fi=f0cos(ωt+φi)

(4)

1.5系統動力學方程建立

由第i扇區葉身、榫頭質量塊受力分析，獲得動力學方程為

(5)

將方程(5)寫成矩陣形式,可得整體諧調葉盤系統非線性振動響應的力學模型，即

(6)

式中：M，C，K為系統質量、阻尼及剛度矩陣；X為位移矢量；F為作用于葉盤系統的氣流激振力矢量；G為葉盤系統中干摩擦力矢量。各矩陣表達式為

M=diag(m1,m2,…,mn,…,m2n)

C=[Cb,-Cb;Cb,Cc]，Cb=diag(c1,c2,…,cn)

Cc=diag(c1+c1+n,c2+c2+n,…,cn+c2n)

K=[Kb,-Kb;Kb,Kc]，Kb=diag(k1,k2,…,kn)

k(n,n)=ki+kn+i+2kg；剛度矩陣中耦合剛度kg隨間隙變化而變化。

X=(x1,x2,…,xn,…,x2n)T

2葉盤系統振動局部化研究

失諧葉盤結構振動局部化主要反映在模態局部化及振動響應局部化。通過對比葉盤結構失諧前后的模態振型分析模態局部化現象,用振幅放大系數定量描述振動響應局部化程度,并對比線性、非線性系統葉盤結構的振動響應局部化程度。

2.1線性諧調葉盤系統固有頻率特征分析

忽略式(6)中氣流激振力及摩擦力,取kg為定值,得線性諧調葉盤系統自由振動方程為

(7)

諧調葉盤系統中各扇區葉身及榫頭質量、剛度、阻尼參數均一致。用文獻[23-24]的葉盤結構參數,諧調系統中葉身等效質量mi=1.14×10-2kg,等效剛度ki= 4.303×105N/m，等效阻尼ci=8 N·s/m；榫頭等效質量mi+n=4.27×10-2kg,等效剛度ki+n=1.735×107N/m,等效阻尼ci+n=5 N·s/m；記系統耦合強度為R=kg/ki+n,R=1.78表示強耦合系統, 剛度為kg= 3.084×107N/m;R=0.4表示弱耦合系統, 剛度為kg= 6.94×106N/m。取葉片數n=12進行數值計算。

該系統共有24個自由度,由式(7)獲得24階固有頻率(Hz)，其與模態階次關系見圖3。對強、弱耦合的諧調葉盤系統特征值除第1、12、13、24階各對應一個特征值外,其它各階固有頻率均有重頻出現,對應一對正交振型。文獻[3]認為模型頻率結構有3個典型頻段,中間頻段模態密集性質由葉身間弱耦合所致。而本文模型固有頻率圖顯示無論弱、強耦合系統，固有頻率均分為兩頻段。其中第1～12階為低階頻段,第13～24階為高階頻段,兩頻段間頻率差異明顯。本文單扇區簡化為葉身、榫頭自由度,而文獻[3]模型的單扇區則簡化為葉片、輪盤自由度。因此固有頻率特征由系統簡化模型而定，并非集中參數葉盤模型固有頻率特征曲線均有3個頻段。強、弱耦合系統低階頻段模態密度均較高,說明模態密集性質不一定由葉身間弱耦合導致。對強耦合系統,低階頻段固有頻率集中在964.8～976.26 Hz，接近單獨葉身固有頻率,其模態振型由葉身主導。此低階頻段模態密集性質易導致失諧周期結構的模態局部化,為研究失諧葉盤結構振動局部化重點頻段。

圖3　諧調葉盤系統固有頻率特性Fig.3 Natural frequencies of tuned bladed disk systems with strong

2.2線性失諧葉盤系統模態振型局部化

考慮葉身剛度失諧,定義第i個葉身剛度失諧強度為ρi=(ki-kb)/kb, 其中kb為諧調葉盤系統葉身等效剛度；ki為失調葉盤系統各葉身剛度。則失諧后各葉身剛度值滿足ki=kb(1+ρi)。取失諧強度ρ滿足均值為0、標準差分別為σ1=0.02、σ2=0.04、σ3=0.06、σ4=0.08的隨機正態分布,生成4組失諧強度隨機數見表1。

表1　葉身剛度失諧強度值

分析R=1.78的強耦合系統。選第2、18階固有頻率求解得系統對應的模態振型。低階頻段對應模態振型為葉身主導振型,故葉身的振動幅值遠大于榫頭。因主要研究不同失諧量對模態振型影響,故只選葉身的相對振幅進行比較。諧調、失諧狀態下模態振型見圖4～圖6。

圖4 諧調葉盤系統模態振型Fig.4Modeshapesofthetunedbladeddisksystem圖5 失諧葉盤系統模態振型(σ1=0.04)Fig.5Modeshapesofthemistunedbladeddisk(σ1=0.04)圖6 失諧葉盤系統模態振型(σ1=0.08)Fig.6Modeshapesofthemistunedbladeddisk(σ1=0.08)

由圖4看出,諧調葉盤系統模態振型均呈諧和形式,葉身振幅呈正弦或余弦變化形式。系統模態振動能量在葉盤的分布呈均勻式,無模態局部化現象產生。由圖5、圖6看出,失諧葉盤系統模態振型出現局部化。第18階模態振型局部化不很明顯,第2階模態振型出現強烈的局部化現象,模態振型中一個葉身振幅遠大于其它葉身。因低階頻段模態振型由葉身主導,而高階頻段模態振型由榫頭主導,故葉身剛度失諧對低階頻段模態振型影響較大。在葉身主導振動下,失諧更易致振動能量在葉盤上呈不均勻分布，且低階頻段模態密集性質亦易導致失諧葉盤系統的模態局部化。此與對葉盤系統固有頻率特性分析一致。

2.3非線性失諧葉盤系統的振動響應局部化

式(6)為諧調葉盤結構模型，其中葉身等效剛度均相等,即k1=k2=…=kn=kb,失諧葉盤系統各葉身剛度值不相等,滿足ki=kb(1+ρi),ρi為第i個葉身剛度失諧強度。取間隙d0=0.8 mm。依次取失諧強度ρ滿足表1中4組隨機正態分布,將葉身剛度失諧量加入式(6)，分析非線性失諧葉盤系統振動響應，與諧調系統進行對比。

因榫頭處干摩擦力、間隙作用對榫頭運動影響較對葉身影響大,故分析失諧對榫頭響應影響。對強耦合系統,分別以第2、18階固有頻率值作為氣流激振力的激振頻率進行共振響應分析,計算得到每個榫頭最大振動位移。

諧調葉盤系統為周期循環結構,在相同外部激勵下,每個葉身沿圓周方向相同位置振動響應相同。圖7的藍色曲線為諧調葉盤系統每個葉身最大振動位移,其余則為不同失諧強度下每個葉身最大振動位移。由圖7看出,第2、第18階共振系統葉身振幅不一致,呈振動局部化現象。第18階的振動響應局部化程度較第2階弱。對高階頻段共振,失諧強度對振動局部化影響較復雜。因高階頻段共振屬于榫頭共振區,而榫頭又受摩擦及間隙影響,導致失諧對系統運動影響較復雜。榫頭主導的第18階共振下含干摩擦、間隙的非線性諧調葉盤系統亦出現振動響應局部化現象。此由間隙與摩擦力非線性力作用所致。說明振動能量局部化不僅由失諧引起,非線性因素亦能引起。此與含非線性剛度的諧調葉盤系統[25]及含非線性摩擦阻尼的諧調葉盤系統振動局部化現象一致。

2.4失諧葉盤系統振幅放大系數

為進一步描述失諧葉盤系統振動響應局部化程度,引入振幅放大系數AMF

(8)

式中：Umax，Vmax為同工況下失諧、諧調葉盤結構葉身(或榫頭)振幅最大值。

考慮強耦合系統中不同葉身剛度的隨機失諧對系統強迫振動響應影響。取2.1節的各階固有頻率值, 取激勵力頻率為系統各階固有頻率,計算各階共振下系統的葉身、榫頭振幅放大系數。

圖7 葉身剛度失諧下的榫頭響應Fig.7Resonanceresponseofthetenonunderbladebodystiffinessmistuning圖8 線性系統中葉身剛度失諧下振幅放大系數Fig.8AMFofthelinearsystemwithbladebodystiffinessmistuning圖9 非線性系統中葉身剛度失諧下振幅放大系數Fig.9AMFofthenonlinearsystemwithbladebodystiffinessmistuning

2.4.1線性失諧葉盤系統

計算線性系統葉身、榫頭在氣流激振力下的振動響應,利用方式(8)計算各自振幅放大系數，見圖8。由圖8看出,兩者振幅放大系數在頻段交界處均發生突變。葉身剛度失諧對葉身響應影響主要集中在低階頻段, 而對榫頭影響主要集中在高階頻段。因低階頻段頻率更接近單獨葉身固有頻率,使葉身對失諧更敏感。同樣,榫頭在高階頻段共振下對失諧亦更敏感。對葉身響應的低階頻段,振幅放大系數隨失諧強度先增加到一定程度又隨失諧強度進一步增加而減小。即出現失諧“閾值”現象,與文獻[6,9-10]研究結果一致。榫頭在第13、14、15階共振響應下的振幅放大系數大于其它階共振響應對應值。因該三階固有頻率更接近單獨榫頭固有頻率,故在此階共振響應下對失諧更敏感。

2.4.2非線性失諧葉盤系統

計算非線性系統葉身、榫頭自由度振動響應,并用式(8)計算各自振幅放大系數,結果見圖9。在葉身響應低階頻段,振幅放大系數亦出現失諧“閾值”現象。而對榫頭響應,振幅放大系數在高階頻段隨失諧強度變化更復雜。兩者振幅放大系數在高階頻段均出現小于1的值,即失諧系統最大振幅較諧調系統小。此因非線性摩擦、間隙作用降低失諧葉盤系統振動局部化程度。對比圖8(b)、圖9(b)知,非線失諧葉盤系統振幅放大系數遠小于線性失諧葉盤系統。說明對失諧葉盤系統,干摩擦、間隙等非線性因素的存在會改善振動局部化現象。實際葉盤系統為非線性,而結構失諧難以避免。故可進一步推測,對非線性系統,合理的人為失諧設計能減小葉盤系統對失諧的敏感性。即通過優化尋找具有減振效果的失諧方式。

3葉盤系統非線性響應分析

對含齒側間隙的齒輪系統進行動力學分析時,陳廣艷等[26-27]認為在不同激勵頻率下系統會出現簡諧、非簡諧單周期、多周期次諧波及混沌等穩態強迫響應。因榫頭處間隙、干摩擦的存在,本文葉盤系統亦出現類似的復雜非線性特性。因此，對比葉盤系統單周期運動狀態下失諧、諧調葉盤系統幅頻響應特征。

3.1諧調葉盤系統非線性響應分析

因諧調葉盤系統為循環周期結構,且受到有一定相位差的相同外部激勵，研究整體葉盤結構非線性特性時只取某個扇區的計算結果進行分析。對強耦合系統中榫頭集中質量塊進行共振響應分析,研究摩擦、間隙等非線性因素對系統動力學響應影響。

3.1.1只含干摩擦的非線性系統振動響應分析

圖10　含干摩擦非線性系統榫頭響應Fig.10 Response of the tenon of the nonlinear system with dry friction

3.1.2同時含干摩擦、間隙的非線性系統響應分析

圖11　同時含間隙、干摩擦非線性系統榫頭自由度響應=969.09 Hz)Fig.11 Response of the tenon of the nonlinear system with dry friction and gap

3.1.3非線性系統隨激勵力頻率變化的動力學行為

圖時非線性系統榫頭響應Fig.12 Response of the tenon of the nonlinear system

圖時非線性系統榫頭振動響應Fig.13 Response of the tenon of the nonlinear system

圖時非線性系統榫頭振動響應Fig.14Response of the tenon of the nonlinear system

結合圖11～圖14可知,在間隙、摩擦因素影響下,系統從混沌運動進入非簡諧單周期運動再進入多周期諧波運動,動力學行為非常復雜。混沌響應及多周期諧波響應對葉盤系統穩定性均不利,故將葉盤系統的工作狀態控制在單周期運動附近較合理。

3.2失諧葉盤系統非線性響應分析

圖15　不同失諧強度下葉盤系統幅頻響應Fig.15 The amplitude frequency response of bladed disk system under different mistuning strength

實際系統中的摩擦、間隙等非線性因素及結構小量失諧均無法避免，因此合理人為設計某種葉身失諧形式,能減小葉盤系統對失諧的敏感性。分析表明,非線性諧調葉盤系統動力學行為較復雜,若再引入失諧因素,非線性失諧葉盤系統動力學行為會更復雜。

4結論

通過首次建立含間隙與摩擦的葉盤系統模型，研究葉身剛度隨機失諧下葉盤系統模態振型及振動響應局部化，分析非線性葉盤系統動力學行為，結論如下：

(1) 強、弱耦合系統固有頻率結構均有兩個頻段,且低階頻段模態密度較高,即模態密集性質不一定由葉身間弱耦合引起。

(2) 含摩擦與間隙的非線性諧調葉盤系統出現的振動局部化現象表明，振動響應局部化不僅僅由于失諧，摩擦、間隙等非線性因素亦能引起局部化。

(3) 線性/非線性失諧葉盤系統振幅放大系數均出現失諧“閾值”。非線系統振幅放大系數遠小于線性系統,表明干摩擦、間隙等非線性因素存在會改善失諧產生的振動局部化；該放大系數小于1，表明摩擦、間隙作用會降低失諧葉盤系統振動局部化程度。

(4) 非線性諧調葉盤系統隨外激勵力頻率變化的響應會呈非簡諧單周期、多周期諧波及混沌運動等動力學行為。非線性失諧葉盤系統動力學行為更復雜。合理的人為失諧設計能減小葉盤系統對失諧的敏感性。

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基金項目：國家重點基礎研究發展計劃(2015CB057400)；天津市自然科學基金項目(11JCZDJC25400)

收稿日期：2014-10-10修改稿收到日期：2014-11-26

通信作者曹樹謙 男，博士,教授，博士生導師, 1964年生

中圖分類號:V231

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.02.014

Vibration localization of a mistuned bladed disk system with friction and gap

ZENG Hai-nan1,2, CAO Shu-qian1,2, SU Yong-lei3

(1. School of Mechanical Engineering, Tianjin University, Tianjin 300072, China;2. Tianjin Key Laboratory of Nonlinear Dynamics and Chaos Control, Tianjin 300072, China;3. CAE Department-Changan Auto Global R & D Center, Chongqing 401120, China)

Abstract:Based on the lumped parameter model of a bladed disk, the vibration localization of a mistuned bladed disk was investigated in consideration of nonlinear parameters such as dry friction and gap in connections between blade tenton and mortise. For systems with different coupling stiffness, the natural frequencies and resonance responses were discussed under random mistuning of the blades stiffnesses. The results show that the vibration localization would also appear in the tuned system with nonlinear factors. Using the amplitude magnification factor (AMF), the vibration response localization of linear and nonlinear mistuned bladed disks was explored, and the existence of an AMF’s threshold was uncovered. The degree of vibration response localization of the mistuned system will reduce because of the participation of nonlinear dry friction and gap. The analysis of nonlinear tuned system under different excitation frequencies turns to reveal the nonlinear dynamics behaviors such as non-harmonic periodic-one motion, multi-period harmonic motion and chaotic motion of the system. Besides, as the mistuning factor exists, the behaviors of nonlinear mistuned disk systems become more complex.

Key words:bladed disk system; mistuning; vibration localization; dry friction; gap; amplitude magnification factor; nonlinear dynamics

第一作者 曾海楠 女，碩士生，1989年生

郵箱: sqcao@tju.edu.cn