頻響函數曲線擬合與模態分析精細化

董　磊， 宋漢文， 鄭鐵生

(1.復旦大學 力學與工程科學系，上海　200433； 2.同濟大學 航空航天與力學學院，上海　200092)

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頻響函數曲線擬合與模態分析精細化

董磊1， 宋漢文2， 鄭鐵生1

(1.復旦大學 力學與工程科學系，上海200433； 2.同濟大學 航空航天與力學學院，上海200092)

摘要：由于Vector Fitting (VF)將有理分式函數直接分解為部分分式和的疊加，極點(模態頻率)獲取順序依模態貢獻量由大到小排列，可保證擬合誤差隨擬合階次增大迅速收斂，故對VF方法用于模態參數辨識的可行性進行論證，優化擬合精度與計算規模，并對曲線擬合算法誤差、參數穩定性、模型定階詳細討論，實現頻響函數曲線擬合的精細化。利用已有文獻數據進行考核，并與商業算法比較。

關鍵詞：模態分析；參數辨識；頻率響應函數；曲線擬合；精細化

目前，振動模態分析與參數辨識技術已形成完整的理論體系，廣泛用于航空、航天、艦船、機械、汽車、土木等工程領域。實驗模態分析(Experiment Modal Analy-sis，EMA)中大部分頻域算法均存在曲線擬合精度的困難。隨技術學科應用推動，模態參數辨識面臨更高要求，即對曲線擬合精度精細化及對算法在不同階次的參數穩定性。

傳統頻響函數確定有理分式多項式階次及部分分式系數(即各階模態系數)擬合存在較多困難，擬合誤差過大，能達到的最小誤差亦無法滿意，嚴重影響模態參數的辨識精度。隨階次增高會使數值不穩定、計算量增大等，導致模態辨識失敗，轉而進行分段擬合，致模態密度愈高的頻響函數，辨識結果愈加下降。

算法模型階次選擇難題亦會導致模態參數篩選時強烈的人工依賴性。如正交多項式[1]、LSCE[2]等選擇不同階次下所得模態參數不具有可比性，且在擬合過程中需確定合適階次。為提高參數精確性及人工經驗在不同階次下模態挑選，除具有良好的曲線擬合精度、收斂誤差外，亦需具有良好的穩定性，即在不同階次下所得參數穩定。

Vector Fitting(VF)[3]原用于解決電力傳輸模型中頻率響應函數擬合，現已得到改進。如Relaxed Vector Fitting(RVF)[4]可提升VF算法極點重分布能力，降低初始極點選擇的重要性；Orthonormal Vector Fitting(OVF)[5-7]使擬合方程條件數得以改善，并降低迭代步數及總機時，增強算法的穩定性。Hendrickx等[8]證明VF方法為Sanathanan-Koerner (SK)迭代過程，并將原始VF與OVF統一。Deschrijver等[9]提出Relaxed Orthonormal Vector Fitting(ROVF)，同時結合RVF與OVF的優點。Grivet-Talocia等[10]用Vector Fitting with Adding and Skimming(VF-AS)算法提高數據含噪聲的收斂性并對模型階次及參數選擇設定判據。對多曲線擬合，Deschrijver等[11]采用QR分解曲線擬合方程，解決多曲線擬合時系數矩陣稀疏性及效率低下問題。Mekonnen等[12]將VF方法引入z域，建立ZD-VF方法。Grivet-Talocia等[13]將VF方法引入時域，建立Time Domain Vector Fitting(TD-VF)在時域內直接用原始激勵、響應信號進行曲線擬合。Haegeman等[14]將正交基引入時域。Moon等[15]將頻、時域數據混合擬合。Lei等[16]將VF方法用于離散時間系統參數識別。Ubolli等[17]將ZD-VF、TD-VF及ARMA方法進行比較。Lefteriu等[18]對VF方法的收斂性進行論述。

電力傳輸系統中，主要目的為提取等效模型，對參數分析、篩選并不關注。在振動模態參數辨識領域，參數辨識方法需面對更進一步誤差分析、參數篩選及模型階次規則改變。

本文簡要綜述VF方法及其主要改進，并論證各項改進在模態參數辨識中的適用性，證明VF方法基函數的最優化，構造出用于振動模態參數辨識的頻率響應函數擬合算法，并實驗及算例考核。

1Vector Fitting算法基礎

對有理函數形式的待辨識曲線，未知參數同時包含在分子、分母中，即

(1)

式中：br為極點；ar為零點；ur為留數；vr為高次項系數。

VF方法將R(s)的分子分母同除與分母同階的多項式T(s)，該多項式初始極點pr人為設定，稱極點替換函數，即

(2)

則R(s)變為

(3)

將式(3)分母乘以等式兩邊得

(4)

l2n=span(φ1(s),…φ2n(s))

(5)

于是有

(6)

(7)

原始VF方法，取基函數為

(9)

式(8)可表示為

(11)

式中：Qr(s)為r-1階多項式。

(12)

式(8)可寫為

(13)

(14)

式中：nc為曲線總數。

一般而言，方程(15)系數矩陣巨大、稀疏，計算效率低。而實際只需求出含系統極點信息的CD， Deschrijver利用QR分解為上三角矩陣，式(14)變為

(16)

方程縮減為

(17)

由此可解決多曲線擬合中效率低的問題。

(18)

2VF方法在模態參數辨識中的改進

模態參數辨識中，線性時不變系統頻響函數為有理分式多項式，取s=jω，其形式為

(19)

式中：λr為系統極點；zij,r為零點；Rij,r為留數。

若Hij(ω)為位移頻響，則m=n-1，cij=0；若為加速度頻響，則m=n，cij為常數。實際擬合中數據總在有限頻段內，因而可將模態頻率是否在數據段內分為

(20)

當數據段外模態固有頻率Re(λr)?ω，上式第二項可近似為

(21)

式(21)為一復常數項，即在位移頻響中，考慮對高頻剩余模態補償，也可用m=n模型。

將Hij(ω)代入式(8)，簡化為

(22)

式(14)簡化為

(23)

VF系統模型允許模態分析中頻響函數分子與分母有更多階次關系，因而適用范圍更廣。模態參數辨識中，擬合的數據對象可為位移頻響函數、加速度頻響函數、廣義傳遞率函數、功率譜密度函數，廣泛適用于實驗及工況模態分析。與在對極點參數篩選后才能對高頻剩余模態補償方法不同，VF在獲取極點過程中系統模型即可對剩余模態進行補償。

擬合中因存在誤差及噪聲，導致數據中存在非系統模態，而擬合非系統模態能提高曲線擬合精度及系統模態參數精度。部分系統模態能量可能小于非系統模態，故會晚于非系統模態被擬合。因此，無論擬合精度或系統模態參數完全性均要求階次高于系統模態數。由于數據信噪比及模態能量間不均衡性，系統模態可能因不符合能量準則被舍去。而若測點在某階模態節點附近，則其能量在頻響中必較小，故VF-AS據能量進行模態篩選準則并不合適，基于最小模型原則的定階準則對密集模態辨識也極為不利。

(24)

(25)

為進一步提高矩陣正交性改善擬合方程條件數，將正交基的內積空間定義在數據頻段(ω1,ω2)上。因數據的離散化，內積定義為

(26)

(27)

無論OVF對基函數理論正交化或基于式(26)的數值正交化，實質上均對矩陣方程(24)的不完全正交化，而QR分解則對式(24)整個矩陣完全正交化。

考慮算法及實際編程的統一性， RVF加QR分解算法在精度、效率上最優，稱為Relax QR Vector Fitting，此為本文所用最終實現算法。

3實驗考核

為考核VF方法的辨識精度及穩定性，本文采用加拿大RADARSAT-I衛星實驗模態數據[19]進行分析。該數據頻響曲線復雜、模態豐富密集，在49～52 Hz頻段內有10個密集模態[20]，辨識難度較高，見圖1。實驗具體描述可從相關網站獲得，頻響中感興趣的頻段為10～64 Hz。擬合過程中，擬合頻段取0～64 Hz。由于無任何一條頻響包含所有模態，故選其中一條模態峰值豐富的單曲線顯示VF方法擬合精度及誤差收斂規律。通過多曲線擬合獲得全部模態，利用多曲線穩態圖顯示VF方法模態參數獲取能力及參數穩定性。并通過穩定模態參數提取重構頻響顯示VF方法最終的參數辨識精度。

3.1曲線擬合精度

通過嘗試，選模態豐富的nsar:420+X/pms:217-X曲線演示VF方法曲線擬合所達精度及誤差隨階次變化規律。VF方法選擇各種初始極點魯棒性較好。為更好符合實際系統，初始極點選共軛復極點，虛部均勻分布于擬合頻段，實部為負數，大小為虛部的1%。取階次100的擬合曲線見圖2。由圖2看出，VF方法曲線擬合能力較強，無需對頻段分段擬合下可獲得高精度擬合效果，一次性得到曲線中所有模態。

圖1 復雜且模態密集的頻響函數Fig.1ComplexFRFSwithcloselyspacedmodes圖2 nsar:420+X/pms:217-X曲線擬合精度Fig.2FittingPrecisionofFRFnsar:420+X/pms:217-X圖3 nsar:420+X/pms:217-X曲線擬合誤差Fig.3ErrorchartforincreasingmodelorderofFRFnsar:420+X/pms:217-X

實驗中大多采用加速度傳感器，所得為加速度頻響函數。而VF可用分子與分母具有相同階次多項式模型進行擬合，即VF方法可采用更精確的頻響函數模型。且分子分母具有相同階次模型不僅更符合加速度頻響模型，更可對高階剩余模態進行補償。

3.2參數穩定性討論

曲線擬合精度為模態參數辨識基礎，高質量曲線精度能保證參數辨識精度。參數篩選則依賴算法參數的穩定性。模態參數辨識中，穩態圖為最有效的模態參數篩選工具。為提取模態參數，需設定判據對模態穩定性判別。對模態穩定模態判定指標為頻率誤差0.2 Hz，阻尼、模態能量誤差10%。

曲線穩態見圖4。由圖4看出，VF方法參數提供的穩定模態分布清晰直觀。隨模型階次增加峰值處模態參數不僅與前一階次保持誤差范圍內的穩定性，且在模型階次遍歷過程中均有一致穩定性，在模型階次提高過程中不存在偏移。

表1為據圖4提取的49～52 Hz頻段內密集模態處參數。可見，無論階次低于獲高于系統模態數時，VF方法所得參數均具有較高統一性。不因模型階次不同而不穩定。在此條曲線上未含全部10個密集模態。

表1　不同階次頻段模態參數對比

VF方法在峰值附近的模態密度明顯大于其它頻率處。圖5為單曲線的局部放大圖，可見單曲線模態峰值周圍模態密集處數據中誤差形成的數值模態也有穩定性。如15～16 Hz頻段出現4個穩定模態，但僅最早出現的15.617 Hz模態為系統模態。

圖4 單曲線穩態圖Fig.4Stabilizationdiagramsobtainedbysinglecurvefitting圖5 單曲線穩態圖局部Fig.5Localamplificationofstabilizationdiagramsobtainedbysinglecurvefitting圖6 多曲線穩態圖Fig.6Stabilizationdiagramsobtainedbymulti-curvefitting

系統模態與數值模態參數見表2。由表2看出，模態密集處真實系統模態較數值模態在留數上有數量級的差別，因數值模態與系統密集模態不同。與系統密集模態不同的另一點即密集在峰值附近由曲線中獨有誤差形成的穩定模態不具有普遍性，多曲線擬合時會消失。誤差在不同曲線間存在差異性，會造成單曲線擬合精度高于多曲線。數值模態穩定出現說明VF方法曲線精度較高。

表2　系統模態與數值模態參數

由多曲線擬合所得整體模態穩態圖見圖6。由圖6看出，VF多曲線擬合的模態參數仍保持高度穩定性，該穩定性能極大減小模態參數選擇難度及經驗的依賴性，提高模態篩選過程中客觀化程度，甚至為進一步自動選擇奠定良好基礎。

3.3模態參數挑選

由于VF方法擬合誤差的收斂性及模態參數穩定性，利用VF方法進行模態參數辨識不再依賴模型階次的確定。擬合誤差穩定后穩定模態基本不再變化。可從其中挑選一個階次的參數，或取多個階次的平均值。

利用穩態圖對系統模態參數篩選后，用所得模態頻率、阻尼進行線性擬合，獲得最終重構頻響函數用以顯示VF方法最終所達曲線精度及參數精度。模態參數取120～140階次的平均值。重構頻響見圖7。由圖7看出，無論幅值或相位均達到較高精度，表明不穩定模態在能量上較小。

圖7　nsar:420+X/pms:217-X重構頻響Fig7 FRF of nsar: 420+X/pms: 217-X Synthesized from the Identified Modal Parameters

3.4與PloyMAX結果對比

PloyMAX算法具有較高的辨識精度及穩定性。原理如下：

對具有No個輸出、Ni個輸入系統，其頻響矩陣H(ω)∈CNo×Ni可表示為

H(ω)=B(ω)A-1(ω)

(28)

B(ω)∈CNo×Ni，A(ω)∈CNi×Ni分別為

(29)

式中：Ωr(ω)=exp(-iωΔtr)為基函數；Δt為采樣間隔；n為模型階次；Ar，Br為矩陣多項式系數。

通過對式(28)右乘 A(ω)進行線性化處理，利用最小二乘法求解系數矩陣。在求出分母多項式系數Ar基礎上對擴展矩陣進行SVD分解，可得極點及模態參與因子，即

(30)

將49～52 Hz頻段的VF結果與PloyMAX算法對RADARSAT-I衛星辨識結果對比，見表 3。由表3看出，VF方法與PolyMAX算法精度相同。

表3　模態參數對比

4結論

通過將VF方法用于模態參數辨識，對其各種改進進行綜合并據模態分析需要進行分析取舍，確定RVF及結合QR分解精度、效率的最優性；并對模態參數辨識中曲線精度、擬合誤差、參數穩定性及參數篩選深入分析，對含多個密集模態的衛星數據進行辨識并與頂尖商業算法對比，驗證VF方法模態辨識能力。結論如下：

(1) 采用分子分母相同階次模型能更符合加速度頻響模型，獲取極點過程中即可補償高頻剩余模態。

(2) VF方法無需劃分頻段，即可對曲線進行一次性擬合，從而能減小工作量及劃分不當導致參數穩定性、精度下降。

(3) 隨模型階次增加誤差迅速收斂，不會因模型階次選擇不當導致曲線精度下降。

(4) 無論低、高階次下所得參數均穩定，從而能減小對模型階次的依賴性，提高模態參數準確性、確定客觀化及選擇速度。

(5) VF方法可面對復雜的頻響特性，實現精細化擬合的同時降低人工操作依賴性，增強客觀化，為曲線擬合及模態參數辨識的新方法。

參 考 文 獻

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基金項目：國家自然科學基金(11272235)

收稿日期：2015-01-04修改稿收到日期：2015-02-03

通信作者宋漢文 男，教授，博士生導師，1961年生

中圖分類號:O321;O327

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.02.012

Refinement of FRFs curve fitting and modal analysis

DONG Lei1, SONG Han-wen2, ZHENG Tie-sheng1

(1. Department of Mechanics and Engineering Science, Fudan University, Shanghai 200433, China; 2. School of Aerospace Engineering and Applied Mechanic, Tongji University, Shanghai 200092, China)

Abstract:In conventional orthogonal polynomial algorithms which are most widely used in modal analysis, the best model order is usually defined with the consideration of the existence of the noise modes. Unfortunately, the minimum error could not be well achieved simultaneously. Considering the numerical instability and the computation difficulty due to the increase of model order, the demand of dividing the frequency range into several sub-bands comes up. The vector fitting (VF) algorithm was introduced to decompose the rational function by taking common set of partial fractions as basis functions, and the acquisition order of the modes was arranged according to the modal energy, to ensure the fast convergence of VF algorithm. Then, the parametric stability of the partial fractions and the numerical stability can be attained with the increase of the model order. In the paper, a brief review of VF was presented and the feasibility of VF in modal analysis was demonstrated. The refinement of the FRFs curve fitting was completed through a fine disposal of deviation analysis, parametric stability and order selection. An aerospace case study was carried out to verify the effectiveness of the algorithm and the results were compared with those by another algorithm.

Key words:modal analysis; parameter identification; FRFs; curve fitting; refinement

第一作者 董磊 男，博士生，1985年生