薄壁結構件銑削加工振動穩定性分析

蔣宇平， 龍新華， 孟　光

(上海交通大學 機械與動力工程學院振動、沖擊、噪聲研究所，上海　200240)

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薄壁結構件銑削加工振動穩定性分析

蔣宇平， 龍新華， 孟光

(上海交通大學 機械與動力工程學院振動、沖擊、噪聲研究所，上海200240)

摘要：針對如何考慮刀具與工件相互耦合作用及加工位置對系統穩定性影響，通過對切屑厚度、銑削力建模，建立薄壁件銑削系統動力學模型，考慮薄壁件銑削穩定性受銑削位置影響，獲得以軸向銑削深度、轉速、銑削加工位置為參數的三維穩定性圖。通過對曲面圖分析，可確定在不同主軸轉速、不同銑削區域內薄壁件各模態對銑削穩定性影響。通過時域模擬分析加工位置對系統失穩機制影響，揭示穩定銑削與不穩定銑削、不同模態在不穩定銑削時銑削力、銑削位移的變化規律。

關鍵詞：銑削；穩定性；時變剛度；薄壁件

整體薄壁結構件具有重量輕、強度高、動力性能好等優點廣泛用于航空、電子、模具等工業領域。而因其壁薄、剛度低，加工中易發生顫振。如何在提高加工效率的同時控制刀具、工件的相對振動，避免顫振一直為研究熱點。對普通銑削加工，Tobias等[1-2]提出基于2D穩定性圖的切削顫振避免方法。Sridhar等[3]用周期系數時滯微分方程組描述銑削過程動力學行為，并用擴展Floquet理論對方程組進行數值求解，確定穩定性圖。Insperger等[4]提出基于Floquet理論的半離散銑削系統穩定性分析方法。丁燁[5]利用全離散法分析銑削穩定性及動態加工誤差，并用二階全離散法提高收斂性。對薄壁件，復雜薄壁類零件剛性差，數控加工時因銑削力等因素易變形，加工精度難以控制；而加工位置及材料去除對加工系統動態特性影響不可忽視。加工中引起薄壁件本身動態特性改變為評估穩定性難點，即銑削中工件剛度較低區域會極大影響銑削特性，銑削穩定性不在于簡單決定主軸轉速、臨界銑削深度，而與銑削區域、工件各模態密切相關。Adetoro[6]用頻率法分析薄壁銑削穩定性，并用表面加工質量實驗進行對比。Bravo等[7-9]假設每一加工過程動態特性恒定，不同加工過程動態特性各不同，并據此研究薄壁件的銑削穩定性,建立薄壁件三維穩定lobe圖。Tang等[10]用頻率法建立關于轉速及徑向、軸向切深的三維穩定圖。

本文以薄壁梁銑削精加工為例，忽略材料去除影響、考慮薄壁結構件不同位置剛度變化，建立具有多模態、變動態特性的銑削加工系統動力學模型，分析薄壁結構件銑削加工穩定性及失穩機制。

1薄壁梁銑削模型建立

1.1薄壁銑削模型

為研究薄壁件的銑削加工振動問題，以圖1薄壁梁為研究對象，梁長0.3 m，寬0.04 m，厚0.01 m。彈性模量70×109Pa，密度2 700 kg/m3。因梁的縱向振動固有頻率遠大于橫向振動前幾階，振幅遠小于橫向，故可忽略不計，薄壁梁橫向振動微分方程為

(1)

式中：Fy(x,t)為工件位置x處、t時刻橫向切削力；E為彈性模量；I為慣性矩；ρ為密度；A為固支梁橫截面積。

圖1　薄壁件銑削示意圖Fig.1 The structural sketch for thin-walled milling

1.2動態切削力

據斜角切削模型建立簡化的切削力公式，切削力與切屑厚度成正比例關系，得

(2)

式中：kt為切向切削力系數；Kn為法向切削力系數與徑向切削力系數之比；η為螺旋角；φn刀齒背面角；μ為切屑與刀齒摩擦系數；Fn為切削刃法向剖面徑向力；Fc為切削刃法向剖面切向力；Fμ為垂直于平面摩擦力。

考慮薄壁件的弱剛性，刀具設為剛體,且只考慮y向振動，瞬時切屑厚度h為

h=flτsinθ(t,i,z)+

[y(t)-y(t-lτ)]cosθ(t,i,z)

(3)

式中：f為每齒進給量；τ為切削周期；l為考慮多重再生效應的時滯系數；θ為刀齒方位角。

為確定作用于薄壁件的動態切削力F(x,t)(圖2)，將螺旋圓柱立銑刀沿z軸離散成長度為Δz的微元段，每個微元段受力見圖2(b)。

圖2　微元銑削力Fig.2 Micro-unit milling force

第i個齒在切向、徑向及軸向的動態切削力為ΔFti，ΔFri，ΔFzi，即

(4)

據微元刀具坐標與全局坐標關系，作用于微元沿y向的力為

(5)

整理式(4)、(5)得

(6)

(7)

將式(3)代入式(6)，整理得

(8)

(9)

將式(9)沿軸向積分，得單個刀齒y向的力為

(10)

對所有刀齒切削力求和可得作用于刀具沿y方向的力Fy(t)，即

(11)

式中：K1，K2為刀具動態切削剛度系數。

展開上式，瞬時銑削力為

Fy(t)=K2y(t)-K2y(t-lτ)+K1lfτ

(12)

1.3模態參數

利用模態分解法，梁的橫向振動可寫為

(13)

式中：Wr(x)為第r階固有振型函數，即

Wr(x)=Cr[sinh(βrx)-sin(βrx)+

αr(cosh(βrx)-cos(βrx)]

(14)

(15)

(16)

而Fy(x,t)=δ(x-vt)Fy(t)，設在t時刻銑削位置為x=xt，Fy(x,t)=δ(x-xt)Fy(t)，將式(15)、(16)代入式(1)，利用振型函數正交性，得

(17)

式中：L為工件長度。

對兩端固支梁，用標準化陣型函數表達式，即Cr=1；則任意階模態質量為

(18)

任意階模態力為

(19)

將式(18)、(19)代入式(17)，簡化為

(20)

進行拉普拉斯變換，即

(21)

式中：Qr(ω)為廣義位移幅值；Fr(ω)為廣義力幅值。

(22)

引入比例阻尼系數ζ，其頻響函數為

由此獲得切削點x1處第r階等效質量mer、等效剛度ker及等效阻尼cer為

(23)

1.4銑削動力學方程

薄壁件在低轉速下由于剛度較低及時變的動態特性，極易發生顫振；而高速銑削加工時高階模態激勵影響會使振動更復雜?？紤]工件橫向振動前兩階模態，振動位移為y(xt,t)=W1(xt)q1(t)+W2(xt)q2(t)。其中{W1，W2}為對應第一、二階模態陣型；q=[q1q2]為工件第一、二階模態坐標向量。系統振動方程為

(24)

式中：F1，F2為等效模態參數的廣義力。

將銑削力表達式(12)代入上式，整理獲得薄壁件前兩階模態的動力學方程為

(25)

式中：

以上銑削動力學方程屬于變剛度的時滯微分方程，無解析解，只能通過數值方法進行時域仿真。在一個迭代步長內，延遲項由于已在上一周期內求得，因此式(25)右端項可視為常數項。將變時滯微分方程在每個迭代步長內轉化為普通的常微分方程，并通過龍格庫塔格式求解。

薄壁銑削中工件剛度始終在變化，故時域仿真中需不斷更新等效模態參數，以獲得刀具、工件接觸點的振動位移及銑削力。隨接觸點移動，近固支點處，工件因中間剛度較小，振動位移逐漸增大。

2時域模擬

由于薄壁銑削過程中工件剛度較低，刀具相對工件可視作剛體。刀具幾何、銑削力參數見表1。銑削加工、工件模態參數見表2、3。薄壁件橫向振動等效剛度變化范圍較大，不考慮材料去除即認為固有頻率不變情況下固支梁兩端不存在彈性變形，剛度無窮大，中間剛度較小，極易發生顫振。表3的模態參數表示在0.01～0.29 m之間等效剛度、質量變化范圍。

表1　刀具參數

表2　銑削加工參數

表3　模態參數

在6 000 r/min下穩態、非穩態薄壁梁銑削時域模擬見圖3。圖3(a)中深色為工況1，即軸向銑削深度(adoc)為0.1 mm時工件橫向振動；淺色為工況2，即軸向銑削深度為0.22 mm時工件橫向振動。兩種工況下振動位移均遠低于0.1 mm。圖3(c)、(d)為工況2時銑削力及頻譜分析。此時銑削力作為周期力激勵， 呈

鋸齒狀。頻譜主要為齒頻(TPF)及倍頻成分，因而軸向切深0.22 mm處為穩定切削。軸向切深繼續增大至0.25 mm時(圖3(b))，工件的橫向振幅在中間較快達到0.1～0.15 mm。圖3(e)、(f)為軸向切深0.25 mm的時域模擬頻譜分析。當進給達到0.137 2 m時開始呈非周期運動的不穩定狀態，但在0.168 2 m時不穩定狀態開始消失，且消失位置與出現位置并未關于中間點對稱，不穩定狀態出現稍有延遲。圖3(f)中不穩定狀態已開始激發出多種顫振頻率成分，先出現在工件第一階固有頻率附近的顫振頻率(fcw)即由工件第一階固頻激發。當軸向切深緩慢增大至0.26 mm時，工件中間區域振幅急劇增大，而不穩定狀態區域從中間向其它位置緩慢擴散。受限較低剛度，中間會嚴重降低整個薄壁件銑削加工的穩定極限切深。

3穩定性分析

為確定銑削系統穩定性，利用Floquet理論通過單個切削周期的狀態轉移矩陣特征值判斷，即所有特征值的模小于1時系統穩定。對時滯系統因其具有無窮維即無窮多個特征值，故實際分析中多采用離散法，將無窮維系統離散成有限維系統，考慮利用有限維系統近似無限維系統所致誤差，本研究采用數值積分進行時域分析，利用龐加萊截面判斷系統時域的穩定性。對穩定的周期運動，龐加萊截面在相圖上表示為有限個點；對失穩的準周期運動或其它運動形式，龐加萊截面在相圖上由密集點形成一條閉合曲線或不規則分布點。

選表2中編號為2、3的加工參數，工件中間點等效剛度、質量作為模態參數進行時域模擬。軸向切深為0.22 mm、0.25 mm的時域模擬見圖4，可見工件在adoc=0.22 mm時處于穩定狀態，為0.25 mm時處于不穩定狀態。其相圖見圖5，其中y(t)，v(t)分別為t時刻位移及速度，y(t-τ)為上周期振動位移。截取平面y(t-τ)=0，則龐加萊截面見圖6。軸向切深為0.22 mm時，龐加萊截面收斂于一點，系統處于穩定狀態；軸向切深增大至0.25 mm時呈不規則閉合曲線，系統處于不穩定狀態。

圖4 時域模擬Fig.4Timedomainsimulation圖5 相圖Fig.5Phasemap

圖6　龐加萊截面Fig.6 Poincare section

銑削加工基于時域仿真的穩定性可由周期取樣后相圖判斷。系統相圖中最大位移、速度分別為S1、V1，最小位移為S2、V2；龐加萊截面的點通過齒周期采樣獲得，該截面最大位移、速度分別為s1、v1，最小位移、速度為s2、v2，則時域模擬的穩定性條件為

(27)

式中：α，β為比例常數，據要求取較小值。

當式(27)兩條件同時成立時，判定系統穩定。選表1、表3中刀具、工件參數，切入角為120°，切出角180°，每齒進給量0.102 mm，建立三維穩定域圖見圖7。其中圖7(a)為僅考慮第一階模態的三維穩定圖。由該圖看出，臨界銑削深度不僅與轉速相關，亦與加工點位置相關。第一階模態剛度在梁的兩端最大，中間最小，導致在給定轉速下臨界銑削深度近兩端處較大，中間最小。圖7(b)為僅考慮第二階模態的三維穩定圖。由該圖看出，第二階模態剛度在兩端及中間均較大，因此在三處附近臨界銑削深度較大，但在0.75L及0.25L處模態剛度較小，表明臨界銑削深度較小。圖7(c)為考慮前兩階模態的三維穩定圖。比較圖7(d)，(e)，(f)等高線圖看出，瓣圖形狀主要由第一階模態決定，第二階模態會在局部使瓣圖變形。

圖7　三維穩定lobe圖Fig.7 Three dimensional stability lobe diagram

為更好顯示不同模態對銑削穩定性影響，不同模態主導的穩定性區域見圖8。其中深色區域為第一階模態占主導作用，一階模態臨界切深低于二階模態臨界銑削深度，淺色區域為第二階模態占主導作用。由圖8看出，大部分參數區間(轉速與加工點)的臨界銑削深度第一階模態起決定作用，與研究銑削穩定性時只考慮工件一階模態相符。第二階模態在剛度較低(0.25L，0.75L)處附近，切削頻率為一階模態固有頻率的1倍(轉速8 715 r/min)、1.5倍(13 072 r/min)及3倍(26 145 r/min)附近起主導作用。此因在該轉速附近一階模態臨界銑削深度較大。

銑削過程影響非線性最明顯的為徑向切深產生的銑削力斷續變化，尤其當徑向切深占比在5%以下時，呈現完全不同的失穩機制。而在固支梁不同位置，由于剛度變化也會呈不同的失穩方式。圖9(a)為中間分岔形式，其中轉速8 000 r/min，切入角170°，切出角180°。由于剛度較低，且徑向切深較小，銑削力因不連續切削導致非線性作用較強烈，因此在兩種因素共同作用下產生分岔形式即倍周期分岔。圖9(b)為在相同條件下0.4L處分岔圖，代表固支梁大部分銑削位置的分岔形式，即Hopf分岔。

圖8 第一、二階模態主導穩定區域Fig.8Thefirstandsecondmodaldominantstablearea圖9分岔圖(轉速8000r/min)Fig.9Bifurcationdiagram(8000r/min)

4結論

針對薄壁梁模型引入等效剛度，對銑削加工過程進行等效時變剛度的時域模擬；通過綜合運用龐加萊截面判斷銑削時域模擬過程中的穩定性，研究不同階模態對銑削顫振區域影響；分析薄壁梁模型在不同加工位置失穩機制及非線性特征，結論如下：

(1) 柔性工件在高速銑削狀態下須考慮高階模態影響。薄壁梁銑削的三維穩定域主要由第一階模態決定，第二階模態僅在局部改變瓣圖；第一階模態主要在低頻占主導作用，第二階模態主要在高頻及工件兩端加工區域起主導作用。

(2) 低徑向切深下剛度變化會致薄壁梁銑削呈不同的失穩機制。固支梁中間剛度較小，系統發生倍周期分岔；近固支點處剛度較大，非線性特征減弱，系統呈Hopf分岔。

參 考 文 獻

[1] Tobias S A, Fishwick W. The chatter of lathe tools under other cutting conditions[J]. Transactions of the ASME, 1958, 80: 1079-1088.

[2] Tobias S A, Fishwick W. Theory of regenerative machine tool chatter[J]. The Engineer, 1958,205(7):199-203.

[3] Sridhar R, Hohn R E, Long G W. A stability algorithm for the general milling process[J]. ASME Journal of Engineering for Industry, 1968, 90: 330-334.

[4] Insperger T, Stépán G. Semi-discretization method for delayed systems[J]. International Journal of Numerical Methods in Engineering, 2002, 55: 503-518.

[5] 丁燁. 銑削動力學-穩定性分析方法與應用[D].上海：上海交通大學,2011.

[6] Adetoro O B. Numerical and experimental investigation for stability lobes prediction in thin wall machining[J]. Engineering Letters, 2009, 17(4):EL_17_4_07.

[7] Bravo U, Altuzarra O, Lopez deLacalle L N, et al.Stability limits of milling considering the flexibility of the workpiece and the machine[J]. International Journal of Machine Tools and Manufacture,2005,45(15): 1669-1680.

[8] Thevenot V, Arnaud L, Dessein G. Influence of material removal on dynamic behavior ofthin walled structure in peripheral milling[J]. Machining Science and Technology, 2006,10(3): 275-287.

[9] Mane I, Gagnol V, Bouzgarrou B C, et al.Stability-based spindle speed control during flexible workpiece high-speed milling[J]. International Journal of Machine Tools & Manufacture, 2008,48(2):184-194.

[10] Tang A, Liu Z. Three-dimensional stability lobe and maximum material removal rate in end milling of thin-walled plate[J].The International Journal of Advanced Manufacturing, 2009,43(1/2):33-39.

基金項目：國家重點基礎研究發展計劃(973)項目(2011CB706803);國家自然科學基金(11172167)

收稿日期：2014-11-19修改稿收到日期：2015-01-07

通信作者龍新華 男，博士，教授，1972年生

中圖分類號:TH212；TH213.3

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.02.008

Stability analysis for thin-walled milling processes

JIANG Yu-ping, LONG Xin-hua, MENG Guang

(Institute of Vibration, Shock, and Noise, School of Mechanical Engineering, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China)

Abstract:For the milling of thin-walled structure, the effect of interaction between workpiece and tool and the position depended stiffness of workpiece can’t be ignored. The models of milling force and chip thickness were built and then the governing equations of motion of the dynamic system were presented. A time-domain simulation was issued to investigate the stability and a three dimensions stability surface was obtained in the space of spindle speed, cutting position, and axial depth of cut. The effects of vibration modes on the stability of milling processes, which is dependent on the workpiece position and spindle speed, were discussed and the position dependent mechanism of instability was explored.

Key words:milling; stability; time varying stiffness; thin-walled structure

第一作者 蔣宇平 男，碩士生，1990年生