簡諧荷載作用下組合梁動滑移響應分析

侯忠明， 夏　禾， 張彥玲， 王元清

(1. 中冶建筑研究總院有限公司，北京　100088； 2. 北京交通大學 土木建筑工程學院，北京　100044；3. 石家莊鐵道大學 土木工程學院，石家莊　050043； 4. 清華大學 土木工程系，北京　100084)

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簡諧荷載作用下組合梁動滑移響應分析

侯忠明1,4， 夏禾2， 張彥玲3， 王元清4

(1. 中冶建筑研究總院有限公司，北京100088； 2. 北京交通大學 土木建筑工程學院，北京100044；3. 石家莊鐵道大學 土木工程學院，石家莊050043； 4. 清華大學 土木工程系，北京100084)

摘要：由于組合梁在外力作用下鋼梁與混凝土板之間會發生相對滑移，進行結構受力計算時須考慮滑移所致影響，基于組合梁基本動力理論，獲得集中簡諧荷載作用下組合梁撓度響應表達式，據撓度、滑移微分方程獲得動滑移響應表達式。經一系列數學變換使動滑移響應表達式的靜態分量部分滿足級數求和條件。對比分析理論與實測結果表明，二者吻合良好。可將靜滑移結果視為動滑移的特殊形式，簡諧荷載分量對組合梁有效滑移影響較小，對連接件受力性能影響較大。

關鍵詞：鋼-混組合梁；滑移響應；解析方法；動力理論；滑移共振；試驗研究

鋼-混凝土組合梁(簡稱組合梁)由抗剪連接件連接的混凝土板與鋼梁組成，此種構造方式受力性能優越，能充分利用混凝土板抗壓及鋼梁抗拉特點，廣泛用于建筑、公路、鐵路橋梁[1-2]。由于抗剪連接件的柔性，外荷載作用時混凝土板與鋼梁間會有滑移，使組合梁產生不可忽略的附加撓度，因此進行組合梁靜力計算時須考慮滑移所致影響[3]。由于該滑移的存在，較普通單一材料梁(如混凝土梁，鋼梁等)，其動力特性表現顯著不同[4-5]。

目前，關于混凝土-連接件-鋼梁動力相互作用系統研究較少，組合梁橋設計及計算仍用現行規范條款，導致設計、計算結果保守或不安全。因此，分析時變荷載作用的鋼-混凝土組合梁構件動力行為可深入揭示抗剪連接件力學特性對組合梁動力性能影響，明確界面滑移變形分布規律，為組合梁設計、計算及疲勞壽命評估提供必要的理論基礎及理論、實用價值。

與求解考慮界面滑移組合梁撓度表達式方法相同，基于鋼梁、混凝土板間力學、幾何關系推導方法為：① 通過二者相對滑移關系建立微分方程，以獲得考慮抗剪連接件柔性的組合梁撓度或滑移一般公式[6-8]。② 通過能量變分原理對組合梁各構件分設不同的縱向翹曲形函數[9]，并考慮相對滑移，用概念較明確的位移疊加法獲得不同荷載作用方式下組合梁撓度或滑移解析解[10-11]。③ 理論與數值計算相結合，通過虛功原理結合有限元先導出組合梁剛度矩陣，再進行數值計算[12]，或利用基于有限元計算的神經網絡方法分析荷載作用的組合梁撓度，給出閉合解[13]。以上幾種求解組合梁撓度或滑移方法均基于靜力理論，未涉及時變荷載影響。

本文據組合梁基本動力理論[14]求解簡諧荷載作用的組合梁滑移時程，并與測試結果對比及參數分析。

1基本分析模型及振動方程

為考慮混凝土板與鋼梁間動力相互作用關系，建立組合梁基本分析模型，即將組合梁劃分成混凝土板、鋼梁兩個子梁，見圖1。

圖1　組合梁微元示意圖Fig.1 Mechanical schematic diagram of composite beams

基于大量試驗與理論分析，合理假設：① 混凝土板與鋼梁間沒有因掀起而脫離，即二者豎向變形協調；② 考慮一般組合梁高跨比較小，故忽略轉動慣量及剪切變形影響；③ 鋼梁及混凝土板未發生大變形，均視為梁，仍符合平截面假定；④ 剪力栓釘承受的剪力沿梁長均勻分布，縱向單位長度剪切剛度為常量；⑤ 小變形時栓釘所受剪力與變形成線性。

1.1微元平衡方程

取長度為dx的一段微元，其交界面剪力可表示為QL(x)=KSδdx，并定義下標1、2分別代表混凝土及鋼梁。

(1) 豎向力平衡方程

分別考慮鋼梁與混凝土板微元的豎向力平衡，建立組合梁微元豎向力平衡方程為

(1)

式中：Q(x,t)，m(x)，c(x)分別為單位長度梁承受的剪力、質量及阻尼系數。

(2) 彎矩平衡方程

設混凝土板與鋼梁重心軸之距離為h，對兩個子梁重心軸右側分別取矩并求和，則得組合梁微元彎矩平衡方程為

(2)

式中：M(x,t)，Q(x,t)分別為梁體所受彎矩、剪力。

(3) 位移協調方程

設dx長度范圍內梁體發生豎向撓度v(x,t)時，引起的混凝土板與鋼梁間縱向相對滑移為δ，由此而引起的重心軸法向連線轉角為θ，混凝土板與鋼梁轉角為v′，由圖1可知

δ=(θ+v′)h

(3)

顯然，對長度為dx的微元，有關系式為

KSh2(θ+v′)=(EI)Cθ″

(4)

式中：θ為由混凝土板與鋼梁間相對滑移引起的重心軸法向連線轉角。

式(4)左端為dx長度組合梁滑移δ引起的彎矩，右端為dx長度組合梁滑移角θ引起的彎矩。

1.2振動方程建立

v(x,t)=φ(x)q(t)

(5)

式中：φ(x)為振型；q(t)為隨時間變化的振幅。

利用簡支直線組合梁正交及邊界條件建立其振動方程為

(6)

(7)

2時變荷載作用下簡支組合梁滑移響應

據荷載不同形式，代入各系數后可得其表達式，從而獲得組合梁響應。以簡諧荷載為例，通過求解梁撓度表達式并據位移協調關系，可得組合梁界面動滑移響應。

2.1組合梁滑移微分方程

據推導，式(3)可寫為

θ=δ/h-v′

(8)

代入式(4)，有

(EI)Cδ″-KSh2δ=(EI)Cv?h

(9)

δ″-δ/(αL2)=v?h

(10)

式中：α=(EI)C/(KSh2L2)。

δG=C1cos(ωsx)+C2sin(ωsx)

(11)

特解需據v?表達式具體形式確定。

2.2簡諧荷載下組合梁滑移響應

2.2.1集中簡諧荷載作用下動滑移

一般正弦荷載形式為

(12)

圖2　集中簡諧荷載作用下的動滑移響應Fig.2 Dynamic slip response of the composite beam under concentrated harmonic load

若簡諧荷載在組合梁某位置起穩定作用，則靜態荷載分量相當于集中力，而簡諧荷載分量會使梁呈一定規律的周期振動。據之前求解移動荷載作用下組合梁動力響應的類似方法[15]，可求出考慮滑移的承受集中簡諧荷載組合梁最終響應為

(13)

式(13)中響應表達式可利用數值方法求解，未含滑移δ項，即滑移、豎向位移表達式已解耦，且變量x為正弦形式，因此聯合式(10)可得δ(x,t)的具體表達式。令

(14)

則其響應可寫成由靜、動態分量兩部分組成形式，即

(15)

則

(16)

據以上推導可得簡諧荷載作用下等截面直線組合梁滑移時程為

(17)

2.2.2組合梁動滑移另一種形式

考慮特殊情況，即在梁固定位置作用集中荷載(p0=0，即qHn(t)=0)，式(17)可寫成

(18)

經一系列數學變換，可使以上級數符合求和條件，使原無窮級數轉換為方便計算的單個表達式。式(18)最終求和結果為

δS(x)=

(19)

(20)

此與文獻[10]推導結果完全一致。對簡諧分量引起的滑移，若不考慮阻尼影響，(ξn=0)，則式(17)可寫成

(21)

δS(0)與δH(0,t)之和即簡諧荷載作用下組合梁動滑移響應。推導均未考慮剪切變形及剪力滯影響。

2.2.3組合梁動滑移極值

(1) 動滑移極大值

對式(19)～式(21)中x求導并令其等于零，即dδS(x)/dx=0知，x=0(對式(19)、(21))或x=L(對式(20)、(21))時，組合梁動滑移值達最大。即，無論動荷載作用梁的任何位置，滑移極值總在梁端。

(22)

(23)

可見兩值之和等于梁長L。梁端出現最大滑移值時，荷載作用位置一般不在跨中，且該位置只與λ有關(只與梁材料、幾何參數有關，與荷載無關)。

(2) 動滑移極小值

令式(19)、(20)等于零，得兩關系式為

(24)

(25)

(3) 滑移共振分析

3算例分析

3.1計算結果驗證

(1) 與現有公式比較

式(19)或式(20)相當于靜荷載作用的組合梁滑移表達式。經簡單變換，與文獻[9]中式(36)及文獻[10]中式(49)、(50)一致(不考慮剪切變形及剪力滯影響)，說明本文由動力理論所得集中荷載作用的組合梁靜滑移表達式正確。因集中力導致剪力分布圖突變，表達成分段函數，故分成兩個表達式。

(2) 荷載作用于跨中的跨中滑移

(3) 荷載作用于跨中的梁端滑移

(26)

x=L時梁右端滑移為

(27)

可見，荷載作用跨中時簡支梁兩端無論靜滑移量或動滑移量均大小相等、方向相反，與試驗及有限元計算結果完全一致。

3.2理論、計算與試驗值對比分析

以荷載作用跨中為例，對簡支梁梁端滑移進行試驗研究及計算分析，并與理論結果對比分析。

(1) 模型參數

采用文獻[14]中簡支鋼-混組合梁模型。模型為箱型截面，跨度4 200 mm，梁全長4 500 mm，混凝土板長4 400 mm，寬700 mm，厚110 mm；鋼梁高200 mm，下翼緣寬500 mm，翼緣板厚8 mm，腹板厚6 mm；栓釘直徑13 mm，高50 mm。每片梁用Q235鋼材430 kg，C30混凝土0.35m3，栓釘42個(部分連接PCB，剪力連接度60%)。栓釘剛度取值原則見文獻[16-17]。

(2) 結果驗證

用三維多點協調電液伺服動態加載機在跨中加載，測點位于梁端，測試前所有梁進行預壓以消除粘結力影響。進行4種工況簡諧荷載試驗，見表1。

各工況梁端動滑移測試結果(綜合考慮理論、試驗環境及簡諧荷載影響范圍，進行80 Hz低通濾波)與理論計算結果對比見圖3。考慮梁兩端滑移值大小相等、方向相反，只給出梁左側(x=0)的理論計算結果。由圖3看出，在持續簡諧荷載作用下組合梁梁端滑移時程在平衡位置附近作正弦振動，滑移有效值為靜態分量引起的滑移值；振幅與簡諧分量大小有關，振動頻率與簡諧荷載大小一致。4種工況滑移理論值與實測較接近，但振幅有差異。原因為①理論計算時忽略阻尼作用，所得滑移振幅稍有增大，但不影響靜態分量引起的滑移數值(即平衡位置滑移)。②滑移試驗所用模型梁澆筑時混凝土與鋼梁間未涂油，粘結力、摩擦力對測試結果有一定影響，且施加動荷載大小、頻率對抗剪連接件變形也有一定影響。

表1　簡諧荷載試驗工況設置

圖3　加載穩定后梁跨中豎向速度響應及梁端滑移響應Fig.3 The responses under stable impact load

3.3參數分析

以工況4為例，對簡諧荷載作用梁跨中、滑移最大及零位置的整梁滑移時程及組合梁滑移共振進行分析，未考慮阻尼影響。

(1) 荷載作用于跨中時滑移分布

對簡諧荷載作用于組合梁跨中的整個梁滑移時程進行理論計算，研究界面滑移沿梁長分布規律，見圖4。由圖4看出，在跨中及梁端，梁的滑移量分別為零及0.226 mm，振幅為0.078 mm，頻率與加載簡諧荷載一致，均為3 Hz。在時變荷載作用下，某時刻沿梁長滑移分布規律與靜力荷載作用狀況類似，此時跨中滑移量始終為零；當趨向梁端時，靜態滑移量與簡諧滑移振幅均隨之增大。

圖4　集中簡諧荷載作用跨中時組合梁滑移響應時程分布Fig.4 The distribution diagram of dynamic slip responses for the composite beam under midspan concentrated harmonic load

由時間分布知，簡諧分量作用的組合梁滑移仍按正弦規律振動，其引起的動滑移量與荷載振幅、周期與簡諧荷載作用頻率相同，且隨簡諧荷載振幅增加，其數值可能超過靜態分量引起的滑移。

(2) 滑移最大時分布

圖5　滑移響應最大時滑移響應時程分布Fig.5 The distribution diagram of maximum dynamic slip responses for the composite beam under concentrated harmonic load

(3) 滑移為零時分布

圖6　荷載作用位置與零滑移位置關系曲線Fig.6 The relationship curve between the positions of the load and non-slip

(4) 滑移共振分析

圖7　組合梁滑移共振響應曲線Fig.7 The resonant response curve of the dynamic slip for composite beams

4結論

基于組合梁基本動力理論獲得集中簡諧荷載作用的簡支組合梁撓度解析解；據撓度、滑移微分方程獲得動滑移響應表達式；經數學變換使動滑移響應表達式靜態分量部分滿足級數求和條件。通過理論與實測結果對比分析，結論如下：

(1) 與撓度響應結果相同，時變荷載作用的組合梁動滑移方程仍為二階常系數微分方程，且解的形式與撓度響應表達式形式有關。

(2) 組合梁靜滑移可視為動滑移的特殊形式。動滑移表達式靜態分量部分可通過數學求解使其滿足級數求和條件，簡諧荷載分量對組合梁有效滑移量影響較小，振幅可能超過靜滑移量。

(3) 無論豎向荷載作用在梁的任何位置，最大滑移均發生在梁端，即近荷載作用位置一端；梁端最大滑移發生時荷載作用位置不在跨中，該位置僅與梁的幾何、材料特性有關。

(4) 除荷載作用跨中、梁端外，滑移量為零的位置不與荷載作用位置重合。荷載作用位置移進梁跨時零滑移位置迅速出現在距梁端一定距離處，該距離僅與荷載作用位置、梁的幾何與材料特性有關。

(5) 簡諧荷載作用頻率等于組合梁固有頻率時組合梁體系與荷載發生共振。無阻尼體系共振時穩態反應趨于無窮大，導致連接件破壞。

參 考 文 獻

[1] Taly N. Design of modern highway bridges [M]. New York: McGraw-Hill Companies, Inc, 1998.

[2] Galambos T V. Recent research and design developments in steel and composite steel-concrete structures in USA[J]. Journal of Constructional Steel Research, 2000(55): 289-303.

[3] 張曄芝. 高速鐵路連續結合梁的響應分析[J]. 鐵道學報, 2002, 24(6): 84-88.

ZHANG Ye-zhi. Analysis on responses of continuous composite beams in high-speed railways [J]. Journal of the China Railway Society, 2002, 24(6): 84-88.

[4] 蔣麗忠,丁發興,余志武. 鋼-混凝土連續組合鐵路橋梁綜合動力性能試驗研究[J]. 中國鐵道科學,2006,27(5):60-65.

JIANG Li-zhong, DING Fa-xing,YU Zhi-wu. Experimental study on the integrated dynamic behavior of continuous steel-concrete composite girders of railway bridges [J]. China Railway Science, 2006, 27(5): 60-65.

[5] Huang C W, Su Y H. Dynamic characteristics of partial composite beams [J]. International Journal of Structural Stability and Dynamics, 2008, 8(4): 665-685.

[6] 聶建國,沈聚敏,袁彥聲. 鋼-混凝土簡支組合梁變形計算的一般公式 [J]. 工程力學, 1994, 11(1): 21-27.

NIE Jian-guo, SHEN Ju-min,YUAN Yan-sheng. A general formula for predicting the deflection of simply supported composite steel concrete beams with the consideration of slip effect [J]. Engineering Mechanics, 1994, 11(1): 21-27.

[ 7] 蔣麗忠,余志武,李佳. 均布荷載作用下鋼-混凝土組合梁滑移及變形的理論計算[J]. 工程力學, 2003, 20(2): 133-137.

JIANG Li-zhong, YU Zhi-wu,LI Jia. Theoretical analysis of slip and deformation of steel-concrete composite beam under uniformly distributed loads [J]. Engineering Mechanics, 2003, 20(2): 133-137.

[8] 劉寒冰,馬輝,劉天明,等. 豎向集中荷載作用下鋼-混凝土組合梁的解析解 [J]. 中國公路學報, 2010, 23(4): 39-44.

LIU Han-bing, MA Hui, LIU Tian-ming, et al. Analytical solution of steel-concrete composite beam under vertical loads [J]. China Journal of Highway and Transport, 2010, 23(4): 39-44.

[9] 張彥玲. 鋼-混凝土組合梁負彎矩區受力性能及開裂控制的試驗及理論研究[D]. 北京：北京交通大學,2009：20-32.

[10] 周凌宇. 鋼-混凝土組合箱梁受力性能及空間非線性分析[D]. 長沙：中南大學,2005：13-26.

[11] 周勇超,李亮亮,李子青. 鋼-混凝土組合梁界面滑移效應變分法求解[J]. 長安大學學報:自然科學版, 2013, 33(1): 39-44.

ZHOU Yong-chao, LI Liang-liang,LI Zi-qing. Solution of slip effect of steel-concrete composite beam with variational principles [J]. Journalof Chang’an University: Natural Science Edition, 2013, 33(1): 39-44.

[12] 曾興貴,周東華,李龍起,等. 組合梁界面滑移的計算分析 [J]. 工程力學, 2013, 30(6): 162-167.

ZENG Xing-gui, ZHOU Dong-hua, LI Long-qi, et al. Calculation and analysis of interface slip of composite beams [J]. Engineering Mechanics, 2013, 30(6): 162-167.

[13] Gupta R K, Patel K A, Chaudhary S, et al. Closed form solution for deflection of flexible composite bridges [J]. Procedia Engineering, 2013(51):75-83.

[14] 侯忠明,夏禾,張彥玲. 鋼-混凝土簡支結合梁基本動力特性的解析解[J]. 鐵道學報, 2014, 36(3): 100-105.

HOU Zhong-ming, XIA He,ZHANG Yan-ling. Analytical solution to the dynamic characteristics of simply-supported steel-concrete composite beams [J]. Journal of the China Railway Society, 2014, 36(3): 100-105.

[15] 侯忠明,夏禾,張彥玲. 移動荷載作用下簡支鋼-混結合梁的動力響應分析[J]. 鐵道學報, 2014, 36(5): 103-108.

HOU Zhong-ming, XIA He,ZHANG Yan-ling. Dynamic analysis on of simply-supported steel-concrete composite beams under moving loads [J]. Journal of the China Railway Society, 2014, 36(5): 103-108.

[16] Design of composite steel and concrete structures, part 1.1: general rules and rules for buildings-general rules, EN 1994-1-1 [S]. Eurocode 4, European Standard, 2007.

[17] Gattesco N. Analytical modeling of nonlinear behavior of composite beams with deformable connection [J]. Journal of Constructional Steel Research, 1999(52): 195-218.

基金項目：國家重點基礎研究計劃973項目(2013CB036203)；國家自然科學基金項目(51178025;51108281)；河北省高等學校科學技術研究項目重點課題(ZD2014025)

收稿日期：2014-09-09修改稿收到日期：2014-12-12

通信作者夏禾 男，教授，博士生導師，1951年生

中圖分類號:U441+.3

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.02.004

Analytical dynamic slip solution for steel-concrete composite beams under harmonic load

HOU Zhong-ming1,4, XIA He2, ZHANG Yan-ling3, WANG Yuan-qing4

(1. Central Research Institute of Building and Construction CO., LTD., MCC Group, Beijing 100088, China; 2. School of Civil Engineering, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China; 3. School of Civil Engineering, Shijiazhuang Tiedao University, Shijiazhuang 050043, China; 4. Department of Civil Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China)

Abstract:A relative slip will occur at the interface between steel girder and concrete slab of a composite beam when it is subjected to external loads, which should be taken into account in structural analyses. Based on the fundamental dynamic theory, an analytical deflection solution to simply-supported composite beams under concentrated harmonic load was derived, and according to the differential relationships between the deflection and slip, the dynamic slip response was obtained. The static component in the dynamic slip expression was made to meet the series summation conditions by applying a series of mathematical transformations. The theoretical results were compared with the experimental ones, showing a good agreement. The analysis results show that the static slip can be essentially counted as a special case of dynamic response, and the harmonic component has a relatively small effect on the effective slip, but a great influence on the mechanical performance of shear connectors.

Key words:steel-concrete composite beam; slip response; analytical solution; dynamic theory; slip resonance; experimental study

第一作者 侯忠明 男，博士，1982年生