彎應矩和扭應矩作用下的疲勞強度研究

念紅芬 韓文壩黃雙華(攀枝花學院，四川攀枝花 67000）

彎應矩和扭應矩作用下的疲勞強度研究

念紅芬 韓文壩1黃雙華1
(攀枝花學院，四川攀枝花 617000）

現行彈性理論不能解決軸扭轉和梁彎曲的部分不平衡問題。但“非零應矩彈性理論”證明了扭轉存在扭應矩，彎曲存在彎應矩，扭轉剪應力和彎曲正應力都不是真應力，只是相當應力，從而找到了上述不平衡問題的根源。本文用“應矩理論”修正了“應力理論”的疲勞強度公式，從而找到了工程疲勞斷裂事故產生的原因。

疲勞；循環；應力；應矩

動載荷作用下的金屬疲勞斷裂事故經常突然發生，防不勝防，給人類的生命財產造成了極大的損失。究其原因，除質量原因外，主要是現行彈性理論的關于正應力與剪應力結論有缺陷造成的。這種缺陷可以用新理論《非零應矩彈性理論》[1]加以修正。

1 和疲勞有關的新理論簡介

新理論修正了 “作用在單位面積上的力矩（彎矩和扭矩）的極限（應矩）為零[2]”的結論，證明了外力作用下的彎應矩和扭應矩為非零。而現行彈性理論認為純彎曲正應力σ為零，純扭轉剪應力τ為零，是平衡的，從而無法解決大量的彎曲和扭轉不平衡的實例。

（1）新理論推導出受扭矩Mn、直徑為D的圓軸扭轉最大扭應矩[1]為

式中：Wn——新理論下的圓軸抗扭截面模量。

（2）新理論推導出的圓軸彎曲最大彎應矩[1]

式中：WW——新理論下圓軸的抗彎截面模量。

（3）絕對靜矩：[1]

2 交變應矩下的疲勞[2]

2.1 引起金屬疲勞的原因

如圖1（a），火車軸上所受到的作用不是應力，而是彎應矩。

圖1 交變彎應矩引起疲勞

如圖1（a）所示，A點到中性軸的距離y為：

式中，r為軸的半徑；ω為角速度；t為時間。

如圖1（b）所示。而應矩理論下的彎應矩由下式[1]確定：

如圖1（c）?？梢姌嫾艿降氖墙蛔儜?，而不是交變應力。因此，受彎應矩和扭應矩作用產生的金屬疲勞不是應力引起的，而是應矩引起的。只有受拉-壓應力作用產生的疲勞，才是應力引起的。

2.2 交變應力和應矩的循環特征[3]

圖2（a）所示為按正弦變化的應力與時間t間的關系；應矩與時間t間關系如圖2（b）所示。

圖2 交變應力和交變應矩的循環特征

式中，σmax、σmin和mmaxw、mminw分別表示最大、最小應力和彎應矩。

若交變應矩（力）的mmax（σmax）和mmin（σmin）大小相等，符號相反時，如圖1（b）所示，稱為對稱循環：

應改為：

式中：σm、mm為平均應力、平均應矩；σa、ma為應力幅、應矩幅。

3 影響持久極限的因素[4]

3.1 構件外形的影響

構件上有槽、孔、缺口、軸肩，將引起應力集中、局部區域形成疲勞裂紋，使持久極限顯著降低。在對稱循環下，若以(mw－1)d或 (mn－1)d表示無應力集中的受彎或受扭光滑小試件的持久極限；(mw－1)k或(mn－1)k表示有應力集中試樣，且尺寸與無應力集中試件相同，則比值為

Kw、 Kn稱為彎曲、扭轉有效應矩集中系數。兩種理論下的有效集中系數完全相等，即

這表明應力理論給出的有效應力集中系數的曲線和表格與應矩理論完全相同，只是把圖中的材料的拉應力強度極限σb轉換成材料的彎曲強度極限mb。其中

3.2 構件尺寸的影響[4]

對稱循環下，光滑小試件與大試件的持久極限m－1、(m-)d之比

εw、εn分別稱為彎曲、扭轉尺寸系數。兩種理論的尺寸系數相同，

3.3 構件表面質量的影響[5]

兩種理論下的表面質量系數β相等，

綜合上述，對應循環下構件的持久極限為

而應力理論下的構件在對稱循環下持久極限為

式（8）將被式（7）所取代。

4 對稱循環下構件疲勞強度的計算

構件的強度條件為

式（9）將代替以下應力理論公式

把強度條件用安全系數形式表達為

式中，n為規定的安全系數，nm為工作安全系數。

把式（7）代入式（11），可得彎曲、扭轉交變應矩的強度條件為

公式（12）將取代以下應力理論的強度條件公式

圖3 對稱循環的疲勞計算實例

（1）用應力理論解。

① 計算軸在A-A截面上的最大工作應力。

若不計鍵槽對抗彎截面系數的影響，則其抗彎截面系數為

軸在不變彎矩M作用下旋轉，故為彎曲變形下的對稱循環，則

確定A-A軸面上的系數kσ、εσ、β。端銑加工鍵槽，當σb=520MPa 時，kσ=1.65，εσ=0.84，β=0.936 。將以上數據代入式（13），求得截面A-A的工作安全系數為

軸的截面A-A處滿足強度條件。

（2）用應矩理論解。

抗彎截面系數

最大彎應矩

最小彎應矩m

為等幅對稱循環。

由公式（b），碳素鋼彎應矩為

截面A-A處不滿足強度要求。

解（1）用應力理論解。

為等幅對稱循環。

查表（對應的曲線圖及表格見《材料力學》“交變應力”一章）可得，當

即應力理論下，該循環滿足強度要求。

（2）用應矩理論解。

為等幅對稱循環。

則應矩持久極限可見在應矩理論下，該循環不滿足強度要求。

對比[例1]和[例2]可知，軸徑越大，應矩理論下的疲勞安全系數越小。本文用非零應矩彈性理論，對等幅非對稱循環交變應力下的構件的疲勞強度計算和彎曲與扭轉組合等幅交變應力下構件的強度計算都進行了修正。篇幅所限，這里略。

[1]韓文壩.黃雙華.非零應矩彈性理論[M].重慶：重慶大學出版社，2013.

[2] 錢偉長.葉開沅.彈性力學[M].北京:科學出版社,1956.

[3]范欽珊.殷雅俊.材料力學[M].北京:清華大學出版社,2005.

[4](美)J.M蓋爾(James M.Gere) Mechanics of Materials[M].北京:機械工業出版社,2002.

[5][美]Pobertl.Mott.Applied Strength of Materials.重慶：重慶大學出版社，2005.

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B

1007-6344（2016）04-0347-03

[念紅芬(1974.02)，女，云南陸良人，碩士研究生,講師，攀枝花學院教師，主要從事土木工程教學科研設計工作。