非奇異環(huán)的同調(diào)刻畫

徐龍玉，胡 葵，喬 磊，萬吉湘

(1．西南科技大學(xué)理學(xué)院，四川綿陽621010; 2．四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川成都610066; 3．綿陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，四川綿陽621000)

非奇異環(huán)的同調(diào)刻畫

徐龍玉1，胡 葵1，喬 磊2，萬吉湘3

(1．西南科技大學(xué)理學(xué)院，四川綿陽621010; 2．四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川成都610066; 3．綿陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，四川綿陽621000)

引入ZP－平坦右模來刻畫左非奇異環(huán)．設(shè)R是環(huán)，右R－模N稱為ZP－平坦模，是指對任意a∈Z(RR)，有TorR1(N，R/Ra)=0;左R－模M稱為ZP－內(nèi)射模，是指對任意a∈Z(RR)，有Ext1R(R/Ra，M)=0．證明了關(guān)于ZP－平坦模的Lambek準(zhǔn)則，即右R－模N是ZP－平坦模當(dāng)且僅當(dāng)其特征模N+是ZP－內(nèi)射模．還證明了R是左非奇異環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)任意右R－模是ZP－平坦模當(dāng)且僅當(dāng)內(nèi)射左R－模的商模是ZP－內(nèi)射模．

本質(zhì)子模;ZP－平坦模;ZP－內(nèi)射模;非奇異環(huán)

1 預(yù)備知識

本文中提及的環(huán)都是帶有單位元1的結(jié)合環(huán)，所有的模都是酉模．對a∈R，用l(a)表示a的左零化子，用Z(RR)表示所有使得l(a)是R的本質(zhì)子模的元素a的集合．對右R－模N，用N+表示N的特征模，即N+=Hom(N，Q/Z)，其中Z表示整數(shù)加群，Q表示有理數(shù)加群．用l．pdRM表示左R－模M的左投射維數(shù)．

R．Goodearl［1］首先討論了左非奇異環(huán)．環(huán)R稱為左非奇異環(huán)，是指Z(RR)=0成立．相應(yīng)地，環(huán)R稱為左奇異環(huán)，是指Z(RR)=R．N．V．Dung［2］給出了左遺傳環(huán)與左非奇異環(huán)的關(guān)系，證明了R是左遺傳環(huán)，且有E(RR)是投射模當(dāng)且僅當(dāng)R是左非奇異環(huán)，且每個非奇異左R－模是投射的，其中E(RR)表示R作為左R－模的內(nèi)射包絡(luò)．T．Y．Lam［3］給出了交換環(huán)是非奇異環(huán)的等價刻畫，即交換環(huán)R是非奇異環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是約化環(huán)．在環(huán)與模范疇中，常利用平坦模與內(nèi)射模來刻畫環(huán)，如文獻［4－15］等．本文的主要目的旨在用同調(diào)的方法來刻畫左非奇異環(huán)．為此，引入了ZP－平坦右R－模的概念．通過對ZP－平坦模和ZP－內(nèi)射模展開討論，得到了左非奇異環(huán)的一個同調(diào)刻畫(見本文定理12)．

定義 1 設(shè) N是右 R－模．若對任意 a∈ Z(RR)，有，則稱N為ZP－平坦模;等價地，R是正合列．

定義2［8］設(shè)M是左 R－模，若對任意a∈ Z(RR)，有，則稱M是ZP－內(nèi)射模;等價地，HomR(R，M)→HomR(Ra，M)→0是正合列．

2 主要結(jié)果

下面只對ZP－平坦模展開討論．

例3 下面的斷語是顯然的:

1)設(shè)R是左非奇異環(huán)，則任意右R－模是ZP－平坦模;

2)設(shè)R是左奇異環(huán)，則右R－模N是ZP－平坦模當(dāng)且僅當(dāng)N是P－平坦模;

3)P－平坦(右)模顯然是ZP－平坦(右)模，反之不一定成立．例如，設(shè)R是整環(huán)但不是域，則Z(RR)=0．現(xiàn)取非零非單位a∈R，則R/aR是ZP－平坦模，但不是P－平坦模;

4)設(shè){Ni|i∈Γ}是一簇右R－模，則Ni是ZP－平坦模當(dāng)且僅當(dāng)每個Ni是ZP－平坦模．

定理4 設(shè)N是右R－摸，以下條件等價:

1)N是ZP－平坦右R－模;

2)對任意a∈Z(RR)，有正合列

3)對任意a∈Z(RR)，自然同態(tài)Na是同構(gòu)．

證明 1)?2)顯然．

1)?3)對任意a∈Z(RR)，設(shè)iR:Ra→R是包含映射，則有交換圖如下．

故μN是單同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)是單同態(tài)．又因為μN一定是滿同態(tài)，故μN是同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)是單同態(tài)，當(dāng)且僅當(dāng)N是ZP－平坦右R－模．

命題5 設(shè)A是右R－模N的ZP－平坦子模，則對于任意a∈Z(RR)，自然同態(tài)是單同態(tài)．

若N是ZP－平坦模，仍由定理4，右端的垂直箭頭是同構(gòu)．因此有μ是滿同態(tài)，故Im(μ)=Ka=K

定理6 設(shè)0→A→B→C→0是右R－模正合列．若A和C是ZP－平坦模，則B是ZP－平坦模．

證明 對任意a∈Z(RR)，由正合列即得．

定理7 設(shè)0→K→M→N→0是右R－模的正合列，其中M是ZP－平坦右R－模．則N是ZP－平坦模當(dāng)且僅當(dāng)對任意a∈Z(RR)，Ka=K∩Ma．

證明 考慮2行是正合列的如下交換圖，其中右邊2個垂直箭頭是自然同態(tài)，μ是右邊交換方圖的誘導(dǎo)同態(tài)．由定理4，中間的垂直箭頭是同構(gòu)．∩Ma．

反之，設(shè)Ka=K∩Ma，即μ是滿同態(tài)．仍由上面的交換圖知右端的垂直箭頭是單同態(tài)，從而也是同構(gòu)．故N是ZP－平坦模．

定理8 設(shè){Ni|i∈Γ}是定向集Γ上的右R－模的正向系．若每個Ni是ZP－平坦模，則也是ZP－平坦模．

證明 對任意 a∈Z(RR)，由即得．

推論9 若右R－模N的每個有限生成的子模都是ZP－平坦模，則N是ZP－平坦模．

證明 由于N都是有限生成子模的直接并，故應(yīng)用定理8即得．

定理10 設(shè)N是右R－模．若N的每個有限生成子模都包含在N的某個ZP－平坦子模中，則N是ZP平坦模．

證明 對任意a∈Z(RR)，考慮自然同態(tài)μN:N．若，則存在N的ZP－平坦子模A，使得x∈A．于是自然同態(tài)μA:A是同構(gòu)．于是在中，．由如下交換圖知在中有，故μN是單同態(tài)，從而是同構(gòu)．故N是ZP－平坦模．

下面來證明關(guān)于ZP－平坦模的Lambek準(zhǔn)則．

定理11 設(shè)N是右R－模，則N是ZP－平坦模當(dāng)且僅當(dāng)N+=HomZ(N，Q/Z)是ZP－內(nèi)射模．

證明 設(shè)N是ZP－平坦右R－模．對任意a∈Z(RR)，有0→NRRa→NRR是正合列．故有如下交換圖．由于Q/Z是內(nèi)射Z－模，故頂行是正合列．由相伴同構(gòu)定理，2個垂直的箭頭是同構(gòu)，因此有底行也是正合列．于是得到N+是ZP－內(nèi)射左R－模．

反之，設(shè) N+是 ZP－內(nèi)射模．對任意，由正合列0→Ra→R及HomZ(N，Q/Z)是ZP－內(nèi)射模知HomR(R，N+)→HomR(Ra，N+)→0是正合列．由伴隨同構(gòu)定理知

用ZP－平坦右模和Lambek準(zhǔn)則可以完全刻畫左非奇異環(huán)．

定理12 對于環(huán)R，以下條件等價: 1)環(huán)R是左非奇異環(huán);

2)任意右R－模是ZP－平坦模;

3)對任意a∈Z(RR)，Ra是RR的純子模;

4)對任意a∈Z(RR)，R/Ra是投射模;

5)對任意a∈Z(RR)，Ra是R的直和加項;

6)對任意a∈Z(RR)，Ra是投射模;

7)對任意a∈Z(RR)，Ra是有限表現(xiàn)模，且ZP－平坦右R－模的子模是ZP－平坦模;

8)對任意a∈Z(RR)，Ra是有限表現(xiàn)模，且R的每個右理想是ZP－平坦模;

9)內(nèi)射左R－模的商模是ZP－內(nèi)射模;

10)每一左R－模是ZP－內(nèi)射模．

證明 1)?2)顯然．

2)?3)設(shè)a∈Z(RR)，N是右R－模．由條件知是正合列，故Ra是RR的純子模．

3)?4)設(shè)N是右R－模．對任意a∈Z(RR)，由條件知0→Ra→R→R/Ra→0是純正合列．因此R/Ra是平坦模．由于R/Ra是有限表現(xiàn)模，故R/Ra是投射模．

4)?5)由條件，0→Ra→R→R/Ra→0是分裂的正合列，故Ra是R的直和加項．

5)?6)顯然．

6)?1)由條件，0→l(a)→R→Ra→0是分裂的正合列，故l(a)是R的直和加項．由于l(a)還是RR的本質(zhì)子模，故有l(wèi)(a)=R．因此a=0，從而R是左非奇異環(huán)．

2)+6)?(7)?(8)顯然．

8)?6)設(shè)I是R的右理想，a∈Z(RR)．由條件，I是ZP－平坦模，故由正合列0→I→R→R/I→0，有TorR2(R/I，R/Ra)TorR1(I，R/Ra)=0．又由正合列0→Ra→R→R/Ra→0，得到．因此，Ra是平坦模．由于Ra是有限表現(xiàn)模，故Ra還是投射模．

6)?9)設(shè)0→A→B→C→0是左R－模正合列，其中B是內(nèi)射左R－模．對任意a∈Z(RR)，由條件，l．pdRR/Ra≤1，因此有正合列．故，于是有C是ZP－內(nèi)射模．

9)?6)設(shè)A是任何左R－模，0→A→E→C→0是正合列，其中E是內(nèi)射模．由條件9)知C是ZP－內(nèi)射模．因此對任意 a∈Z(RR)，．因此Ra是投射模．

2)+6)?10)設(shè)M是任何左R－模．由于Ra是有限表現(xiàn)模，有

由于M+是ZP－平坦模，可得從而有，故M是ZP－內(nèi)射模．

10)?2)設(shè)N是任何右R－模．由條件，N+是ZP－內(nèi)射模．由定理11，N是ZP－平坦模．

利用環(huán)的整體維數(shù)刻畫環(huán)結(jié)構(gòu)的方式相比較，看到定理12中10)對應(yīng)的是一種廣義的半單性，而9)對應(yīng)的是一種廣義的遺傳性．這意味著若人們希冀用模的ZP－內(nèi)射分解來定義環(huán)的整體ZP－內(nèi)射維數(shù)，并以此來刻畫環(huán)的結(jié)構(gòu)，將會出現(xiàn)一種奇異現(xiàn)象，不存在這樣的1維環(huán)．無獨有偶，1984年K．N．Ho［16］定義了環(huán)R的整體有限表現(xiàn)維數(shù):

M是任何有限生成R－模}，

其中f．p．dimRM表示M的投射分解

使得P0，P1，…，Pn，Pn+1都是有限生成投射模的n的下確界．K．N．Ho［6］證明了fp．dim(R)=0當(dāng)且僅當(dāng)R是Noether環(huán)，但不存在整體有限表現(xiàn)維數(shù)為1的環(huán)．

致謝 西南科技大學(xué)博士基金(13ZX7119)對本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意．

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On a Homological Characterization of Nonsigular Rings

XU Longyu1，HU Kui1，QIAO Lei2，WAN Jixiang3

(1．College of Science，Southwest University of Science and Technology，Mianyang 621010，Sichuan; 2．College of Mathematics and Software Science，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，Sichuan; 3．College of Mathematics and Computer Science，Mianyang Normal College，Mianyang 621010，Sichuan)

Let R be a ring．A right R-module N is called ZP-flat iffor any a∈Z(RR)and a left R-module M is called ZP-injective if．It is proved that a right R-module N is ZP-flat if and only if N+=Hom(N，Q/Z)is ZP-injective．Finally，some new characterizations about the left nonsingular rings are given．A ring is left nonsingular if and only if every right R-module is ZP-flat if and only if any quotient module of an injective left R-module is ZP-injective．

essential submodule;ZP-flat module;ZP-injective module;nonsingular ring

O153．3;O154

A

1001－8395(2016)04－0514－04

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．04．009

(編輯 周 俊)

2015－02－01

國家自然科學(xué)基金(11171240)

徐龍玉(1979—)，女，講師，主要從事環(huán)與模范疇理論的研究，E－mail:xulongyu3@163．com

2010 MSC:13C10;13D07