基于螺旋理論的滑塊群驅動機構自由度分析*

張　軍

(長江師范學院機械與電氣工程學院，重慶涪陵408100)

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基于螺旋理論的滑塊群驅動機構自由度分析*

張軍

(長江師范學院機械與電氣工程學院，重慶涪陵408100)

摘要：本文研究的滑塊群驅動機構是一種比較少見的少自由度并聯機構。該并聯機構能夠實現X和Y軸的移動以及繞Z軸的轉動。運用螺旋理論分別對單個分支的約束和整個并聯機構的運動螺旋進行求解。通過螺旋理論中的互逆原理，求解出機構的約束螺旋系，從幾何的線性相關性來求解機構的自由度。通過求解約束螺旋系的最大線性無關組和剛化輸入后約束螺旋系的最大線性無關組來進行對比分析，判斷機構自由度選取的合理性。

關鍵詞:螺旋理論滑塊群驅動機構自由度約束

0引言

20世紀90年代以來，由于6自由度的并聯機構機械結構復雜，工作空間較小，運動過程控制難度較高，制造加工成本昂貴等難以逾越的弱點，并且通過對少自由度的并聯機構進行串聯或者并聯同樣可以實現6自由度機構的功能，因此，廣大機器人研究者開始將目光轉向少自由度的并聯機構[1-4]。在國內的研究者中，余順年等[5]提出一種能實現空間一個轉動、二個移動的空間并聯機構，通過對該機構的運動學正反封閉形式的建立，對其工作空間進行了分析。張志良等[6]對一種能夠實現一維平動和兩維轉動的并聯機構建立了位置方程，并求解出其的位置正逆解。張二江等[7]采用基于方位特征集的方法對即2PUS-2PRS并聯機構的自由度數目進行分析，利用矢量法運算建立了該并聯機構的位置逆解模型。

本文對一種能夠實現兩個移動和一個轉動的并聯機構進行研究，運用螺旋理論描繪出機構支鏈的運動螺旋和運動反螺旋，對機構的自由度進行計算和分析，最后對機構輸入的選取進行判別。該機構結構簡單，易于控制、運動精度高、沖擊小，在精密機床、微制造、醫療、軍工等精密微調領域有較廣泛的應用前景。

1滑塊群驅動機構構型的建立

圖1　滑塊驅動群機構三維模型

本文研究的滑塊驅動群機構主要由等邊三角形的動平臺D1D2D3和定平臺U1U2U3、以及連接兩個平臺的3條支鏈組成，每條支鏈分別由兩個移動副和一個轉動副依次相連組成，如圖1所示。其中支鏈1和支鏈2的下滑塊U1和U2的滑動軌跡相互平行，支鏈3的下滑塊U3與支鏈1和支鏈2的下滑塊U1和U2運動軌跡垂直，每條支鏈上相連的兩個滑塊運動軌跡相互垂直,即Ui的運動軌跡垂直于Bi，每條支鏈的轉動副的軸線位于與它相鄰移動副的中心并且垂直于移動副所在平面。在零位時動平臺和定平臺完全重合。

2滑塊群驅動機構自由度分析

2.1各分支運動鏈對動平臺施加的結構約束

圖2　機構運動螺旋

第一支鏈的運動螺旋系為：

(1)

第二支鏈的運動螺旋系為：

(2)

第三支鏈的運動螺旋系為：

(3)

對式(1)(2)(3)可求得該機構的約束螺旋系為：

(4)

約束螺旋表示一個力的約束，根據機構的運動反螺旋可知：該約束限制了機構沿Z方向的移動，以及X和Y軸的轉動。所以該機構的動平臺具有2個移動和1個轉動自由度。

2.2機構自由度及瞬時性分析

滑塊群驅動機構的三條支鏈分別都同時對動平臺繞X軸和Y軸的轉動進行了限制，即對X和Y軸產生約束力偶的作用，同時也對動平臺沿Z軸的移動進行了限制，即對Z軸產生約束力的作用。因此該并聯機構的公共約束λ=3，d=6-λ=3。且機構中不存在冗余約束和局部自由度，即υ=0，ζ=0。

并聯機構的自由度由Chebyshev-Grübler-Kutzbach公式[1]可得：

=3(8-9-1)+9=3

3機構輸入的選取與判別

在該并聯機構中，分別選取各個支鏈的底部Ui移動副作為驅動副，由并聯機構的輸入選取方法可知，如果該驅動副選取正確合理，則將該驅動副剛化后，該機構各個支鏈的分支螺旋系的秩為滿秩。

3.1約束反螺旋最大線性無關組

由機構的約束螺旋系可知，機構有三個公共約束，每條支鏈都分別限制了動平臺繞X軸和Y軸的轉動，以及沿Z軸的移動。用觀察法很容易看出機構的約束螺旋系是線性無關的，前面所求的機構約束螺旋系即為其最大線性無關組的基。由式(4)可知：k=3，M=3，R=3，ki=3(i=1，2，3)，其中，k為機構約束反螺旋的最大線性無關的螺旋個數；M為空間并聯機構自由度數，即M=6-k；R為選取的輸入個數；ki表示第i個分支對動平臺機構的約束數。

3.2剛化輸入約束反螺旋及無關組

由前可知，該機構的動平臺只能在三維空間中實現X軸和Y軸的移動，以及繞Z軸的旋轉運動。根據并聯機構輸入選取好壞的判據[8]：

1)選取機架副作為輸入；

2)選取機構中位置關系有特殊性的移動副作為輸入副；

3)不選擇消極的運動作為驅動副，因其不能產生相對運動。

又根據機構的原動件個數與自由度相等的原則以及以上三點判據，我們初步選取與底板連接的三個移動副作為整個并聯機構的驅動副。然后將三個運動副U1，U2，U3分別剛化。根據螺旋理論中關于反螺旋的相關知識，則就可以求出在坐標系o-xyz中各個支鏈因運動副被剛化后所增加的反螺旋個數。

第一條支鏈驅動剛化后運動螺旋為：

第一條支鏈剛化后相應的運動反螺旋為：

第二條支鏈驅動剛化后運動螺旋為：

第二條支鏈剛化后相應的運動反螺旋為：

第三條支鏈驅動剛化后運動螺旋為：

第三條支鏈剛化后相應的運動反螺旋為：

從上面三個驅動剛化后的各支鏈的運動反螺旋可知，各個支鏈對動平臺的約束反螺旋有4個，即：kRi=3。

3.3輸入的判別

又由前知，剛化后動平臺的反螺旋系A的秩為：

因此，動平臺的6個自由度均受到約束，從而失去了所有的自由度。所以這組驅動的選擇是合理的。

4結論

本文對一種滑塊驅動群機構進行了研究。運用螺旋理論通過求解機構的運動螺旋和約束螺旋對機構的自由度進行分析，及瞬時性進行了判別。通過剛化機構每條支鏈的驅動滑塊，求解剛化后機構的運動螺旋系和約束螺旋系，最后將求解約束螺旋系的最大線性無關組以及輸入剛化后的約束螺旋系的最大線性無關組進行對比分析，對輸入原動件的合理性進行判別，得出選擇三個下滑塊作為該并聯機構的驅動輸入是正確的。

參考文獻

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[2]Di Gregorio R. Analytic form solution of the direct position analysis of a wide family of three-legged parallel manipulators[J]. J Mech Des,2006,128(1):264-271.

[3]Kong X W, Gosselin C M. Type synthesis of 3-DOF PPR-equivalent parallel manipulators based on screw theory and the concept of virtual chain[J]. J Mech Des,2005,127(6):1113-1121.

[4]劉宏偉. 基于螺旋理論的少自由度并聯機構運動分析[J]. 制造業自動化，2009,31(7):101-103.

[5]余順年，馬履中．兩平移一轉動并聯機構位置及工作空間分析[J]. 農業機械學報，2005,36(8):103-106．

[6]張志良，李瑞琴，郭彥軍．一種2R1T空間并聯機構及其位置分析[J]. 機械傳動，2014,38(1):23-26．

[7]張二江，李永剛．新型四自由度并聯機構位置逆解分析[J]. 天津職業技術師范大學學報，2011,21(4):7-11．

[8]楊東超，賓洋，賈振中，趙旦譜．并聯機構驅動副的選擇[J]. 機械工程師，2007(8)13-15．

中圖分類號：TH11

文獻標識碼：A

文章編號：1002-6886(2016)03-0024-03

基金項目：長江師范學院科研資助項目(2014QN018)。

作者簡介：張軍(1987-)，男，重慶涪陵人，長江師范學院機械與電氣工程學院，工學碩士，研究方向為機電一體化技術、并聯機床。

收稿日期：2015-04-14

Analysis of the degrees of freedom of a slider group driving mechanism based on the screw theory

ZHANG Jun

Abstract:The slider group driving mechanism we studied is a relatively rare less-degree-of-freedom parallel mechanism, which can move along X and Y axis and rotate around Z axis. In this paper, we used the screw theory to solve the motion screws of a single branch and the whole parallel mechanism respectively. Using the reciprocal principle of the screw theory, we solved the constraint screws of the parallel mechanism. We also solved the degrees of freedom of the mechanism from the aspect of geometric linear correlation. By comparing the maximal linearly independent set of the constraint screws and that of the constraint screws after rigidified input, we judged the rationality of the degree of freedom to choose.

Keywords:screw theory; slider group driving mechanism; degrees of freedom; constraint