基于主動(dòng)磁軸承的切削顫振穩(wěn)定性分析及控制

喬曉利　祝長(zhǎng)生　鐘志賢

1.紹興文理學(xué)院元培學(xué)院，紹興，3120002.浙江大學(xué)，杭州，3100273.桂林理工大學(xué)，桂林，541004

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基于主動(dòng)磁軸承的切削顫振穩(wěn)定性分析及控制

喬曉利1,2祝長(zhǎng)生2鐘志賢3

1.紹興文理學(xué)院元培學(xué)院，紹興，3120002.浙江大學(xué)，杭州，3100273.桂林理工大學(xué)，桂林，541004

摘要：提出了基于主動(dòng)磁軸承的銑削顫振主動(dòng)控制技術(shù)。用有限元法分析了主動(dòng)磁軸承等效剛度與等效阻尼對(duì)銑削穩(wěn)定性區(qū)域的影響，并對(duì)銑削過(guò)程中的顫振進(jìn)行了主動(dòng)控制。結(jié)果表明:主動(dòng)磁軸承的等效剛度能夠改變電主軸轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速，但對(duì)銑削的臨界切削寬度影響很小；相反，主動(dòng)磁軸承的等效阻尼能夠較大幅度地增大銑削的臨界切削寬度，但對(duì)電主軸轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速影響不大。顫振的控制效果表明，調(diào)節(jié)主動(dòng)磁軸承的等效剛度和等效阻尼能夠減小銑削過(guò)程中顫振的振幅。

關(guān)鍵詞：電主軸；主動(dòng)磁軸承；顫振；振動(dòng)控制

0引言

磁懸浮支承技術(shù)借助內(nèi)部的電磁場(chǎng)力將轉(zhuǎn)子懸浮于定子中間，使得軸承在工作時(shí)無(wú)摩擦、不需要潤(rùn)滑、不產(chǎn)生振動(dòng)和噪聲且溫升小，最重要的是能夠通過(guò)設(shè)計(jì)和調(diào)整控制器的控制參數(shù)來(lái)實(shí)時(shí)調(diào)整磁懸浮軸承的支承剛度和阻尼，從而改變轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)特性。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)對(duì)主動(dòng)磁懸浮電主軸進(jìn)行了許多研究。例如，國(guó)外學(xué)者研制了磁懸浮軸承支承的高速磨削用電主軸，永磁型磁懸浮軸承支承的銑削電主軸(轉(zhuǎn)速高達(dá)150 000r/min)；國(guó)內(nèi)學(xué)者研制了磁懸浮的高速內(nèi)圓磨床電主軸，轉(zhuǎn)速高達(dá)60 000r/min的五自由度全電磁懸浮磨床用電主軸，高速數(shù)控磨床的磁懸浮電主軸等[1-2]。

切削過(guò)程中產(chǎn)生的振動(dòng)，尤其是顫振[3]，不僅大幅度降低機(jī)械加工的效率、損壞工件的表面質(zhì)量，還嚴(yán)重阻礙數(shù)控機(jī)床的高速化發(fā)展。自從1945年Arnold[4]發(fā)表第一篇關(guān)于顫振的報(bào)道以來(lái)，機(jī)械加工過(guò)程中的顫振一直都是人們研究的重點(diǎn)。顫振的研究主要涉及兩個(gè)方面：一是顫振的穩(wěn)定性分析與預(yù)測(cè)；二是顫振的抑制(被動(dòng)和主動(dòng))。Eynian[5]利用改進(jìn)的乃奎斯穩(wěn)定性方法對(duì)銑削過(guò)程中的振動(dòng)頻率進(jìn)行了預(yù)測(cè)；Yang等[6]借助優(yōu)化的可調(diào)質(zhì)量阻尼裝置對(duì)切削過(guò)程中的顫振進(jìn)行了抑制等。

本文在前人對(duì)顫振及磁懸浮軸承研究的基礎(chǔ)上，以銑削加工過(guò)程中的顫振為研究對(duì)象，采用有限元法研究主動(dòng)磁軸承的等效剛度和等效阻尼對(duì)銑削過(guò)程中穩(wěn)定性的影響，并在此基礎(chǔ)上對(duì)銑削過(guò)程中的顫振進(jìn)行控制。

1主動(dòng)磁軸承電主軸轉(zhuǎn)子振動(dòng)控制的工作原理

主動(dòng)磁軸承電主軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中由電磁鐵、電主軸轉(zhuǎn)子、定子及繞組構(gòu)成控制對(duì)象，并與位移傳感器、控制器、功率放大器一起組成閉環(huán)控制系統(tǒng)。主動(dòng)磁軸承電主軸轉(zhuǎn)子振動(dòng)控制原理如圖1所示。

圖1　主動(dòng)磁軸承電主軸轉(zhuǎn)子振動(dòng)控制原理圖

通過(guò)位移傳感器檢測(cè)電主軸轉(zhuǎn)子的振動(dòng)位移，將振動(dòng)位移信號(hào)輸入控制器，控制器在一定的控制策略下產(chǎn)生實(shí)時(shí)振動(dòng)控制所需的控制電流，該電流經(jīng)功率放大器放大后輸入到磁懸浮軸承的定子繞組，在磁場(chǎng)的作用下，在電主軸轉(zhuǎn)子上產(chǎn)生抑制振動(dòng)的可控電磁力，從而控制電主軸轉(zhuǎn)子的振動(dòng)。

2主動(dòng)磁軸承-柔性電主軸銑削系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型

2.1主動(dòng)磁軸承-柔性電主軸的有限元模型

圖2為主動(dòng)磁軸承-柔性電主軸簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)圖。該簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)體現(xiàn)了主動(dòng)磁軸承-電主軸銑削系統(tǒng)的主要部分，包括高速電機(jī)轉(zhuǎn)子、粗細(xì)不等的彈性電主軸軸段、主動(dòng)磁軸承、刀具等部件。沿電主軸的中心軸線可以把該簡(jiǎn)化系統(tǒng)劃分為不同粗細(xì)的軸段、主動(dòng)磁軸承、刀具等單元，各單元之間在節(jié)點(diǎn)處連接。在建立主動(dòng)磁軸承-柔性電主軸銑削系統(tǒng)有限元模型時(shí)，為了減少其階數(shù)，縮短其計(jì)算時(shí)間，進(jìn)行如下簡(jiǎn)化：將電機(jī)的轉(zhuǎn)子、刀具夾及刀具等效為各向同性的材料；忽略主動(dòng)磁軸承-柔性電主軸銑削系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)變形的影響，只考慮該系統(tǒng)的彎曲振動(dòng)；假設(shè)電主軸轉(zhuǎn)子的軸向固定，只考慮主動(dòng)磁軸承的徑向控制[7]。

1.磁軸承　2.轉(zhuǎn)子　3.電主軸　4.刀具夾　5.刀具圖2　主動(dòng)磁軸承-柔性電主軸簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)

在建立整個(gè)系統(tǒng)的有限元模型時(shí)，主軸轉(zhuǎn)子-刀具系統(tǒng)的有限元模型按照轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)理論建立，主動(dòng)磁軸承的特性以電磁力的形式施加在電主軸轉(zhuǎn)子相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)上。建模過(guò)程中以電主軸轉(zhuǎn)子的中心軸線為z軸建立oxyz坐標(biāo)系。這樣電主軸轉(zhuǎn)子在任一個(gè)截面，其位置可由軸心的坐標(biāo)x及y和截面的偏轉(zhuǎn)角θx及θy表示。主動(dòng)磁軸承-柔性電主軸銑削系統(tǒng)的有限元模型為

(1)

(2)

(3)

X=[x1θy1…xnθyn;y1θx1…ynθxn]

(4)

式中，Ma為質(zhì)量矩陣；Ka為剛度矩陣；Da為阻尼矩陣；Ga為陀螺矩陣；Ωs為電主軸穩(wěn)態(tài)工作轉(zhuǎn)速；FA為刀具與工件之間的切削力向量；Fm為主動(dòng)磁軸承徑向電磁控制力向量,分別作用于n1和n2節(jié)點(diǎn)；n為單元節(jié)點(diǎn)的總個(gè)數(shù)；下標(biāo)n1和n2為支撐單元節(jié)點(diǎn)；下標(biāo)x和y分別表示坐標(biāo)軸的x和y方向。

式(1)中的阻尼主要指由主動(dòng)磁軸承及控制器產(chǎn)生的等效阻尼和電主軸轉(zhuǎn)子的結(jié)構(gòu)阻尼。

2.2主動(dòng)磁軸承的電磁力模型

為了減小主動(dòng)磁軸承電磁力非線性因素的影響，采取差動(dòng)的電磁結(jié)構(gòu)進(jìn)行主動(dòng)電磁力模型的建立。在控制器的控制下，徑向主動(dòng)磁軸承能夠?qū)﹄娭鬏S轉(zhuǎn)子產(chǎn)生x軸正方向、x軸負(fù)方向、y軸正方向和y軸負(fù)方向4個(gè)坐標(biāo)軸方向的大小和方向可控的電磁力。根據(jù)磁極的結(jié)構(gòu)主動(dòng)磁軸承可分為C形和E形，本文以C形為例導(dǎo)出主動(dòng)磁軸承的電磁力模型[8]。

差動(dòng)控制結(jié)構(gòu)電磁軸承如圖3所示。圖3中,δ0為氣隙的長(zhǎng)度;Δx為轉(zhuǎn)子在磁極軸線方向上的偏移；α為兩個(gè)磁極間夾角的一半；I為線圈電流；i0為線圈偏置電流；F1、F2分別為正y方向和負(fù)y方向上的電磁力；Δi為控制電流。

圖3　主動(dòng)磁軸承差動(dòng)結(jié)構(gòu)

CiΔi+CxΔx

(5)

當(dāng)電磁軸承運(yùn)行在工作點(diǎn)附近的線性區(qū)域內(nèi)時(shí)，電流剛度系數(shù)和位移剛度系數(shù)可等效為常數(shù)。

2.3動(dòng)態(tài)銑削力模型

本文采用具有4個(gè)刀齒圓柱螺旋立銑刀的動(dòng)態(tài)銑削力模型。刀具的進(jìn)給方向定義為x方向，φj表示第j齒與x軸的角度位置，F(xiàn)r,j表示第j齒的徑向切削力，刀齒作用的初始角和終止角分別表示為φs和φe。立銑刀第j個(gè)刀齒的瞬態(tài)切削力可表示為[9-10]

Fx,j=-kζbg(φj)[hx(sinφjcosφj+kτsin2φj)+

hy(kτsinφjcosφj+cos2φj)]

(6)

Fy,j=kζbg(φj)[hx(-kτcosφjsinφj+sin2φj)+

hy(sinφjcosφj-kτcos2φj)]

(7)

式中，kζ為切向銑削剛度；kτ為徑向銑削剛度；b為銑削寬度；hx、hy分別為x及y方向上的動(dòng)態(tài)切削深度。

則具有Nt個(gè)刀齒的立銑刀在電主軸節(jié)點(diǎn)n處x和y方向上的切削力FA,n,x及FA,n,y分別為

(8)

把式(6)和式(7)代入式(8)整理可得切削力表達(dá)式:

(9)

3主動(dòng)磁軸承支承下銑削顫振穩(wěn)定性及振動(dòng)分析

3.1主動(dòng)磁軸承控制系統(tǒng)的等效剛度及等效阻尼

主動(dòng)磁軸承控制系統(tǒng)是一個(gè)閉環(huán)實(shí)時(shí)控制系統(tǒng)，主要根據(jù)控制器在轉(zhuǎn)子偏移作用下調(diào)節(jié)出的實(shí)時(shí)控制電流來(lái)產(chǎn)生轉(zhuǎn)子穩(wěn)定懸浮所需的電磁控制力。

根據(jù)式(5)，主動(dòng)磁軸承的電磁控制力矩陣為

(10)

在節(jié)點(diǎn)n1和節(jié)點(diǎn)n2處，x和y方向的PID控制器可表示成如下表達(dá)式[11]：

(11)

式中，KP、KD分別為PID控制器的比例系數(shù)和微分系數(shù)。

由式(10)和式(11)整理可得

(12)

令Keq=CiKP+Cx，Deq=CiKD，Keq、Deq分別為主動(dòng)磁軸承控制系統(tǒng)的等效剛度和等效阻尼，則式(12)可簡(jiǎn)化為

(13)

3.2穩(wěn)定性分析

系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)是反映主動(dòng)磁軸承切削系統(tǒng)的穩(wěn)定性的前提，為此，令Δe=[hxhy]T，將式(9)代入式(1)整理后可得[7，12]：

(14)

其中，矩陣H維數(shù)為4n×4n，對(duì)應(yīng)刀具x、xy、yx、y位置上的比例系數(shù)值為cxx、cxy、cyx、cyy，其他元素都為零。

為分析主動(dòng)磁軸承等效剛度和等效阻尼對(duì)銑削顫振穩(wěn)定性區(qū)域的影響，將式(14)作如下轉(zhuǎn)換：

(15)

式中,T=(π-2arctanξ+2Nπ)/ωc,N=0,1,2…，為兩刀齒間的波紋數(shù);ωc為顫振頻率。

(16)

ξ=ξRe+iξIm

(17)

當(dāng)式(16)所有特征值的實(shí)部都小于零時(shí)，銑削過(guò)程是穩(wěn)定的，否則銑削過(guò)程不穩(wěn)定。

(18)

當(dāng)虛部等于零時(shí)：

(19)

整理式(19)和式(18)得

(20)

3.3振動(dòng)主動(dòng)控制分析

根據(jù)銑削過(guò)程中刀具端的振動(dòng)位移，實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)主動(dòng)磁軸承的等效剛度和等效阻尼從而主動(dòng)控制顫振，方案如圖4所示。將位移傳感器實(shí)時(shí)采集到的振動(dòng)位移信號(hào)輸入到PID控制器以產(chǎn)生所需的控制電流，經(jīng)過(guò)功率放大器放大后控制電流、振動(dòng)位移及式(5)計(jì)算出振動(dòng)控制所需的主動(dòng)電磁控制力，從而抑制銑削過(guò)程中的顫振。

圖4　主動(dòng)磁軸承銑削系統(tǒng)顫振的主動(dòng)控制系統(tǒng)

4結(jié)果分析

在MATLAB環(huán)境下，分析不同主動(dòng)磁軸承控制系統(tǒng)等效剛度和等效阻尼對(duì)銑削穩(wěn)定性區(qū)域的影響并對(duì)銑削過(guò)程中的顫振進(jìn)行主動(dòng)控制。仿真過(guò)程所用電主軸的參數(shù)如表1所示。

表1　電主軸參數(shù)

圖5所示為主動(dòng)磁軸承控制系統(tǒng)等效阻尼Deq=100 N·s/m時(shí)不同等效剛度Keq對(duì)銑削穩(wěn)定性區(qū)域的影響。從圖中可以看出，主動(dòng)磁軸承的等效剛度對(duì)銑削的最小臨界切削寬度并沒有太大的影響，卻改變了最小切削寬度發(fā)生時(shí)的電主軸速度值(即改變電主軸的臨界轉(zhuǎn)速)。圖5上出現(xiàn)了兩個(gè)最小切削寬度值b1和b2，b1發(fā)生在電主軸的第一階臨界轉(zhuǎn)速位置處，b2發(fā)生在電主軸第二階臨界轉(zhuǎn)速位置處。比較b1和b2可發(fā)現(xiàn)，二階臨界轉(zhuǎn)速處銑削的最小臨界切削寬度值較大，即增大了銑削的穩(wěn)定性區(qū)域。

圖5　主動(dòng)磁軸承等效剛度可變情況下銑削穩(wěn)定圖(N=0,1,2,…)

在相同主動(dòng)磁軸承等效剛度的情況下，不同的等效阻尼對(duì)銑削穩(wěn)定區(qū)域有較大的影響，如圖6所示。圖6a、圖6b和圖6c分別分析了主動(dòng)磁軸承等效剛度分別為2 MN/m、5 MN/m及8 MN/m時(shí)，等效阻尼分別為Deq=100，500，800 N·s/m時(shí)對(duì)銑削穩(wěn)定性區(qū)域的影響，圖6d 給出了不同主動(dòng)磁軸承等效剛度時(shí)，相同等效阻尼與銑削最小臨界切削寬度之間的變化規(guī)律。圖6表明，主動(dòng)磁軸承的等效阻尼能夠較大幅度地提高銑削時(shí)的最小臨界切削寬度blim；另外，比較圖6a、圖6b和圖6c中最小臨界切削寬度值可看出，當(dāng)增大主動(dòng)磁軸承等效剛度時(shí)，等效阻尼的影響會(huì)減小，即當(dāng)?shù)刃偠容^大時(shí)，同樣大小的等效阻尼對(duì)銑削的最小臨界切削寬度blim影響減小，這一點(diǎn)在圖6d也可以看出。

根據(jù)主動(dòng)磁軸承等效剛度及等效阻尼對(duì)銑削穩(wěn)定性區(qū)域影響的規(guī)律，在主軸轉(zhuǎn)速Ωs=12 540 r/min下，對(duì)銑削顫振進(jìn)行了主動(dòng)控制。當(dāng)電主軸轉(zhuǎn)子勻速運(yùn)行時(shí)，可忽略其扭轉(zhuǎn)變形及x、y方向上的耦合，這樣x、y兩個(gè)方向上的振動(dòng)情況是一樣的。為此，本文僅分析x方向上的振動(dòng)情況。

當(dāng)Ωs=12 540 r/min,b=20.6 μm時(shí)，切削系統(tǒng)不穩(wěn)定，即振動(dòng)位移將發(fā)散，如圖7a所示。另外，從振動(dòng)位移的傅里葉分析圖(圖7a)也可以看出在電主軸的轉(zhuǎn)速頻率處出現(xiàn)較高的突峰。控制后x方向上的振動(dòng)位移如圖7b所示，振動(dòng)位移很快收斂，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，其頻率特性中突峰明顯減小。

5結(jié)論

(1)仿真結(jié)果表明主動(dòng)磁軸承的等效剛度能夠改變電主軸的臨界轉(zhuǎn)速，卻對(duì)銑削的最小切削寬度影響不大。主動(dòng)磁軸承的等效阻尼能夠較大幅度地提高銑削的最小臨界切削寬度，但幾乎不能改變電主軸的臨界轉(zhuǎn)速。

(a)主動(dòng)磁軸承等效剛度(Keq=2 MN/m)

(b)主動(dòng)磁軸承等效剛度(Keq=5 MN/m)

(c)主動(dòng)磁軸承等效剛度(Keq=8 MN/m)

(d)不同等效剛度及阻尼下臨界切削寬度變化圖6　主動(dòng)磁軸承等效阻尼下的銑削穩(wěn)定圖(N=1,2,3)

(a)控制前x方向上的振動(dòng)位移

(b)控制后x方向上的振動(dòng)位移圖7　刀具端振動(dòng)位移

(2)控制前后銑削的振動(dòng)位移圖證明了通過(guò)調(diào)節(jié)主動(dòng)磁軸承控制系統(tǒng)的等效剛度和等效阻尼能夠有效抑制電主軸銑削顫振。

參考文獻(xiàn)：

[1]SiegwartR,LarsouneurR，TraxlerA.DesignandPerformanceofaHighSpeedMillingSpindleinDigitalControlledActiveMagneticBearings[C]//Proceedingsofthe2ndInternationalSymposiumonMagneticBearings.Tokyo， 1990：197-204.

[2]KimmanMH，LangenHH，SchmidtRH.MillingSpindlewithActiveMagneticBearings[J].Mechatronics， 2010，42(2)：224-235.

[3]SiddhpuraM,PauroballyR.AReviewofChatterVibrationResearchinTurning[J].InternationalJournalofMachineTools&Manufacture, 2012,61:27-47.

[4]ArnoldRN.TheMechanismofToolVibrationinCuttingofSteel[J].Proc.Inst.Mech.Eng.， 1946,154(1):261-284.

[5]EynianM.PredictionofVibrationFrequenciesinMillingUsingModifiedNyquistMethod[J].CIRPJournalofManufacturingScienceandTechnology, 2015, 32(67):123-132.

[6]YangY，MuoaJ，AltintasY.OptimizationofMultipleTunedMassDamperstoSuppressMachineToolChatter[J].InternationalJournalofMachineToolsandManufacture, 2010，50(9): 834-842.

[7]喬曉利，祝長(zhǎng)生.基于內(nèi)置力執(zhí)行器的電主軸銑削顫振的主動(dòng)控制[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2012，48(1)：187-192.

QiaoXiaoli，ZhuChangsheng.ActiveControlofMillingChatterBasedontheBuilt-inForceActuator[J].JournalofMechanicalEngineering，2012，48(1)：187-192.

[8]蔣科堅(jiān).主動(dòng)磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)控制技術(shù)[D]. 杭州：浙江大學(xué)，2001.

[9]WangTongyue,HeNing，LiLiang.VibrationModelinMillingofThin-walledComponents[J].ChineseJournalofMechanicalEngineering，2007，43(8)：22-25.

[10]李忠群,劉強(qiáng). 圓角銑削顫振穩(wěn)定域建模與仿真研究[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2010，46(7)；181-186.

LiZhongqun，LiuQiang.ModelingandSimulationofChatterStabilityforCircularMilling[J].JournalofMechanicalEngineering， 2010， 46(7) ：181-186.

[11]喬曉利,祝長(zhǎng)生. 永磁型電主軸多頻率振動(dòng)的主動(dòng)控制[J].中國(guó)機(jī)械工程,2014,25(2):162-168.

QiaoXiaoli,ZhuChangsheng.AnActiveMultipleFrequencyVibrationControlSchemeofGrindingWheelinPermanentMagnet(PM)ElectricSpindleRotorSystem[J].ChinaMechanicalEngineering, 2014,25(2):162-168.

[12]楊建忠,李江威. 銑削加工過(guò)程穩(wěn)定性分析[J]. 中國(guó)機(jī)械工程,2013,24(3):360-365.

YangJianzhong,LiJiangwei.AnalysisofMillingProcessStability[J].ChinaMechanicalEngineering, 2013,24(3):360-365.

(編輯袁興玲)

收稿日期：2015-08-10

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51505296,51565009)；浙江省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(LY14E050004)

中圖分類號(hào)：TG156

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.12.013

作者簡(jiǎn)介：?jiǎn)虝岳?975年生。浙江紹興文理學(xué)院元培學(xué)院機(jī)械與電子系副教授，浙江大學(xué)電氣工程學(xué)院博士研究生。主要研究方向?yàn)檗D(zhuǎn)子的動(dòng)態(tài)特性及振動(dòng)控制。發(fā)表論文10余篇。祝長(zhǎng)生，男，1963年生。浙江大學(xué)電氣工程學(xué)院學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。鐘志賢，男，1972年生。桂林理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院講師、博士。

StabilityandControlforCuttingChatterBasedonActiveMagneticBearings

QiaoXiaoli1,2ZhuChangsheng2ZhongZhixian3

1.DepartmentofYuanpei,ShaoxingCollegeofArtsandSciences,Shaoxing，Zhejiang,312000 2.ZhejiangUniversity,Hangzhou，310027 3.GuilinUniversityofTechnology,Guilin,Guangxi,541004

Abstract：An active control technology for milling chatter was proposed based on AMBs. The effects of the AMB equivalent stiffness and equivalent damping on the milling stability were analyzed by finite element, and the milling chatter was controlled actively. The results show that the equivalent stiffness of AMBs may change the critical speed of electric spindle, and has little effect on critical milling width. On the contrary, the equivalent damping of AMBs can increase the critical milling width dramatically, and has little effect on the spindle critical speed. In addition, the chatter control effects show that the milling chatter can be suppressed by adjusting the equivalent stiffness of AMBs effectively.

Key words：electric spindle; active magnetic bearing(AMB); chatter; vibration control