組合透鏡系統成像虛實的判斷

韋中超+柳月波+易亞軍+黃早珊+梁瑞生

摘 要 本文以兩薄透鏡系統為例，對組合透鏡系統的成像虛實情況進行了分析，得出了總的垂軸放大率β總的正負不能作為成像虛實的判斷依據。并對其原因進行了分析：像的虛實與系統內部“像物相同”的數目有關，“像物相同”的數目為偶數時，用β總來判斷成像的虛實性與實際成像的虛實性相同；“像物相同”的數目為奇數時，用β總判斷的結果與實際成像的虛實性相反。對于組合系統成像虛實性，本文提出了一個新的判斷依據，即用最后一個透鏡的頂點到像的距離X的正負作為判斷依據：X>0成實像，X<0成虛像。

關鍵詞 組合透鏡系統；垂軸放大率；實像；虛像；判斷

中圖分類號 O435.2 文獻標識碼 A 文章編號 1674-6708（2016）164-0120-03

從相關的教材[1-3]可知，對于單個透鏡成像，我們可以直接利用垂軸放大率β的正負來判斷所成像的虛實：當透鏡的物空間與像空間的介質相同時，β>0，物像虛實相反；β<0，物像虛實相同。

β1、β2…βk分別為組合系統中各個透鏡的垂軸放大率。

為了統一標準，先給出符號約定，如圖1所示。

沿軸線段：以透鏡頂點為坐標原點，右方為正，左方為負。

垂軸線段：以主光軸為界，上方為正，下方為負。

相鄰兩光具間隔d：前一透鏡頂點到后一透鏡頂點，順光線方向為正，逆光線方向為負。

光學間隔△：前一光組像方焦點到下一光組物方焦點的方向與光線一致為正，反之為負。

我們以2兩個薄透鏡的組合為例探討一下β總為正和為負兩種情況下物像的虛實關系。

1）β總>0

例1：如圖2，設有兩個薄凸透鏡O1和O2，其焦距分別為f1=10cm，f2=10cm，兩者共軸，相距d=50cm，在主光軸上距透鏡O1左方20cm處垂直于主軸放一物體，求最終成像的位置和虛實情況。

解析：為了直觀、簡便，我們采用逐次成像的方法來求像的位置及虛實。

假如由組合垂軸放大率β總來判斷虛實，由于β總>0，且原物為實物，所以最后成像應與原物虛實相反，成虛像。但是由分析可得最后成像應為實像，所以，在此用組合垂軸放大率β總來判斷最后成像虛實產生了誤判。

2）β總<0

例2：如圖3，設有兩個薄透鏡O1和O2，左邊的O1是凸透鏡，焦距為f1=10cm，而右邊的O2是凹透鏡，焦距f2=-10cm，兩者共軸，相距d=30cm，在主光軸上透鏡O1左方20cm處垂直于主軸放一物體，求最終成像的位置和虛實情況。

假如由組合垂軸放大率β總來判斷虛實，由于β總<0，且原物為實物，所以最后成像應與原物虛實相同，成實像，但是由分析可得最后成像應為虛像，所以在此也不能用組合垂軸放大率β總來判斷最后成像虛實。

從以上2類分析可知：對于組合透鏡系統來說，不管是β總>0或β總<0，判斷結果均有與實際成像虛實不符的情況。因此組合垂軸放大率β總的正負不能用來判斷系統的成像虛實。

由上面的實例分析可知在組合透鏡系統中，最終成像的虛實與β總的關系和單個透鏡組成像虛實與β的關系不一樣。通常，我們判斷物（像）是實物（實像）還是虛物（虛像），都是以某一透鏡系統為基準的，當前一透鏡所成的實像作為后一系統的物的時候，這時物的虛實性是不能由其作為前一系統的像的虛實來直接認定，它既其可作后一系統實物又可以作為后一系統的虛物。下面是以兩子系統進行分析，物經過系統兩透鏡后成像過程有以下12種情況：

1）物像相同：

由分析可知，組合垂軸放大率β總與最終成像的虛實性具有一定的規律：在組合透鏡系統中，系統內部“像物相同”（即前一透鏡所成的像作為后一透鏡的物時的虛實性一致）的數目為偶數時，用組合垂軸放大率β總來判斷成像的虛實性與實際成像的虛實性相同。所示系統內部“像物相同”的數目為奇數時，用組合垂軸放大率β總來判斷組合透鏡系統成像的虛實性與實際成像的虛實性相反。知道這個原則就可以根據垂軸放大率的符號及物的虛實直接判斷最終像的虛實。

雖然根據上面的原則是可以判斷最終成像虛實，但是由于判據中的“像物相同”的數目計算較為繁瑣，所以這一方法并非是解決問題的捷徑。我們知道對于單個透鏡系統，可以利用像距l的正負來判斷所成的像虛實。當一實物放在透鏡的左側對透鏡進行成像時，如果l>0時，成實像，這是因為實像是由實際光線相交所形成的，出射光是會聚光，實像應在透鏡右側。當l<0時，成虛像，這是因為虛像是由光線的延長線相交所形成的，出射光是發散光，虛像應在透鏡左側。

對于組合透鏡系統，我們一樣可以通過求解最后一個透鏡的像方主面到像的距離X的正負來判斷成像虛實，可以將問題大大簡化。下面以兩個透鏡組為例，成像虛實的判斷可按以下步驟進行，位置關系見圖4。

其中，lH為最后一個透鏡到組合系統的像方主面的距離。

如果X>0，成實像，如果X<0，成虛像。

對于多個（>2）透鏡組合系統的成像虛實判斷也可以按照上面的步驟進行。

用以上方法重新對本文中的例1、例2及其他情況進行了判斷，其結果與逐次分析判斷后得到的結果一致。

綜上所述：與單透鏡不同，組合透鏡系統的垂軸放大率β總不能作為系統成像虛實的判斷依據。在分析原因的基礎上，我們提出了一個新的判斷方法：即利用最后一個透鏡的像方主面到像的距離X的正負來作出判斷，如果X>0，成實像，如果X<0，成虛像。

參考文獻

[1]郁道銀，談恒英.工程光學[M].2版.北京：機械工業出版社，2006（1）：10-11.

[2]李曉彤，岑兆豐.幾何光學﹒像差﹒光學設計[M].杭州：浙江大學出版社，2003（11）：13-14.

[3]遲澤英，陳文建.應用光學與光學設計基礎[M].南京：東南大學出版社，2008（11）：37-38.