基于凸優化的有限推力遠程轉移軌跡優化*

李 鑫 歐陽高翔 孫成明 孫 錚 楊 新

1. 中國科學院光電研究院，北京100094 2. 中國科學院大學, 北京 100049

?

基于凸優化的有限推力遠程轉移軌跡優化*

李 鑫1,2歐陽高翔1孫成明1孫 錚1楊 新1

1. 中國科學院光電研究院，北京100094 2. 中國科學院大學, 北京 100049

針對軌跡優化問題中動力學方程對凸優化方法的限制，建立了有限推力遠程轉移軌跡優化問題的凸優化問題模型，并提出一種迭代逼近算法，使得在每步迭代中狀態矩陣保持為線性，從而實現了凸優化在遠程軌跡優化中的應用，仿真分析證明了所提出的迭代逼近算法對優化問題的收斂性，所得軌跡迅速收斂至最優軌跡，并與最優控制序列所得實際軌跡保持一致。本文構建的凸優化問題模型及提出的迭代逼近算法對這類遠程軌跡優化問題是可行的。

凸優化；遠程轉移；有限推力；軌跡優化；迭代逼近

航天器燃料最優的轉移問題一直是研究的熱點，廣泛存在于交會對接、機動變軌、行星際航行等工程應用中。國內外學者對有限連續推力航天器軌道轉移問題的研究主要有2類方法。Yan Hui等人使用基于初始協態變量猜測的間接法研究了最優軌道轉移問題[1]，其本質是求解一個非線性方程組，其結果的最優性得到理論保證，但采用間接法需要對協狀態變量的初值進行猜測，魯棒性較差。王明春等人將兩點邊值問題的求解轉化為非線性規劃問題，以控制變量初始值代替伴隨變量初始值，對軌道轉移問題進行了求解[2]。但這種變換仍然無法解決間接法需要初值猜測的弊端。Johnson較早采用直接法對軌道轉移問題進行了研究[3]，他運用Chebyshev多項式和積分懲罰函數將原始問題轉化為無約束最優問題，從而能夠數值求解。Enright和Conway利用直接配置和非線性規劃方法處理了同平面有限推力轉移最優軌跡問題[4]。采用直接法求解軌跡優化問題時，是將優化問題轉化為非線性優化問題，采用非線性規劃算法進行求解計算量大。張亞鋒利用Guass偽譜法將最優控制問題轉化為非線性規劃問題，求解了有限推力的同面軌道和異面軌道的能量最優轉移[5]。

近年來，凸優化理論及方法取得較大發展并被廣泛應用。凸優化問題是非線性優化中非常重要的一種類型，這類問題的局部極小點就是全局最小點，因此如果凸優化問題的目標函數是一個嚴格凸函數，且存在極小點，那么它的極小點就是最小點，并且這個點是唯一的。以往研究的重點是區分線性與非線性，而凸優化只關注問題的凸與非凸。目前，凸優化已被應用于航天器交會最終逼近段軌跡優化以及行星大氣再入軌跡優化等領域。Acikmese和Blackmore等將凸優化技術應用于火星登陸器軟著陸最優控制問題[6-10]，將問題轉化為二階錐形式的凸優化問題，使用內點法求解。Liu Xinfu和Lu Ping等運用凸優化技術研究了交會對接中的軌跡優化問題[11-12]，針對約束條件研究了一種無損松弛方法，并驗證了求解結果等價于原始問題。國內的林曉輝等人基于凸優化理論研究了月球定點著陸的軌跡優化[13]，池賢彬等人運用凸優化方法提出了有限推力下最終逼近段的自主交會迭代制導方法[14]，陳洪普將凸優化方法應用于高超聲速飛行器再入制導中的模型預測控制[15]。

運用凸優化技術的前提是正確判別問題是否屬于凸優化問題，以及按照DCP(Discplined Convex Programming)規則對問題進行正確合適的凸優化表述。由于凸優化理論和方法對等式約束要求為凸函數，而軌跡優化問題中動力學方程存在強非線性項，以往在近程軌跡優化問題的研究中往往將其進行簡單的近似處理，文獻[13-15]中均采用此類方法。但在應用至遠程軌跡優化問題時如仍采用這類方法，不僅不符合客觀實際，并且其計算結果的可靠性和準確性也無法保證。本文針對有限推力遠程轉移問題，構建了其凸優化問題模型，并提出迭代逼近算法，使得在求解凸優化問題時狀態方程保持為線性，從而克服了凸優化方法應用于遠程軌跡優化時在動力學方程非線性上的限制。通過仿真計算，驗證了該方法的有效性、準確性和計算效率。

1 基于凸優化的問題建模

[16]中有限推力軌道攔截問題的數學模型類似，有限推力遠程轉移的燃料最優軌跡優化問題可以表述為：

(1)

1)航天器的推力形式為有限推力形式，存在推力上下界；在每個迭代周期內，認為質量為常量，推力矢量恒定。

2)上節所描述的問題模型中，在整個轉移過程中航天器質量是線性時變的，但狀態方程含有質量導數項為非凸函數。為此，對變量做如下變換：

(2)

則質量方程可轉化為：

(3)

3)推力約束方程所定義的集合為非凸集，通過引入松弛因子η，將控制輸入約束方程二維空間中的非凸集約束轉換為三維空間中的凸集約束，并使性能指標函數為線性函數形式：

(4)

4)對于推力大小約束方程0≤η≤Tmaxe-e，將其右端在z0進行一階泰勒展開，并近似縮小為凸集約束：

0≤σ≤Tmaxe-z0[1-(z-z0)]

(5)

通過上述假設和變換，并令x=[rvz]T為狀態變量，u=[τη]T為控制變量，同時考慮實際軌跡的具體約束，則原始問題模型轉化為如式(6)所示的凸優化問題模型：

(6)

式中,

考慮J2攝動項，則Q(r)表示為：

Q(r)=

其中,J2=1.0826×10- 9，Rg=6378 km。

由于在凸優化方法中，一般不采用積分表達形式，因而對式(6)進行離散化處理，轉化為矩陣相乘的形式。

(7)

式中，Tc為采樣周期，狀態轉移矩陣Φ(t)=eA(r(n))t，對其進行冪級數展開并忽略高階項可得Φ(t)=eA(r(n))t=I+At，從而可計

則離散化后，原凸優化問題轉化為如下形式：

(8)

2 迭代逼近算法

本文研究的這類遠程軌跡優化問題中，r變化范圍大，A具有明顯的時變特性和強非線性，這對問題有無可行解，以及對可行解的準確性都有重要影響。因而，本文研究并設計了一種迭代逼近算法，通過在每一步迭代中求解上一節建立的凸優化問題，獲得一組最優軌跡序列，更新狀態矩陣A,并在每一步迭代中保持其為定常矩陣。最優軌跡和時變矩陣A都收斂至誤差允許范圍內，即獲得最終的求解結果。算法流程如圖1所示。

圖1 迭代逼近算法流程

具體算法流程如下：

1)狀態矩陣A的初始化

通過將初始位置與末端位置間的距離進行等分，得到一組猜測的初始位置序列，設置k=0 ，并對A進行初始化得到A(0)。通過后續驗證，采用這種初始化方法，有效地保證了第1)步迭代能獲得可行解，進而保證迭代算法的進行；

2)求解凸優化問題

在第u=u(k)步迭代中，以定常矩陣A(k)，求解上一節建立的凸優化問題式(8)，得到可行解x(k)和u(k)，分別為A(k)條件下的最優軌跡序列和控制序列；

3)終止判斷

當迭代所得的軌跡收斂至誤差允許范圍內時，認為滿足判斷條件，即x(k)-x(k-1)≤ε,k>1，其中常值ε為允許誤差，則最終結果x*=x(k)，u*=u(k)。如不滿足判斷條件，則進行下一步；

4)迭代更新A(k)

以第2)步獲得的x(k)計算得矩陣A(k)，并返回到第2)步。

在此，對本文提出的迭代逼近算法的收斂性進行簡要的證明如下：

根據文獻[17]，若矩陣A(x)滿足條件

A(x)-A(y)≤αx-y
μ(A(x))≤μ0

(9)

其中,α，μ0為正的常數，μ(A)為A的范數對數，則可以保證解序列{x(k)}的收斂性。

在本文研究的問題中，可令r被地球半徑歸一化，使得r>1，由矩陣二階范數定義可得

(10)

(11)

A(r1)-A(r2)≤A(r1)+A(r2)=2

(12)

并且

(13)

由文獻[18-19]對矩陣的對數范數的定義及擴展可得

(14)

綜上，證明了本文提出的迭代逼近算法對所研究的問題具有收斂性。

3 仿真分析

為了驗證所提出的凸優化問題模型以及迭代逼近算法，針對有限推力下的遠程軌道轉移進行了仿真計算。轉移過程以燃料最優為性能指標，同時考慮初末位置約束及推力大小約束。

航天器在地心慣性系下的初始位置及初始速度，以及轉移目標點處的位置和速度如表1所示，其他仿真參數如表2所示。

表1 初始及目標狀態

表2 仿真參數表

仿真結果見圖2～6。圖2為地心慣性系下的最終優化軌跡，可以看出航天器沿最優軌跡從初始位置到達目標位置，兩點間距離71164km，軌道半徑相差2164km，即實現了遠程轉移的任務要求。

圖2 最終優化軌跡

圖3為迭代過程中的推力幅值變化曲線。可以看出在迭代計算過程中，每一次計算得到的控制推力序列，其幅值滿足推力大小約束，且近似在最大值與最小值之間切換。

圖4為最終優化結果中航天器在X，Y方向上的位置及推力變化。可以看出，位置變化平緩穩定，X方向位置變化范圍達61082km，Y方向位置變化范圍達36515km；X，Y方向上的推力同圖3所示推力幅值變化規律一致。

圖3 迭代過程中的推力幅值變化

圖4 XY位置變化及推力作用段

圖5 燃料消耗收斂曲線

圖5為迭代過程中優化目標即燃料消耗的收斂曲線。可以看出，通過最初的幾步迭代，燃料消耗由424kg迅速下降至280kg附近，并最終收斂至276kg。與基于Lambert的雙脈沖轉移進行對比，見表3，可以看出基于本文方法所產生的速度增量已十分接近雙脈沖轉移。

表3 方法及結果對比

圖6 優化軌跡與實際軌跡

本文提出的方法可同時求解出最優軌跡和最優控制序列，為了驗證結果的準確性，進行誤差分析，對優化所得的控制序列在航天器動力學方程下進行軌道外推，將所得軌跡與優化所得的最優軌跡進行對比，如圖6所示。可以得出，最終位置誤差為465km，僅為最終軌道半徑的1.1%，優化結果與外推結果基本一致，證明了本文提出方法的有效性和準確性。

在Matlab編程環境及CPU頻率為2.27GHz的硬件平臺下，每步迭代計算中的凸優化求解耗時在1.24～3.23s之間。通過近500步迭代，由圖6最終收斂段可見,計算結果已基本收斂至最優，說明了凸優化方法及迭代逼近算法的有效性和較高的計算效率。進行較長步數的迭代，可得到較高精度的最優軌跡和控制序列，保證優化軌跡與外推軌跡基本重合。

仿真結果表明：由于凸優化理論和方法對等式約束要求為凸函數，而軌跡優化問題中動力學方程存在強非線性項，以往在近程軌跡優化問題的研究中往往將其進行簡單的近似處理，但在應用至遠程軌跡優化問題時如仍采用這類方法，不但不符合客觀實際，其計算結果的可靠性和準確性也無法保證。本文提出的方法準確求解了有限推力遠程轉移問題，轉移距離達數萬千米，而已有凸優化方法在軌跡優化領域的應用只局限于數百米，表明本文方法有效地解決了非線性狀態方程對凸優化方法應用的制約問題。

基于本文方法能夠同時求解出最優軌跡和最優控制序列。最優軌跡與按控制序列進行外推所得實際軌跡的誤差在允許范圍內，末端位置和速度均達到約束要求，證明了方法的準確性和高效性。

本文求解過程采用了斯坦福大學開發的CVX工具軟件，按照其語法規則編寫程序，在每一步迭代中求解了式(8)所示的凸優化問題。

4 結論

基于凸優化理論和方法，對航天器遠程轉移軌跡優化問題進行了建模和凸優化問題標準形式的表述。針對制約凸優化方法應用于遠程軌跡優化的非線性狀態方程，提出并設計了一種迭代逼近算法，并通過仿真計算證明了其有效性。其能有效求解遠程轉移軌跡優化問題。對將凸優化應用拓展至遠距離的航天器遠程轉移、交會遠程導引、遠程制導等問題進行了有意義的探索。

參 考 文 獻

[1] Yan H, Wu H Y. Initial Adjoint-Variable Guess Technique and Its Application in Optimal Orbital Transfer [J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1999, 22(3):490-492.

[2] 王明春, 荊武興, 等.能量最省有限推力同平面軌道轉移 [J].宇航學報, 1992, 13(3):24-31. (Wang Mingchun, Jing Wuxing, et al. Minemum Fuel Orbit Coplanar Transfers with Finite Thrust [J]. Journal of Astronautics, 1992, 13(3):24-31.)

[3] Johnson F T. Approximate Finite-thrust Trajectory Optimization [J]. AIAA Journal, 1969, 7(6):993-997.

[4] Enright P J, Conway B A. Optimal Finite-thrust Spacecraft Trajectories Using Collocation and Nonlinear Programming [J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1991, 14(5):981-985.

[5] 張亞鋒, 和興鎖. 基于Guass偽譜法的有限推力軌道轉移優化 [J].航天控制, 2010, 28(3):38-41. (Zhang Yafeng, He Xingsuo. Optimal Orbit Transfer with Finite Thrust Based on Guass Pseudospectral Method [J]. Aerospace Control, 2010, 28(3) :38-41.)

[6] Acikmese B, Scott R P. Convex Programming Approach to Powered Descent Guidance for Mars Landing [J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2007, 30(5):1353-1366.

[7] Acikmese B, Blackmore L. Enhancements on the Convex Programming Based Powered Descent Guidance Algorithm for Mars Landing [C]//AIAA/AAS Astrodynamics Specialist Conference and Exhibit, 2008.

[8] Blackmore L, Acikmese B, et al. Minimum Landing error Powered Descent Guidance for Mars Landing Using Convex Optimization [J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2010, 33(4):1161-1172.

[9] Acikmese B, John M, et al. Lossless Convexification of Nonconvex Control Bound and Pointing Constraints of the Soft Landing Optimal Control Problem [J]. IEEE Transactions on Control System Technology, 2013, 21(6):2104-2113.

[10] Blackmore L, Acikmese B, et al. Lossless Convexification of Control Constraints for a Class of Nonlinear Optimal Control Problem [J]. Systems&Control Letters, 2012, 61(8):863-870.

[11] Liu Xinfu, Lu Ping. Solving nonconvex optimal control problems by convex optimization [J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2014, 37(3):750-765.

[12] Lu Ping, Liu Xinfu. Autonomous Trajectory Planning for Rendezvous and Proximity Operations by Conic Optimization [J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2014, 37(3):750-765.

[13] 林曉輝, 于文進.基于凸優化理論的含約束月球定點著陸軌道優化 [J].宇航學報, 2013, 34(7):901-908. (Lin Xiaohui, Yu Wenjin. Constrained Trajectory Optimization for Lunar Pin-point Landing Based on Convex Optimization Theory [J]. Journal of Astronautics, 2013, 34(7):901-908.)

[14] 池賢彬, 岳曉奎, 等. 基于凸優化的自主交會迭代制導方法 [J].中國空間科學技術, 2014, 1:26-34. (Chi Xianbin, Yue Xiaokui, et al. Iterative Guidance Method of Autonomous Rendezvous Based on Convex Optimization [J]. Chinise Space Science and Technology, 2014, 1:26-34.)

[15] 陳洪普.基于凸優化的模型預測控制在飛行器再入制導中的應用 [D].哈爾濱:哈爾濱工業大學, 2013.(Chen Hongpu. The Application of Convex Optimization Based Model Predictive Control in Guidance of Reentry Vehicles [D]. Harbin:Harbin Institude of Technology, 2013.)

[16] 湯一華, 陳士櫓, 等.基于遺傳算法的有限推力軌道攔截優化研究 [J].西北工業大學學報, 2005, 23(5):671-675.(Tang Yihua, Chen Shilu, et al. A Genetic Algorithm Method of Orbit Interception with Finite Thrust [J]. Journal of Northwestern Polytechnical University, 2005, 23(5):671-675.)

[17] Banks S P, Dinesh K. Approximate Optimal Control and Stability of Nonlinear Finite and Infinite-dimensional Systems [J]. Annals of Operations Research, 2000,98:19-44.

[18] Str?m T. Logarithmic norms [J]. SIAM Journal of Numercial Analysis, 1975, 12(5):741-753.

[19] Str?m T. Minimization of Norms and Logarithmic Norms by Diagonal Similarities[J]. Computing, 1972,10:1-7.

Optimal Remote Transfer with Finite Thrust Based on Convex Optimization

Li Xin1,2，Ouyang Gaoxiang1，Sun Chengming1，Sun Zheng1，Yang Xin1

1. Academy of Opto-Electronics, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100094, China 2. University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China

Aimingatthelimitationofthekineticequationagainstconvexoptimizationapplicationintheremotetransfertrajectory,theconvexoptimizationmodelofremotetransfertrajectoryoptimizationwithfinitethrustisestablished,andaniterativeapproximationalgorithmisproposedtokeepthestatematrixlinearineachiteration,thereby,theconvexoptimizationcansolvetheproblemsmoothly.Itisproventhattheconvergenceofproposediterativeapproximationalgorithmfortheoptimizationproblemandtheoptimaltrajectoryandcontrollawaresimultaneouslysolved.Throughanalysisandverification,theresultingoptimalcontrollawisinaccordwiththeoptimalcontrolsequences,meanwhile,theresultingoptimaltrajectoryandactualtrajectoryareconsistent.Theconvexoptimizationmodelestablishedandtheiterativeapproximationalgorithmproposedarevaluableandfeasiblefortheremotetrajectoryoptimization.

Convexoptimization;Remotetransfer;Trajectoryoptimization;Finitethrust;Iterativeapproximationalgorithm

*國家自然科學基金(61308101)

2015-08-03

李 鑫(1990-)，男，山西大同人，碩士，主要研究方向為飛行器設計，航天器軌跡優化；歐陽高翔(1977-)，男，四川人，博士，高級工程師，主要研究方向為飛行器設計，飛行器軌道姿態控制及仿真；孫成明(1984-)，男，吉林人，博士，助理研究員，主要研究方向為空間目標光學探測與識別；孫 錚(1985-)，男，北京人，碩士，工程師，主要研究方向為空間應用系統總體設計；楊 新(1967-)，男，北京人，博士，研究員，主要研究領域為空間應用系統總體設計、空間飛行器總體設計。

V412.41

A

1006-3242(2016)03-0019-07