考慮目標機動及修正動力學的最優制導律研究

張文淵 郭 濤 夏群利 溫求遒

1. 北京理工大學宇航學院，北京100081 2. 北京航天自動控制研究所，北京100854

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考慮目標機動及修正動力學的最優制導律研究

張文淵1郭 濤2夏群利1溫求遒1

1. 北京理工大學宇航學院，北京100081 2. 北京航天自動控制研究所，北京100854

以實現對機動目標的精確打擊為背景，首先基于目標常值指令機動模型，同時考慮目標機動動力學、導彈制導動力學及重力影響，采用Schwartz不等式法推導得到了一種貼近工程應用的改進最優制導律(Improved Optimal Guidance Law)，然后對該制導律的加速度指令特性與制導脫靶量進行了分析。仿真結果表明，改進最優制導律的加速度指令在大部分末導時間內都小于其他制導律，在末端攻擊時刻其加速度指令接近零值。其制導脫靶量不受目標機動和末導時間的影響，始終保持在零值附近，該制導律對機動目標的攻擊具有較好的性能優勢。

目標機動；制導動力學；最優制導律

為提高復雜戰場環境下的生存概率和突防效率，出現了越來越多具有大機動性能的目標，目標的高機動性會大幅降低導彈攻擊的成功率，因此實現對機動目標的精確打擊已成為當前戰略戰術武器發展的必然要求。

導引律是實現導彈對機動目標精確打擊的重要依據，比例導引律PNG (Proportional Navigation Guidance Law)是較為傳統和應用最廣泛的一種制導律，它被證明是目標不機動以及系統零滯后情況時的最優制導律[1-2]。但對大機動目標來說，比例導引律由于末端需用過載過大導致其性能已難以滿足末端攔截的需求[3]。增強比例導引律APN(Augmented Proportional Navigation)引入了對常值機動目標的補償，相比比例導引律PNG，增強比例導引律APN可減小末端需用過載，被證明是在系統理想情況下對付常值機動目標的最優制導律[4-5]。而真實的導彈系統存在諸多動力學，動力學滯后導致PNG和APN制導律都會有比較大的末端過載需求，并產生較大的脫靶量[6]。考慮目標常值機動的情況下，將導彈制導動力學簡化為一階滯后模型，可推導出OPN(Optimal Proportional Navigation)最優制導律[7-8]，該制導律可較好地消除導彈制導動力學影響。但事實上目標機動也存在動力學，更真實的情況是目標為有動力學常值加速度指令的機動[9-10]，目前很少有制導律關注這種目標機動形式，這導致當前制導律與實際情況不匹配，未能有效減小導彈需用過載能力以實現更有效的攔截。

本文基于目標為有動力學滯后系統，并采用常值加速度指令機動方式，同時考慮導彈制導系統動力學及重力影響，采用Schwartz不等式法推導得到了一種貼近工程應用的改進最優制導律(Improved Optimal Guidance Law)，然后對該制導律的加速度指令特性與制導脫靶量進行了仿真分析，通過與比例導引律PNG和增強比例導引律APN進行對比，驗證了改進最優制導律在攻擊機動目標時的有效性和最優性。

1 問題描述

改進最優制導律在推導之前建立如下假設條件：1)采用二維平面交戰模型，本文導彈和目標均在縱向平面運動；2)導彈和目標均為質點運動模型；3)導彈和目標的末端交戰彈道沿參考線(初始基準線)是線性的；4)導彈制導系統為一階動力學滯后系統。

1.1 目標機動模型

在實際工程應用中，對目標機動狀態估計的準確性是影響最優制導律最優性的主要因素，目標機動估計模型與實際模型越接近，則推導出的最優制導律越具有最優特性和工程應用價值。本文以目標為有動力學滯后系統并采用常值加速度指令機動方式為模型[10]，假設目標為一階動力學系統，包含動力學時間常數Tt和噪聲，該機動模型表達式如下：

(1)

對于常值機動指令，目標機動模型數學表達式如下：

(2)

式中，aT為目標機動實際加速度；aTc為目標機動加速度指令；ω為白噪聲，代表目標機動的不確定性，此處ω取零值。

1.2 系統模型

圖1給出了彈目攔截幾何關系，LOS為基準彈目線，XOY為慣性坐標系，yM和yT為相對XOY慣性坐標系垂直于LOS基準彈目線方向的導彈和目標位置，y為相對位置，aM和aT為導彈和目標垂直于基準線方向的絕對加速度，其中，λ為彈目視線角，vT為目標速度，vM為導彈速度。

圖1 攔截幾何關系

圖2 系統狀態模型

圖2給出了系統狀態模型，其中，Tg為導彈制導動力學時間常數，根據圖2可得系統狀態空間表達式為：

(3)

式中，X(t)為系統狀態量，A(t)為狀態矩陣，B(t)為控制矩陣，u(t)為控制量。通過前文的分析可知，該系統狀態量X(t)應包含彈目相對位置和速度，目標機動加速度和加速度指令，導彈過載指令以及重力補償項，控制量u(t)為導彈加速度指令amc。

其中，

(4)

2 改進最優制導律推導與應用

2.1 制導律推導

在改進最優制導律求解時，以末端零脫靶量及最小過程控制能量為約束，可把目標函數寫為：

(5)

式中，下標f代表末端狀態量，考慮本文彈目攔截情況，狀態矩陣取如下形式：

(6)

上述問題是一個最優控制問題，求解該問題時可采用最優控制求解方法，也可采用Schwartz不等式求解，本文采用Schwartz不等式法求解最優制導律，以保證下式成立，

(7)

狀態方程式(3)在tf處的解可表示為：

(8)

式(8)中狀態量的基礎轉移矩陣為：

Φ(t)=L-1[(sI-A)-1]

(9)

式中，I為單位矩陣，s為復頻域的符號，L-1為拉普拉斯反變換。式(8)也可表示為式(10)形式：

(10)

式中,Ti=tf-t。

式(8)中第1個狀態量y在終端可表示為：

(11)

式中，

(12)

將終端條件y(tf)=0代入式(11)中，可得：

(13)

對式(13)應用Schwartz不等式有：

(14)

當且僅當等號成立時，所需能量最小，因此可推出改進最優制導律表達式為：

(15)

進一步，可以把改進最優制導律寫成便于工程應用的形式：

(16)

由式(16)可知，改進最優制導律的第1項類似于比例導引律PNG，為制導律的主項，第2項是對導彈制導動力學的修正項，第3項和第4項是對目標機動加速度和加速度指令的修正項，最后一項是對重力加速度的修正項。

2.2 制導律應用

在實際應用改進最優制導律時，以采用雷達導引頭的導彈為例，制導律所需制導信息獲取方式如下：

2)導彈加速度aM可由彈上加速度計測量獲取；

3)導彈制導動力學時間常數Tg為設計參數，視為已知量；

4)目標機動動力學時間常數Tt可通過對典型機動目標動力學特性進行統計，提前裝訂于彈上計算機，實際使用時根據當前目標特性選取合適的參數；

5)剩余飛行時間tgo由簡化公式tgo=R/Vr計算得到，其中彈目相對距離R由雷達導引頭測得；

6)目標機動加速度aT和加速度指令aTc可采用卡爾曼濾波器方程估計得到，具體方法如下。

根據圖2得到目標機動的卡爾曼濾波器狀態方程和量測方程為：

(17)

Z=C′X′+v

(18)

(19)

式中,狀態轉移矩陣Φk=Φ(Ts)，Ts為離散步長。

利用Ricatti方程遞推解出迭代方程為：

(20)

(21)

3 改進最優制導律特性分析

根據式(16)及文獻[1-5]可給出改進最優制導律與比例導引律、增強比例導引律表達式的區別，如表1所示。

從表1可以看出，相比于比例導引律和增強比例導引律，改進最優制導律受目標機動及目標機動動力學與導彈制導動力學的影響，應具有更好的制導效果，下面通過仿真來分析改進最優制導律的制導特性。表2給出了制導律仿真初始條件。

表1 不同制導律表達式

表2 仿真初始制導參數

圖3給出了改進最優制導律制導系統框圖，利用圖3仿真得到制導律加速度指令隨末導時間變化曲線，如圖4所示。仿真結果可以看出，改進最優制導律的加速度指令隨著末導時間增加而減小，在彈目交匯處，比例導引律與增強比例導引律存在較大的加速度指令，會造成由于指令飽和而產生脫靶的情況，而改進最優制導律指令較小且趨近于零值，此時小指令有利于對目標的截獲。

圖3 改進最優制導律制導系統框圖

圖4 加速度指令隨末導時間變化曲線

進一步為了分析制導脫靶量對于目標機動的敏感性，采用伴隨函數法將圖3進行伴隨變換，得到圖5所示伴隨系統。利用伴隨系統可仿真得到當目標有3g加速度指令時，引起的3種制導律制導脫靶量隨末導時間的變化曲線，如圖6所示。由于目標機動和導彈制導動力學的影響，比例導引律與增強比例導引律需要較大的末導時間消除制導脫靶量，當制導系統有大于16倍的相對末導時間(T/Tg)時，脫靶量才出現收斂到零值的趨勢。而改進最優制導律脫靶量不受末導時間限制，始終保持零值。

圖5 改進最優制導律伴隨系統框圖

圖6 目標機動引起的制導脫靶量隨末導時間變化曲線

4 總結

以實現對機動目標的精確打擊為背景，基于目標常值指令機動模型，同時考慮目標機動動力學、導彈制導系統動力學及重力影響，推導得到了一種貼近工程應用的改進最優制導律，相比于比例導引律與增強比例導引律，該制導律具有較小的加速度指令需求和制導脫靶量，其制導脫靶量不受目標機動和末導時間的影響，驗證了改進最優制導律對機動目標的攻擊具有較好的性能優勢。本文研究成果將對機動目標打擊和最優制導律研究提供了一定的理論支撐。

[1]ZarchanP.TacticalandStrategicMissileGuidance(SixthEdition) [M].AIAA:ProgressinAstronauticsandAeronautics, 2012.

[2]ShneydorM.AQualitativeStudyofProportionalNavigation[J].IEEETransactionsonAerospaceandElectronicSystems, 1994, 30(1): 637-643.

[3]GilbertT.Tso,RobertN.Lobbia.MultimodeguidanceinAdvancedAir-to-airMissileApplications[C]//AIAAGuidanceNavigationandControlConference, 1986.

[4]BabuKR,SarnlatIG,SwamyKN.TwoVariable-StructureHomingGuidanceShemesWithandWithoutTargetManeuverEstimation[C]//AIAAGuidanceNavigationandControlConference,AZ. 1994: 216-225.

[5]BobergB,LundbergJ,WibergJ,etal.Estimationoftargetlateralaccelerationforaugmentedproportionalnavigation[C]//AIAAConferenceonGuidance,NavigationandControl. 1977: 11-13.

[6]VincentTL,CottrellRG,MorganRW.Minimizingmaneuveradvantagerequirementsforahit-to-killinterceptor[C]//Proc.oftheAIAAGuidance,NavigationandControlConferenceandExhibit, 2001: 1-11.

[7]ZarchanP,GreenbergE,AlpertJ.Improvingthehighaltitudeperformanceoftail-controlledendoatmosphericmissiles[C]//AIAAGuidance,NavigationandControlConferenceandExhibit, 2002: 4770-4780.

[8]GurfilP.Zero-miss-distanceguidancelawbasedonline-of-sightratemeasurementonly[J].ControlEngineeringPractice, 2003, 11(7): 819-832.

[9]HexnerG.Apracticalstochasticoptimalguidancelawforboundedaccelerationmissile[J].JournalofGuidance,ControlandDynamics, 2011, 34(2): 437-445.

[10]HexnerG,WeissH.Temporalmultiplemodelestimatorforamaneuveringtarget[J].AIAAPaper, 2008: 7456.

The Study of Optimal Guidance Law Based on Target Maneuver and Modificatory Dynamics

Zhang Wenyuan1, Guo Tao2, Xia Qunli1, Wen Qiuqiu1

1. Beijing Institute of Technology, School of Aerospace Engineering, Beijing 100081, China 2. Beijing Aerospace Automatic Control Institute, Beijing 100854, China

Aimingattheprecisionattackofmaneuveringtarget,firstly,basedonthetargetstepmaneuveringmode,theSchwartzmethodisusedtoderiveanimprovedoptimalguidancelaw,whichisbasedonthetargetstepmaneuveringmode.Thetargetmaneuverdynamicsandacceleration,guidancesystemdynamicandgravityaccelerationareconsideredanddynamicallycancelledouttheireffectsinguidancelaw.Andthenthestudyofoptimalguidancelaw’saccelerationcommandandguidancemissdistanceisimplemented.Thesimulationresultsshowthelessmissileaccelerationisrequiredinmosttimeofguidanceespeciallyattheendofinterceptbyusingtheoptiamalguidancelawwhichislesssensitivetoerrorscausedbytargetmaneuveringandmissiletime-to-go.Theguidancelawshowssignificantperformancesuperioritywhenmaneuveringtargetisattacked.

Targetmaneuver;Guidancesystemdynamics;Optimalguidancelaw

2013-08-17

張文淵(1987-)，男，陜西蒲城人，博士研究生，主要研究方向為高超聲速飛行器制導與控制技術；郭 濤(1983-)，男，山東臨朐人，博士，工程師，主要研究方向為飛行器總體設計；夏群利(1971-)，男，遼寧撫順人，博士，副教授，主要研究方向為飛行器總體設計，飛行器制導與控制；溫求遒(1982-)，男，桂林人，博士，講師，主要研究方向為飛行器制導與控制技術。

V448.23

A

1006-3242(2016)03-0008-06