一維磁性顆粒鏈內沖擊波傳播特性分析★

張霞　張明　冷鼎鑫（.青島理工大學琴島學院機電工程系，山東　青島　6606；.一汽技術中心傳動部，吉林　長春　0000；.中國海洋大學工程學院，山東　青島　6600）

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一維磁性顆粒鏈內沖擊波傳播特性分析★

張霞1張明2冷鼎鑫3
（1.青島理工大學琴島學院機電工程系，山東青島266106；
2.一汽技術中心傳動部，吉林長春130000；3.中國海洋大學工程學院，山東青島266100）

摘要：針對衰減大型建筑結構受地震波沖擊作用的動力響應問題，提出了一種基于磁性顆粒鏈的耗能裝置，應用理論分析的方法，建立了其在沖擊載荷作用下的動力學方程，依據Maxwell原理，計算了各顆粒間的磁場作用力，采用變步長Runge-Kutta算法，數值求解了顆粒鏈系統的運動方程，模擬研究了沖擊波在一維磁性顆粒鏈中的傳播及衰減特性，結果表明：入射的沖擊波在顆粒鏈內出現了明顯的波分散現象，并且隨著磁場強度的增加，顆粒鏈的能量衰減特性提高。

關鍵詞：磁性顆粒鏈，波傳播特性，能量，磁場

★：中央高校基本科研業務費專項（項目編號：20153054）；中國博士后基金（項目編號：2015M582141）

大型建筑結構受地震波沖擊作用，將遭受巨大的經濟損失和嚴重的人員傷亡。如何能夠有效地保護建筑物免受地震波破壞、設計有效的吸能結構耗散有害能量是近年來研究熱點之一。其中，“能量捕獲”被認為是一種行之有效的方法，其基本思路為：將外部沖擊能量限制在一定區域內，降低從該區域輸出的能量峰值且保證能量緩慢釋放，從而保護關鍵結構免受破壞［1］。由文獻［2］～［4］表明：一維復合顆粒鏈（即各顆粒的質量、形狀、幾何尺寸、材料特性等存在差異）可有效實現對外部載荷的“能量捕獲”。基于拓撲優化及尺寸優化等方法，還可設計出理想的一維顆粒鏈系統，最大程度地降低沖擊載荷峰值［5］。

最近，S-Valdez等學者［6］發現：對一維顆粒鏈施加磁場，入射的孤立波在其內部傳播時，呈現了特殊的“空穴”傳播現象。但是，此文僅通過實驗手段對含有較少磁性顆粒數目的短顆粒鏈進行了研究。為了完整地描述一維磁性顆粒鏈內的沖擊波傳播特性，必須研究由數百個顆粒組成的長顆粒鏈系統，該研究結果可為三維顆粒鏈系統的工程應用提供理論參考。

1　計算模型

圖1　一維磁性顆粒鏈在沖擊載荷作用下的力學模型

一維均質磁性顆粒鏈在沖擊載荷作用下的力學模型如圖1所示。各顆粒的質量為m，直徑為Dpr。距離顆粒鏈尾端x*處，施加一個磁場源，其場強為H。出于計算成本的考慮，顆粒鏈內的顆粒數目取為1 000，即N =1 000。

基于Hertz作用勢可計算相鄰顆粒間的相互作用力，由此可得第i個顆粒的動力學方程為［7］：

其中，ui和ui +1分別表示第i個顆粒和第i +1個顆粒的偏離初始平衡位置的位移；下標“+”表示當兩個顆粒失去接觸后，其相互作用力將瞬時減為0；k為顆粒的彈性系數，其與顆粒的彈性模量E，泊松比μ及直徑Dpr有關。

式（1）中的Fmi為第i個顆粒的磁場力，基于Maxwell原理，可計算得［7］：其中，Vpr為顆粒體積；S1，S2均為磁性系數，分別為：

以上通過解析方法計算的顆粒磁場力與Harpavat學者通過實驗方法測得的磁場力結果一致［8］，確保了理論推導的準確性。式（1）中的Δi為第i個顆粒與第i +1個顆粒之間的磁致壓縮量。

如圖1所示，在初始時刻（t =0）時，對標號為1的顆粒賦予初速度v0，其余各顆粒均處于靜止狀態。此顆粒鏈系統的邊界條件為：固定第N個顆粒的位移及速度值始終為0。即式（1）的初始和邊界條件為：

在數值計算中，設定均質磁性顆粒的直徑為0.2 mm，彈性模量為210 GPa，泊松比為0.3，密度為7 800 kg/m3。定義入射沖擊波的初速度為10 m/s，磁場源與顆粒鏈尾端的距離，x*=30 cm，計算磁場強度分別為2 000 Guass及10 000 Guass下的動力學響應。應用變步長的4～5階Runge-Kutta算法求解顆粒鏈系統的動力學方程，研究沖擊波在顆粒鏈內的傳播及衰減特性。

2　模擬結果與討論

首先，分析沖擊波在一維磁性顆粒鏈中的傳播過程。如圖2所示為沖擊波分別傳播至第100個，第500個，第900個顆粒時，系統內各顆粒的位移分布圖。

由圖2可知：隨著沖擊波在顆粒鏈內傳播，顆粒的位移幅值保持不變。當沖擊波傳播至顆粒鏈尾端時，顆粒與磁場源的距離減少，其所受磁場力增大，顆粒的位移梯度變化增大。

一維磁性顆粒鏈的能量衰減特性可通過能量衰減系數W來衡量：

其中，Ein與Eout分別為外載荷入射及離開顆粒鏈系統的能量。W在2 000 Guass及10 000 Guass磁場強度下分別取0.08和0.02。由此可知：與入射沖擊波能量相比，從磁性顆粒鏈尾端輸出的能量明顯減小。即磁性顆粒鏈系統能夠很好地衰減外部的沖擊載荷。

圖2　沖擊波傳播至顆粒100，500，900時各顆粒的位移分布關系

3　結語

本文通過數值模擬的方法，分析了沖擊波在一維磁性顆粒鏈中的傳播過程及顆粒鏈系統的能量衰減特性。模擬結果表明：當沖擊波傳播至顆粒鏈尾端時，顆粒的位移梯度變化增大。顆粒鏈在磁場作用下可明顯衰減外部的沖擊載荷。該研究結果可為新型緩沖耗能器件的開發提供了重要的參考依據。

參考文獻：

［1］王建平，夏繼宏，劉長松，等.一維復合顆粒鏈中能量衰減的動力學分析［J］.物理學報，2011，60（1）：13-14.

［2］黃德財，陳偉中，楊安娜，等.孤立波在一維復合顆粒鏈中傳播特性的模擬研究［J］.物理學報，2014，63（15）：107-114.

［3］C.Daraio，V.F.Nesterenko，E.B.Herbold，et al.Tunability of solitary wave properties in one-dimensional strongly nonlinear phononic crystals［J］.Physical Review E，2006（73）：26-61.

［4］R.L.Doney，J.H.Gui，S.Sen.Energy partitioning and impulse dispersion in the decorated，tapered，strongly nonlinear granular alignment：A system with many potential applications［J］.Journal of Applied Physics，2009（106）：71-73.

［5］F.Fraternali，M.A.Porter，C.Daraio.Optimal design of composite granular protector［J］.Mechanics of Advanced Materials and Structures，2009，17（1）：1-19.

［6］F.J.S-Valdez，F.P-Vazquez，O.Carvente，et al.Acoustic gaps in a chain of magnetic spheres［J］.Physical Review E，2010 （81）：11-31.

［7］黃德財，馮耀東，解為梅，等.顆粒密度對旋轉筒內二元顆粒體系分離的影響［J］.物理學報，2012，61（12）：24-50.

［8］G.Harpavat.Magnetostatic forces on a chain of spherical beads in a non-uniform magnetic field［J］.Magnetics，IEEE Transactions on，1974，10（3）：919-922.

中圖分類號：O302

文獻標識碼：A

文章編號：1009-6825（2016）06-0036-03

收稿日期：2015-12-16

作者簡介：張霞（1959-），女，副教授

The impact wave propagation characteristics in one-dimensional magnetic granular chain★

Zhang Xia1Zhang Ming2Leng Dingxin3
（1.Department of Mechanical and Electrical Engineering，Qingdao Technological University，Qindao College，Qingdao 266106，China；
2.Transmission Section，China Faw Group Corporation R&D Center，Changchun 130000，China；
3.Department of Mechanical Engineering，Ocean University of China，Qingdao 266100，China）

Abstract：Aiming at attenuating earthquake to the structure，the energy absorber of magnetic granular chain is proposed.By theoretical method，the dynamic equations of the one-dimensional magnetic granular chain are established.The magnetic force of each magnetic particle is calculated by Maxwell theory.The dynamic equations are solved by variable-step Runge-Kutta algorithm.The wave propagation characteristics and the energy decay capacities in magnetic granular chain are investigated.The results show that the incident wave is intermediately transferred into a series of waves in small-amplitude.Additionally，the energy decay capacities of the magnetic granular chain are enhanced with the increasing magnetic field strength.

Key words：magnetic granular chain，wave propagation characteristics，energy，magnetic field