算子Dunkl-Williams型不等式

阮杰昌，胡志軍

(1.宜賓職業技術學院,四川宜賓 644003；2.廣西師范大學數學與統計學院,廣西桂林 541004)

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算子Dunkl-Williams型不等式

阮杰昌1，胡志軍2

(1.宜賓職業技術學院,四川宜賓 644003；2.廣西師范大學數學與統計學院,廣西桂林 541004)

[摘要]本文的目的在于討論和經典Dunkl-Williams型不等式相類似的算子不等式，經過分析我們得到了幾個算子Dunkl-Williams型不等式，并將其與現有的不等式進行了比較，所得結果是前期結果的推廣和改進。

[關鍵詞]Dunkl-Williams不等式；算子不等式；算子絕對值

1算子Dunkl-Williams簡介

(1.1)

|A|A|p-1-B|B|p-1|2≤|A|p-1(r|A-B|2+s(|B|p|A|1-p-|B|)2)|A|p-1.

(1.2)

不等式(1.2)是下面算子不等式的推廣：

|A|A|-1-B|B|-1|2≤|A|-1(p|A-B|2+q(|A|-|B|)2)|A|-1.

首先給出不等式(1.2)的一個改進，同時，也得到了算子p-角距離|A|A|p-1-B|B|p-1|2的一些下界估計.

2主要結果

首先給出不等式(1.2)的一個改進.

定理2.1設A,B∈B(H)且|A|,|B|可逆，λ∈[0,1].若1

(2.1)

若r>2,則

(2.2)

證明由文獻[7]中的定理2.1可知，當λ∈[0,1]時，若1

|A-B|2≤r|A|2+s|B|2-((s-1)(1-λ)+λ)|(1-r)A-B|2.

(2.3)

注意到

將不等式(2.3)作用到算子(A-B)|A|p-1和B(|A|p-1-|B|p-1)上，可得

=r|A|p-1|A-B|2|A|p-1+s(|B|p-1-|A|p-1)|B|2(|B|p-1-|A|p-1)

=|A|p-1(r|A-B|2)|A|p-1+s(|A|1-p|B|p-|B|)(|B|p|A|1-p-|B|))|A|p-1

=|A|p-1(r|A-B|2|A|p-1+s(|A|1-p|B|p-|B|)(|B|p|A|1-p-|B|))|A|p-1

同時，由文獻[7]中的定理2.1可知，當λ∈[0,1]時，若r>2，則對于任意的A,B∈B(H)，有

|A-B|2≤r|A|2+s|B|2-((r-1)λ+1-λ)|A-(1-s)B|2.

(2.4)

將不等式(2.4)作用到(A-B)|A|p-1和B(|B|p-1-|A|p-1)上，可得

注2.1在不等式(2.1)中，若令λ=1，則有

這顯然是不等式(1.2)的一個改進.同樣地，在不等式(2.2)中，若令λ=0，則有

同時，這也是不等式(1.2)的一個改進.

定理2.2設A,B∈B(H)且|A|,|B|可逆，λ∈[0,1].若1

(2.5)

若r>2，則

(2.6)

證明由文獻[7]中的定理2.1可知，當λ∈[0,1]時，若1

r|A|2+s|B|2-((r-1)λ+1-λ)|A-(1-s)B|2≤|A-B|2.

(2.7)

將不等式(2.7)作用到(A-B)|A|p-1和B(|B|p-1-|A|p-1)上，可得

同時，由文獻[7]中的定理2.1可知，當λ∈[0,1]時，若r>2，則對于任意的A,B∈B(H)，有

r|A|2+s|B|2-((s-1)(1-λ)+λ)|(1-r)A-B|2≤|A-B|2.

(2.8)

將不等式(2.4)作用到(A-B)|A|p-1和B(|B|p-1-|A|p-1)上，可得

注2.2在不等式(2.5)中，若令λ=0，則有

同樣地，在不等式(2.6)中，若令λ=1，則有

注2.3由注2.1和2.2，有如下雙向不等式：

若1

若r>2，則

[參考文獻]

[1]C.F.Dunkl,K.S.Williams.A simple norm inequality[J].Amer.Math.Monthly,1964(71):53-54.

[2]L.Maligranda.Simple norm inequalities[J].Amer.Math.Monthly,2006(113):256-260.

[4]F.Dadipour,M.S.Moslehian.Dunkl-Williams inequality for operators associated with p-angular distance[J].Nihonkai Math.J.,2010(21):11-20.

[5]F.Dadipour,M.S.Moslehian.An approach to operator Dunkl-Williams inequalities Publ[J].Math.Debrecen, 2011(79):109-118.

[7]L.Zou,C.He.On operator Bohr type inequalities[J].Math.Inequal,2014(17):1161-1169.

Dunkl-Williams Type Inequalities for Operators

RUAN Jie-chang1,HU Zhi-jun2

(1.Basic Education Department,Yibin Vocational and Technical College,Yibin Sichuan 644003,China;2.College of Mathematics and Statistics,Guangxi Normal University,Guilin Guangxi 541004,China)

Abstract:The purpose of this paper is to discuss inequalities related to operator versions of theclassical Dunkl-Williams inequality. We obtain some Dunkl-Williams type inequalities for operator. Our results are generalizations and refinements of some existing ones.

Key words:Dunkl-Williams inequality; operator inequality; operator absolute value

[收稿日期]2016-04-07

[作者簡介]阮杰昌(1982- ),男，講師，碩士研究生，從事計算數學研究。

[中圖分類號]O178；O177.1

[文獻標識碼]A

[文章編號]2095-7602(2016)06-0026-03