脈沖時(shí)滯系統(tǒng)的嚴(yán)格φ0-穩(wěn)定性

張春芳，朱　煉，張傳俊

(安徽工商職業(yè)學(xué)院電子信息系，安徽合肥 230041)

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脈沖時(shí)滯系統(tǒng)的嚴(yán)格φ0-穩(wěn)定性

張春芳，朱煉，張傳俊

(安徽工商職業(yè)學(xué)院電子信息系，安徽合肥 230041)

[摘要]本文研究了脈沖時(shí)滯系統(tǒng)的嚴(yán)格φ0-穩(wěn)定性，利用錐值Lyapunov函數(shù)法和比較原理得到了脈沖時(shí)滯系統(tǒng)零解的嚴(yán)格一致φ0-穩(wěn)定，嚴(yán)格一致漸近φ0-穩(wěn)定的充分條件。

[關(guān)鍵詞]錐值Lyapunov函數(shù)；嚴(yán)格一致φ0-穩(wěn)定性；嚴(yán)格一致漸近φ0-穩(wěn)定

脈沖系統(tǒng)是一般系統(tǒng)理論的一個(gè)重要分支，在控制系統(tǒng)、信息科學(xué)、利率控制、航天技術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.近年來(lái)，眾多數(shù)學(xué)家和科研學(xué)者對(duì)脈沖系統(tǒng)進(jìn)行研究.對(duì)于脈沖系統(tǒng)φ0-穩(wěn)定性的研究已有一些成果[1-6]，陳晨[7]對(duì)嚴(yán)格實(shí)用穩(wěn)定性進(jìn)行研究，鮑俊艷[8]、夏正威[9]對(duì)嚴(yán)格穩(wěn)定性進(jìn)行研究.但是嚴(yán)格φ0-穩(wěn)定性的研究卻不多，Zhang[10]對(duì)脈沖時(shí)滯系統(tǒng)的嚴(yán)格漸近穩(wěn)定性提出了一些見(jiàn)解，張春芳[11]直接利用Lyapunov函數(shù)得到了變脈沖時(shí)滯系統(tǒng)的嚴(yán)格穩(wěn)定性結(jié)果，但實(shí)際中不好實(shí)現(xiàn).本文利用錐值Lyapunov函數(shù)和比較原理，在較弱的條件下得到了脈沖時(shí)滯系統(tǒng)的嚴(yán)格φ0-穩(wěn)定性，拓展了文獻(xiàn)[1-6]中的應(yīng)用，克服了文獻(xiàn)[11]中的困難.

考慮固定時(shí)刻脈沖時(shí)滯系統(tǒng)：

(1)

對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)(1),考慮如下的比較系統(tǒng)

(2)

(3)

定義3[4]函數(shù)V:[t0,∞)×S(ρ)→R+如果滿足以下條件，則稱V是屬于υ0類(lèi)的：

(ⅰ)V在(tk-1,tk]×S(ρ)上是連續(xù)的，并且對(duì)所有的t≥t0,V(t,0)≡0；

(ⅱ)V(t,x)對(duì)x∈S(ρ)關(guān)于x滿足局部Lipschitz穩(wěn)定；

(ⅲ)對(duì)所有的k=1,2,…,以下式子都成立：

定義4[5]脈沖時(shí)滯系統(tǒng)(1)的平凡解被稱為是嚴(yán)格一致穩(wěn)定的，如果對(duì)于任意的t≥t0和ε1>0，存在一個(gè)δ1=δ1(ε1)>0，滿足當(dāng)φ∈PC1(δ1),‖x0‖<δ1時(shí)，有‖x(t;t0,φ)‖<ε1,t≥t0．同時(shí)，對(duì)于任意的0<δ2≤δ1,存在0<ε2<δ2，滿足當(dāng)φ∈PC2(δ2)時(shí)有‖x(t;t0,φ)‖>ε2,t≥t0．

定義5脈沖時(shí)滯系統(tǒng)(1)的平凡解被稱為是嚴(yán)格φ0-穩(wěn)定的，如果對(duì)于任意的t≥t0和ε1>0，存在一個(gè)δ1=δ1(ε1)>0，滿足當(dāng)φ∈PC1(δ1),(φ0,x0)<δ1時(shí)，有(φ0,x(t;t0,φ))<ε1,t≥t0.

定義6脈沖時(shí)滯系統(tǒng)(1)的平凡解被稱為是嚴(yán)格漸近φ0-穩(wěn)定的，如果對(duì)于任意的ε1>0和δ1>0,當(dāng)(φ0,u0)<δ1時(shí)，有(φ0,u1(t))<ε1；同時(shí),對(duì)于0<δ2≤δ1,存在0<ε2<δ2，滿足當(dāng)(φ0,u0)>δ2時(shí),有(φ0,u2(t))>ε2.在φ∈PC1(δ1)∩PC2(δ2)時(shí)，有ε2<(φ0,x(t;t0,φ))<ε1,t0+T1≤t≤t0+T2.

在證明之前，引入以下符號(hào)：

Ω={P∈C[R+,R+]:P(s)>0,s>0,P(0)=0};

PC1(ξ1)={φ∈PC([-τ,0],Rn):|φ|1<ξ1};

PC2(ξ2)={φ∈PC([-τ,0],Rn):|φ|2>ξ2}.

定理1假設(shè)下面的條件成立：

(A1)V1(t,0,0)=0,V2(t,0,0)=0,V1(t,x(t)),V2(t,x(t))相對(duì)于K來(lái)說(shuō)關(guān)于x(t)滿足局部Lipschitz穩(wěn)定；

(A3)D+(φ0,V1(t,x(t)))≤0；

(A5)D+(φ0,V2(t,x(t)))≥0.

則系統(tǒng)(1)的零解是嚴(yán)格一致φ0-穩(wěn)定的．

根據(jù)上面幾個(gè)式子和條件(A2)得，β1(φ0,x(t;t0,φ))≤(φ0,V1(t,x(t;t0,φ)))<β1(ε1).所以，(φ0,x(t;t0,φ))<ε1,t≥t0.

設(shè)0<δ2≤δ1，存在一個(gè)0<ε2<δ2，根據(jù)條件(A5)，當(dāng)φ∈PC2(δ2)時(shí)，有(φ0,V2(t,x(t)))≥(φ0,V2(t0,x0)).

根據(jù)上面幾個(gè)式子和條件(A4)可以得到α2(φ0,x(t;t0,φ))≥(φ0,V2(t,x(t;t0,φ)))>α2(ε2)，所以(φ0,x(t;t0,φ))>ε2,t≥t0.

可見(jiàn)，系統(tǒng)(1)的零解是嚴(yán)格φ0-穩(wěn)定的，我們要得到的是系統(tǒng)(1)的零解的嚴(yán)格一致φ0-穩(wěn)定性，利用條件(A2)和(A4)得到β1(φ0,x(t))≤(φ0,V1(t,x(t)))≤(φ0,V1(t,x0))≤α1(φ0,x0);β2(φ0,x0)≤(φ0,V2(t,x0))≤(φ0,V2(t,x(t)))≤α2(φ0,x(t)),t≥t0.

即系統(tǒng)(1)的零解是嚴(yán)格一致φ0-穩(wěn)定的.

定理2假設(shè)定理1中的條件都成立，并且滿足以下條件：

(A6)D+V1(t,x(t))≤G1(t,V1(t,x(t)))；

(A7)D+V2(t,x(t))≥G2(t,V2(t,x(t))),G2(t,u)≤G1(t,u),G1(t,0)=G2(t,0).

其中，G1(t,u)和G2(t,u)在K中關(guān)于u是單調(diào)非減的．如果比較系統(tǒng)(2)和(3)的解是嚴(yán)格一致漸近φ0-穩(wěn)定的，則原系統(tǒng)(1)的解也是嚴(yán)格一致漸近φ0-穩(wěn)定的．

令α1[(φ0,x0)]=(φ0,u1(t0)),α1(δ1)=δ0.則當(dāng)(φ0,x0)<δ1和(φ0,u1(t0))=α1[(φ0,x0)]<α1(δ1)=δ0同時(shí)成立的情況下，可以得到(φ0,x0)<δ1,(φ0,V1(t,x0))≤β1(ε1).

再根據(jù)條件(A6)和(A7)，則V1(t,x(t))≤r1(t;t0,u0),V2(t,x(t))≥r2(t;t0,u0),t≥t0.

(φ0,V1(t,x(t)))≤(φ0,V1(t0,x(t0)))≤(φ0,r1(t;t0,u0))<β1(ε1),

(4)

(φ0,V2(t,x(t)))≥(φ0,V2(t0,x0))≥(φ0,r2(t;t0,u0))≥α2(ε2),t∈[t0+T1,t0+T2].

(5)

由條件(A2)和(A4)，式(4)和(5)可以得到如下的不等式：

β1(φ0,x(t))≤(φ0,V1(t,x(t)))<β1(ε1);α2(φ0,x(t))≥(φ0,V2(t,x(t)))>α2(ε2),t∈[t0+T1,t0+T2].

故δ2<(φ0,x0)<δ1時(shí)，ε2<(φ0,x(t;t0,φ))<ε1,t∈[t0+T1,t0+T2].所以，如果比較系統(tǒng)(2)和(3)的解是嚴(yán)格一致漸近φ0-穩(wěn)定的，則原系統(tǒng)(1)的解也是嚴(yán)格一致漸近φ0-穩(wěn)定的.

[參考文獻(xiàn)]

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[3]Akpan,E.P,Akinyele,O.On the φ0-stability of comparison differential systems[J].Journal of Mathematical Analysis Applications[J].1992,164(2):307-324.

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[7]葉凱麗,宋強(qiáng),陳晨.一類(lèi)非線性微分系統(tǒng)的嚴(yán)格實(shí)用穩(wěn)定性研究[J].信陽(yáng)師范學(xué)院:自然科學(xué)版,2014(1):25-28.

[8]鮑俊艷,高春霞,葛志英.脈沖交互集值微分系統(tǒng)的嚴(yán)格穩(wěn)定性[J].河北大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2013,33(1):5-9.

[9]夏正威.基于時(shí)間尺度的動(dòng)力系統(tǒng)的嚴(yán)格穩(wěn)定性分析[J].科學(xué)技術(shù)與工程,2012,12(28):7153-7158.

[10]Zhang C F,Cui B T.Strict asymptotic stability of impulsive systems with time delay[J].Dynamics of Continuous,Discrete and Impulsive System, Series A: Mathematical Analysis,2006(13):960-967.

[11]張春芳,崔寶同.時(shí)變脈沖時(shí)滯微分系統(tǒng)的嚴(yán)格穩(wěn)定性[J].科學(xué)技術(shù)與工程,2006,6(20):3334-3336.

Strict φ0-stability of Impulsive Differential Systems with Time Delay

ZHANG Chun-fang, ZHU Lian, ZHANG Chuan-jun

(Department of Electronic Information, Anhui Business Vocational College, Hefei Anhui 230041, China)

Abstract:The strictφ0-stability of impulsive differential systems with time delay is considered, some sufficient conditions of strict uniformφ0-stability and strict uniform asymptoticφ0-stability for impulsive differential systems with time delay are obtained via cone-valued Lyapunov function and comparison principle.

Key words:Cone-valued Lyapunov function; Strict uniformφ0-stability; Strict uniform asymptoticφ0-stability

[收稿日期]2016-03-04

[基金項(xiàng)目]安徽省高等學(xué)校自然科學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目“基于復(fù)雜系統(tǒng)脆性理論的超導(dǎo)陀螺儀的可靠性研究”(KJ2015A450)；安徽省高等學(xué)校自然科學(xué)研究一般項(xiàng)目“基于車(chē)聯(lián)網(wǎng)中無(wú)線傳輸?shù)钠?chē)胎壓監(jiān)測(cè)系統(tǒng)在校園內(nèi)的實(shí)現(xiàn)研究”(KJ2016B001)。

[作者簡(jiǎn)介]張春芳(1982- )，女，講師，碩士，從事脈沖時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究。

[中圖分類(lèi)號(hào)]O175.21

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]2095-7602(2016)06-0022-04