具有免疫反應的時滯HIV模型的穩定性

田海燕，郭建敏，郭彩霞

(大同大學數學與計算機科學學院，山西大同 037009)

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具有免疫反應的時滯HIV模型的穩定性

田海燕，郭建敏，郭彩霞

(大同大學數學與計算機科學學院，山西大同 037009)

[摘要]本文建立了具有免疫反應的時滯HIV動力學模型，討論了系統解的非負性和有界性，最后通過構造適當的Lyapunov函數，應用LaSalle不變原理，證明了無病平衡點是全局漸近穩定的。

[關鍵詞]病毒感染；全局穩定性；免疫反應；李雅普諾夫函數

1建立模型

目前，傳染病仍然是人類身體健康的一大公敵，因為一些傳染病傳播速度之快，直接影響到人類的生存和發展.人類免疫缺陷病毒HIV是一種感染人類免疫系統細胞的慢性病毒，屬于反轉錄病毒的一種.1983年，人類免疫缺陷病毒在美國首次被發現，該病毒破壞人體的免疫能力，導致免疫系統失去抵抗力，從而導致各種疾病得以在人體內生存，發展到最后就導致艾滋病.HIV主要攻擊人體的輔助T淋巴細胞系統，一旦侵入機體細胞，病毒將會和細胞整合在一起終生難以消除.因此，建立傳染病的動力學模型，研究其發病原因和流行規律，尤其是找尋相應的防治措施和預防策略，已然成為當今世界迫切解決的一個重大問題.目前，國內外諸多學者在這方面做了大量的研究[1-8].為了描述易感染細胞、感染細胞以及病毒顆粒之間的關系，早在1996年，學者就建立了如下基本的病毒動力學模型[4]：

(1)

其中，x,y,z分別表示易感染細胞、受感染細胞以及病毒顆粒的數量.感染細胞的產生速率是常數λ，死亡速率為ax，易感染細胞被感染的速率為βxz，受感染細胞的死亡率為by.被感染細胞死亡后，以速率cy產生病毒顆粒，病毒顆粒的死亡率為dz.所有系數為正.

考慮到病毒產生時存在時滯，并且對于細胞的感染率多考慮的是雙線性函數，因此，文獻[6]建立了如下的時滯動力學模型：

(2)

然而，要為病毒感染提供更精確的模型，考慮免疫反應必不可少.免疫系統中對病毒感染有影響的兩個主要反應是細胞免疫和體液免疫. 細胞免疫中毒性T淋巴細胞在病毒防御中起著關鍵的作用， 因為毒性T淋巴細胞可以攻擊并殺死被感染細胞，而體液免疫是基于B細胞產生的抗體來攻擊并殺死被感染細胞.在一些病毒感染中，文獻[7-8]表明，細胞免疫比體液免疫效果更好.本文在模型(2)的啟發下，建立了如下考慮CTL的免疫作用的時滯動力學模型：

(3)

2基本性質

假設系統(3)的初值為

x0=x(0)>0,y0=y(0)≥0,v0=v(0)≥0,z0=z(0)≥0.

根據泛函微分方程的基本理論，在上述初始條件下可得如下結論.

定理1在上述初始條件下，系統(3)的所有解都是非負的，并且一致有界，即存在M>0,使得x(t)

證明解由系統(3)的每一個方程，得到

顯然x(t)>0,z(t)≥0.若y(t)>0,則有v(t)>0成立.下面證明y(t)>0.

=s-de(t).

3無病平衡點的穩定性分析

證明構造Lyapunov函數如下：

結合系統(3)，有

4結論

本文討論了一類具有免疫反應的時滯HIV動力學模型，給出了在給定的初始條件下模型解的非負性和有界性. 最后利用Lyapunov函數方法，應用LaSalle不變原理，證明了當基本再生數R0<1時，無病平衡點全局漸近穩定.

[參考文獻]

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[8]李素梅,羅勇,胡亦鄭.一類考慮CTL免疫反應的病毒動力學模型的定性分析[J].生物數學學報,2013,28(1):164-168.

The Stability of a Delay HIV Dynamics Model with Immune Response

TIAN Hai-yan, GUO Jian-min, GUO Cai-xia

(School of Mathematics and Computer Science, Datong University, Datong Shanxi 037009, China)

Abstract:In this paper,we built a delay HIV dynamics model with immune response.By constructing suitable Lyapunov functions and applying LaSalle’s invariance principle，we have proven that the infection-free equilibrium is globally asymptotically stable.

Key words:virus infection; global stability; immune response; Lyapunov function

[收稿日期]2016-03-11

[基金項目]國家青年科學基金項目“糾纏及糾纏之外的量子關聯刻畫”(11301312)；山西大同大學青年科學基金項目“分數階差分方程邊值問題解的存在性”(2014Q10)；山西大同大學青年科學基金“高階時滯微分方程的振動性與漸進性研究”(2015K5)。

[作者簡介]田海燕(1984- )，女，助教，從事微分方程研究。

[中圖分類號]O175

[文獻標識碼]A

[文章編號]2095-7602(2016)06-0009-04