函數極限的幾種簡單求法

（內蒙古電子信息職業技術學院，內蒙古 呼和浩特 010070）

引言

極限是高等數學中最基本、最重要的內容，在高等數學的多數重要概念和方法；如函數的連續性、導數、微分、積分以及級數等無一不是以極限為基礎引入的，可以說沒有極限就沒有高等數學。所以人們說極限是高等數學中最基礎，是初等數學升入高等數學的臺階。

在高職院校，高等數學是被當做學校專業課的基礎和工具課程來開設的，因此在高等數學教學中極限的求法有種特別重要的地位和作用。本文專門討論高職高等數學課程中遇到的極限的幾種常見求法以及各種求法中的具體求解過程中應該注意事項。

一、極限的求法及求解時該注意事項

1.直接代入法

直接代入法是求極限的最基本的方法。這里所說的代入法是指用極限的定義，直接把x的趨向的值x0代入極限式中，求出極限即可。代入法實際上就是對極限定義的直接運用。例如顯然代入法簡單易學，但它只適用于較簡單的極限的運算，對于型等常見未定式極限，只用代入法求不出極限。

2.消公共因子法

消公共因子法常用于”型未定式極限，它的解題思路是消除公共因子（一般是零因子），如:

3.分子有理化法

4.用X最高次冪同除分子分母法

對于分子分母都是多項式的“型未定式極限，常用x的最高次冪同除分子分母的方法能較容易求出極限。如本方法適用于x→∞的極限。

5.通分法

6.利用兩個重要極限的方法

7.等價無窮小量代換法

在高職階段的高等數學中，當 x→0時常見以下幾個等價無窮小量在極限求解過程中，無窮小量之間互相代換之后能起到很好的效果。

如由以上例題可見，用無窮小量之間等價代換之后，很多極限的計算變得簡單,但用這個方法時一定要注意僅當 x→0時才能用，且兩個無窮小量之間相互加減運算時，一般不能進行等價代換。如

8.用羅必達法則求法

羅必達法則是利用導數求極限的方法，它的表達式為

如用羅必達法則求極限對“型極限有效外，對型極限也可以通過簡單轉化成“之后也可以計算。

（注意在這里用羅必達法則兩次）。

用羅必達法則求極限時，可以不管還是 x→∞，只要滿足存在，且 F ′(x)≠0，函數F (x ),Φ(x)在x0處可以要可微，甚至x0處不連續，只要型未定式極限都可以用羅必達法則來求極限。并且在一道題內可以應用多次使用該法則。

二、結束語

求極限方法很多，且各有長處。從總體上看，具體求極限時，如果不是型的未定式極限，用代入法求即可；如果是型未定式極限，用羅必達法則為首選方法；對于“0 ?∞ ”或“ ∞-∞”型的未定式極限先把它化成“型之后用羅必達法則計算；對于或類似的極限用重要極限為較好。需要說明的是羅

必達法則相對簡單，所以是首選方法，但它也不是萬能的，對于個別

型極限的計算中也有困難。

總之，根據具體題型靈活交叉運用上述各種求極限的方法是求極限的最好途徑。

[1]鄒豪思 馮尚 主編 《高等數學》內蒙古大學出版社2008年7月

[2]傅英定 鐘守銘 主編 《高等數學》電子科技大學出版社2007年2月