向量數量積中幾類典型問題的應用解析

（遼寧本溪縣高級中學，遼寧 本溪 117000）

一、利用向量數量積來求解圓錐曲線問題：

例1：已知拋物線C: y2=8x的焦點為F，直線y=x-6與C交于A，B兩點，則cos∠AFB=______

解：聯立方程消y得進一步解得x=2，x=18不妨記分別位于x軸的下方與上方，易求焦點坐標為于是向量利用向量數量積公式

故選擇答案D

評析：解此題的關鍵是利用向量數量積公式其中θ為的夾角。

例2：已知平面上一定點 C(2 ,0)和直線 l: x=8,P為該平面上得一動點，作 PQ⊥l,垂足為Q且

（1）求動點P的軌跡方程。

（2）若EF為圓的任一條直徑，求的取值范圍。

解：（1）設點P(x, y),則易得Q(8,y).由條件得即化簡得所以點P在橢圓上，其方程為

媳婦總算把活干完了，擦著手走進屋來。哥們兒朝洛蒙精神起來，關掉手機里的游戲，在朦朧的燈光里看著她。此刻媳婦對他來說就是饑餓中的一盆噴香的饃，暑熱里的一瓶冰鎮可樂。媳婦卻不知著急。她磨磨蹭蹭地走到床前，抹抹床單，整理整理被子，在床前站了一會兒，像是在思量著什么。總算舉起胳膊脫身上的衣服。可是把T恤卷起來剛脫到腋窩那兒，突然停下來。

（2）因為

P為橢圓上得任意一點，設為則有又圓心的坐標為 N (0 ,1),所以因為所以當取最大值20；當取最小值從而的取值范圍是

評析：平面向量與平面解析幾何交匯的題目，涉及向量數量積的基本運算、利用數量積的求解確定曲線的軌跡方程、直線與圓、直線與橢圓中求最值等系列問題。解決此類問題的關鍵點是從向量的坐標運算入手，利用坐標法解決相應的問題。

二、利用向量數量積來證明不等式

例3：設求證

證明θ 為的夾角，則向量數量積不等式成立。整理得

因為易得

評析：利用向量數量積公式其中θ 為的夾角。易得等 號成立的條件是向量共線且同方向時成立。正是利用此不等式，可以巧妙的證明例2的結論。進一步，利用向量數量積不等式易得到著名的Cauthy-Schwarz不等式，即對任意的兩組正數成立，其中等號成立的條件是ai= kbi, k > 0,i = 1,2,…,n.

例4：（2008全國高考卷）若直線通過點 M (c osα,sinα)，則__

評析：令利用向量數量積不等式

很容易得出D為正確答案。

三、綜合應用型

例5：（2013全國高考理科卷）如圖，AB是圓的直徑，PA垂直于圓所在的平面，C是圓上的點。

（1）求證：平面PAC ⊥平面PBC

（2）若AB = 2, AC = 1,P A =1,求二面角 C- PB -A的余弦值。

解：（1）由題意，P A⊥平面ABC，B C∈ 平面ABC故 P A⊥BC.又AB是圓的直徑，故即AC⊥BC.而 PA∩AC=A,所以 BC⊥ 平面PAC，又 BC∈平面PBC從而平面PAC ⊥平面PBC，證畢。

（2）如下建立空間直角坐標系，以點A為原點，過A點做BC的平行線為x軸，AC所在直線為y軸，AP所在直線z為軸。由AB = 2,A C = 1,P A =1,可知 ΔPAC 為等腰直角三角形，且則易知

設平面PBC與平面PAB的法向量分別為又可分別得進一步整理得可取特殊值由此可知且二面角 C - PB -A的余

評析：空間解析幾何問題是高考必考的一個知識點，在解決這類問題時可采用建立空間直角坐標系的方法，利用向量之間的性質關系運算易得兩個平面上相應的法向量，進一步求得兩個法向量間的夾角余弦值而相應得到兩個平面所成的二面角的余弦值。這是一種十分簡便實用的方法，希望大家在做題之中要有更加深刻的理解并達到熟練掌握的程度。