一節數學課上關于分類討論思想的學習

（呼和浩特市土默特學校，內蒙古 呼和浩特 010010）

在《新課程標準》中關于基本理念的敘述中指出：數學是人們生活、勞動和學習必不可少的工具；數學為其他科學提供了語言、思想和方法，是一切重大技術發展的基礎；數學在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和創造力方面有著獨特的作用。分類思想，在我們的實際生活中經常用到，比如學生對書籍或一些物品的整理，教科書上對各章節的劃分……。通過分類處理，可以讓事物變得更有條理性，事物之間的關聯更加的清晰，而分類討論的能力也可以讓我們的邏輯思維更清楚，分析問題的能力得到訓練。

根據新課程標準的要求，通過初中數學的學習，學生對方程、類比、分類討論、建模等數學思想方法應有一定的感知，并能在解題過程中進行應用，這是對學生提出的較高學習要求。就這些概念本身而言的是比較抽象，也并不要求學生對概念進行記憶。因此，學生只有在新知識的習得過程中、知識的應用中去體會、感悟它們，才能理解并掌握。

分類討論的思想方法，它一直貫穿于初中數學知識。從教材內容的安排上來看，初中數學知識分代數、幾何、概率、統計四大部分，采用不同的方法進行研究，從各部分內容來看，如代數中實數的分類、式的分類、方程的分類、函數的分類等，這都是分類思想的表現。通過了解學習內容，讓學生在初中的第一堂課就感受當數學思想方法的運用，同時，通過學習內容的分類，使學習的難度有了一定的層次，每一節內容的學習目標更具體，便于生對知識的掌握。

初中數學內容中分類討論的思想主要表現在以下幾個方面：母系數或絕對值符號的運算，如，解方程 ax>1時，應分為：當a＞0時（1）含字當a＜0時，一次函數的截距和斜率對圖象位置的影響，如，一次函數y =kx +b，當 k＞0，b＞0 時，圖象過一、二、三象限，當 k＞0,b＜0 時，圖象過一、三、四象限，當 k＜0,b＞0 時，圖象過一、二、四象限，當 k＜0,b＜0 時，圖象過二、三、四象限，由于字母系數的取值和絕對值符號去掉后會有不同結果，因此需要分類討論。（2）一些概念和定理的論證過程包含了多種情況，如，三角形按邊長分類為：

還有角的分類，多邊形的分類，圓周角定理的證明等。（3）有些數學問題，盡管結果一樣，但由于每種結果的分類依據不同，也要分類討論，如，有理數可按定義分為：

在人教版八年級上《等腰三角形》的一次習題課中，學生碰到了這樣一些問題：

1、一等腰三角形的一個底角是40°，求另外兩個角的度數。

2、一等腰三角形的一個頂角是40°，求另外兩個角的度數。

3、一等腰三角形的一個內角是40°，求另外兩個角的度數。

前兩個問題學生能夠很快地找出答案，但在回答第三個問題時，一部分學生有了質疑：這個已知的角是頂角還是底角？通過討論，學生很快分析得出，這個角可能是頂角，也可能是底角。因此，這里有兩種情況。通過這幾個練習讓學生初步體會到分類思想的用途。

4、一等腰三角形的一個內角是100°，求另外兩個角的度數。

5、一等腰三角形的兩邊分別是6,3，求這個三角形的周長。

6、已知等腰三角形的周長是24，一邊長為6，則另兩邊的長是多少？

7、已知等腰三角形的周長是24，一邊長為10，則另兩邊的長是多少？

有了前面的問題做鋪墊，學生很自然的在處理這兩個題目時都會進行分情況（分類）處理，但會發現有些情況是不符合題意的，應當舍去。

8、一等腰三角形的周長是16，兩邊之差為2.求它的三邊長各是多少？

通過思考，學生們很快就提出了解法：

①設腰長為x，則：x+x+x+2=16,解得：x=。三邊長分別為，，。

②設底邊長為x，(x-2)+(x-2)+x=16,解得：x=。三邊長分別為，，。

這是出現了兩種相同的結果。問題出在哪兒？

經過討論，又有學生提出：

③設腰長為x，則：x+x+x-2=16,解得：x=。三邊長分別為6,4。

④ 設腰長為 x，則：（x+2）+(x+2)+x=16,解得：x=。三邊長分別為。

再次出現了同樣的問題。通過學生幾分鐘的觀察思考，就有學生發現了問題所在：這四種解法中實際上就包含了兩種情況：①底邊比腰長多2；②腰長比底邊多2。因而，分類不應該是以設不同的量（腰或底）為依據來進行求解。

到這里，一個教學環節結束，讓學生們回過頭再來看看這幾個問題給大家帶來的注意點，不難得出：

（1）在幾何知識中，我們也會遇到分類討論的問題，即：問題的答案不唯一；

（2）在分類的幾種情況總，允許有不合題意的結論被排除；

（3）分類時，一定要找準分類的依據，以便做到不重不漏。

當然，分類討論思想的應用在后繼的學習中還會出現，要能準確應用，要求學生具有較強的分析、整理能力和嚴密的邏輯思考。這一能力的養成，并不是一節課就能夠達到的，需要通過一定量練習的點滴滲透、積累、概況和歸納才能形成，這也是初中階段學習應養成的一種數學能力，在教學過程中不容忽視。

[1]數學課程標準研制組編寫.全日制義務教育數學課程標準(實驗稿)解讀.北京：北京師范大學出版社，2002.5.第1版