REV尺度多孔介質格子Boltzmann方法的數學模型及應用的研究進展

張瀟丹，雍玉梅，李文軍，趙元生，李媛媛，楊巧文，楊超

（1中國礦業大學（北京）化學與環境工程學院，北京 100083；2中國科學院過程工程研究所綠色過程與工程重點實驗室，北京 100190；3華北科技學院環境工程學院，河北 廊坊 065201；4中國石油化工研究院渣油加氫實驗室，北京 102200）

?

REV尺度多孔介質格子Boltzmann方法的數學模型及應用的研究進展

張瀟丹1，2，雍玉梅2，李文軍3，趙元生4，李媛媛2，楊巧文1，楊超2

（1中國礦業大學（北京）化學與環境工程學院，北京 100083；2中國科學院過程工程研究所綠色過程與工程重點實驗室，北京 100190；3華北科技學院環境工程學院，河北 廊坊 065201；4中國石油化工研究院渣油加氫實驗室，北京 102200）

摘要：綜述了多孔介質表征體元尺度（REV）格子Boltzmann模型的研究進展，根據對多孔介質處理方式主要分為部分反彈模型和阻力模型兩類，分析歸納了各類模型的優缺點。由于阻力模型中滲流的廣義格子Boltzmann方程（GLBE）的作用力是基于GUO等的作用力模型，可以準確得到宏觀方程，不存在離散誤差，且模型的平衡分布函數和作用力項中都包含反應介質特性的孔隙率，因而應用最為廣泛。本文還重點介紹了REV尺度多孔介質LBE模型在流動、傳熱、傳質、化學反應及相變等過程中的具體應用，認為REV尺度多孔介質內的三傳一反數學模型中需要加入孔隙尺度因素，在更大工程尺度上應該考慮過程參數的各向異性，展望了REV尺度多孔介質LBE模型的發展和應用前景。

關鍵詞：多孔介質；表征體元尺度；格子Boltzmann方法；流動；傳熱；傳質

第一作者：張瀟丹（1989—），女，碩士研究生，主要從事化學工程數值模擬。聯系人：雍玉梅，研究員，主要從事化學工程數值模擬E-mail ymyong@ipe.ac.cn。

流體在多孔介質內的流動是許多領域都涉及的一類復雜流動，在能源化工、生物醫藥、空氣凈化、污水處理等領域都有廣泛應用。多孔介質內的流動是一種典型的多尺度問題，通常涉及3個尺度，即孔隙尺度、表征體元尺度（REV）和宏觀尺度。格子Boltzmann方法（LBM）是介于宏觀和微觀兩種方法之間的介觀數值模擬方法，它既克服了宏觀方法需要處理復雜邊界的劣勢，又克服了微觀方法計算尺度受限的局限性，在模擬多孔介質方面具有獨特優勢[1]。由于LBM算法簡單，計算網格容易生成，可以比較方便處理流體與邊界之間、不同流體組分之間等復雜的相互作用，且程序代碼簡單容易并行，應用逐漸廣泛。格子Boltzmann方法模擬多孔介質滲流主要有孔隙尺度和REV尺度。孔隙尺度LBM的研究對象是單個或者若干個孔隙內的流體，把介質的骨架作為流場的邊界，用來探索滲流機理和基本規律。REV尺度LBM是以一個控制體為研究對象，求解REV體積平均的宏觀流動量，流體與介質的相互作用通過適當的處理方法來描述。REV尺度LBM方法相對于孔隙尺度LBM方法，優點是前者不需要介質的細節結構、僅僅依賴于介質的統計參數，因而計算效率較高，比較適合大區域的工程滲流計算。已有文獻總結了LBM方法的基本要素[2]，介紹了LBM的起源、連續Boltzmann方程、邊界條件和數值穩定性，討論了LBM在流體流動、多相流和多組分流、反應擴散中的應用。CHEN等[3]則對LBM在湍流、多孔介質流、燃燒、多孔介質內燃燒的應用進行了綜述，李楠等[4]分析了LBM在模擬這些復雜流體問題時存在的優缺點。SUKOP 等[5]通過比較兩種REV尺度LBE模型，提出Dardis 和McCloskey的LBE模型不能用于各向異性的多孔介質的觀點，但沒有詳細論述兩模型的具體差異。目前還沒有REV尺度多孔介質LBM方法的綜述，因而本文總結了REV尺度多孔介質LBE各類數學模型，分析了各模型的優缺點，綜述了該方法在REV尺度多孔介質內流動、傳熱、傳質、化學反應和相變等領域的應用，分析了未來應用前景，并對其發展趨勢提出建議。

1　REV尺度LBE模型

REV尺度LBE模型根據對多孔介質的處理方式不同主要分為兩類：①部分反彈模型[6-11]，此種模型對經典的固壁回彈模型進行修改來擬合達西公式；②阻力模型[12-21]，此模型通過施加外力公式，得到Stokes或Brinkman方程。

1.1 部分反彈模型

部分反彈模型由3個步構成，如式(1)。前兩個步是碰撞步和流動步，與標準LBE模型相同。第三個步是部分反彈步，該過程中流體分布函數根據該點的固體密度重新定義。部分反彈模型中引入了多孔介質連續表示方法，并將反彈邊界的作用耦合到演化方程中[7]。

式中，i是速度離散方向；t是離散時間；f為分布函數；τ為松弛時間；Δi(x,t)是流體粒子與固體骨架之間的碰撞，表示多孔介質對流體影響。

最早的部分反彈模型是GAO和SHARMA[6]提出的多孔介質格子氣自動模型，可延伸到LBM中（GS-LBE模型)。該模型能夠模擬非均質多孔介質內的流動。該模型中?i(x,t)如式(2)。

式中，ns是固體格點的平均散射密度，取值范圍為0～1，代表多孔介質的固體結構；是i的相反方向。

但是GS-LBE模型存在格子氣的統計噪聲。1998年，DARDIS和MCCLOSKEY[7]則提出了第一個部分反彈LBE模型（DM-LBE模型)，是對Brinkman方程的間接求解。與GS-LBE模型相比，DM-LBE模型用ns代替孔隙尺度多孔介質的結構參數布爾變量，消除了格子氣的不穩定性。滲透率依賴于固體格點的平均散射密度ns，并且對應的有效黏性系數與流體的黏性系數相同。該模型中為?i(x,t)如式(3)。

THORNE和SUKOP[8]根據部分反彈形式不同提出了第二類部分反彈格式（TS-LBE模型），該模型流出分布函數反映臨近點流入分布函數碰撞過程，該類反彈格式需計算每個格點的碰撞步來估算流出分布函數密度。該模型中?i(x,t)如式(4)。

式中t*是碰撞前的時間，滿足t＜t*＜t+1，fic為碰撞后的分布函數。

DM-LBE模型和TS-LBE模型的部分反彈格式需要根據臨近格點計算得到，計算復雜，不利于并行計算。WALSH、BURWINKLE和SAAR[9]引入了新的部分反彈方法（WBS-LBE模型），該方法在碰撞步前改變流入流體方向，同時計算碰撞步和反彈步，且計算中不包含臨近格點的流體分布函數，使計算更容易并行，從而節省計算時間。與DM-LBE模型和TS-LBE模型的部分反彈方法相比較，該方法在非均質多孔介質流動過程中滿足質量守恒，且提高了LB方法數值模擬浮力驅動及應力和濃度梯度引發的擴散過程的精度。該模型中?i(x,t)如式(5)。

WBS-LBE模型雖然在非均質多孔介質內滿足質量守恒，更加適用于浮力驅動的流動和擴散過程，但是該模型在不同滲透特性的多孔介質界面處速度不連續，ns接近1時會導致數值不穩定。YEHYA、NAJI和SUKOP[10]修正了該模型，提出新的模型（YNS-LBE模型）。該模型也在碰撞前改變流入流體方向，但是公式中使用i方向的分布函數代替i方向的分布函數，使其在界面處速度連續，如式(6)。

WBS-LBE模型在i方向上的流體分布函數是碰撞后的分布函數，而方向上的分布函數則是在碰撞前的分布函數，導致反彈回的流體不僅沿其反方向流體，也會向其他方向流動，引起數值不穩定性。ZHU和MA[11]重新分配同一時刻同一格點碰撞后方向相反的一對流體質點，每個方向上碰撞后的流體質點分為兩部分，一部分沿該方向流向下一格點，另一部分由于固體壁面的作用沿相反方向反彈回去，提出新的部分反彈模型（ZM-LBE模型），該模型在同一時間的格點僅改變方向相反的一對流體質點，因此該模型滿足質量守恒，且數值穩定性比WBS-LBE模型好。該模型的松弛時間接近1時，有效黏度系數與流體黏度系數相等。該模型中?i(x,t)如式(7)。

部分反彈模型區別主要在于如何處理反彈邊界的作用、有效黏度、平均散射密度及有效滲透率，總結目前主要部分反彈模型見表1。表中包括DM-LBE模型、TS-LBE模型、WBS-LBE模型、YNS-LBE模型和ZM-LBE模型，這5個模型的滲透率根據每個格點的平均散射密度ns計算得到。前4個模型在ns=0時，均可簡化為標準LBE模型. 在ns=0時，ZM-LBE模型不能自動滿足反彈邊界，因為該模型在同一時間格點僅改變方向相反的一對流體質點。WBS-LBE模型、YNS-LBE模型和ZM-LBE模型在ns=1時能夠滿足全反彈LBE模型，其余模型不滿足全反彈LBE模型，因為當ns=1時，DM-LBE部分反彈模型在不透水邊界處有質量損失，而TS-LBE部分反彈格式模型僅反映一個時間步的流體函數而不是原則上的兩個時間步。其次，GS-LBE模型、WBS-LBE模型、YNS-LBE模型和ZM-LBE模型能夠滿足質量守恒，DM-LBE模型和TS-LBE模型在高滲透性和低滲透性多孔介質邊界之間不對稱而不滿足質量守恒，需要在格點的邊緣設置ns來修正模型，只有在密度恒定或者平均散射密度不變時才滿足質量守恒。CHEN等[22]比較了GS-LBE模型、DM-LBE模型和TS-LBE模型，分析了在松弛時間τ=1時，為了保證流體黏度為正值，3個模型中ns的上限值。GS-LBE模型中ns< (1/2)≈0.289 DM-LBE模型中ns< (–1/28)≈0.234，TS-LBE模型和WBS-LBE模型中ns在0～1之間。ZM-LBE模型的ns上限為0.5，說明ZM-LBE模型最多有一半的流體質點可以反彈回相反的方向。綜上，YNS-LBE模型在ns=0時，均可簡化為標準LBE模型，在ns=1時能夠滿足全反彈LBE模型，能夠滿足質量守恒，數值穩定性也較好，因此應用比較好。

表1 REV尺度多孔介質內部分反彈LBE模型（νf為孔隙流體黏度）[11]

1.2 阻力模型

REV尺度多孔介質的另一種LBE模型是阻力模型[12-21]，即多孔介質的影響通過施加外力得到Stokes或Brinkman方程，這個思想是基于NITHIARASU等[23]提出的求解不同孔隙度滲流的Navier-Stokes方程，用其他CFD方法（有限差分、有限體積）也可以方便求解，采用LBM方法是眾多CFD方法的一種。該類模型的實現途徑有兩類：第一類是修正速度[12-17]，即將多孔介質的阻礙作用通過修正速度來體現；另一種是流體與多孔介質構造體-固體的相互作用力直接加入分布函數的演化方程中[18-21]。

1.2.1 修正速度的阻力模型

修正速度的REV尺度多孔介質LBE阻力模型是在碰撞步中修正瞬時速度來描述多孔介質對流體的影響，所以其演化方程與標準BGK演化方程相同[12]，如式(8)。

1997年SPAID和PHELAN[12]建立了直接求解BRINKMAN方程的LBE模型（SP-LBE模型）。該模型將流體-固體的相互作用力的影響通過修正平衡分布函數的速度來實現，這種作用力處理方式對應的宏觀流動方程中存在一些誤差，忽略誤差后，SP-LBE對應的宏觀方程在穩態時就是Brinkman方程。SP-LBE模型平衡態分布函數的計算采用修正后的平衡態速度，修正的平衡態速度包含了多孔介質的阻力作用，而阻力大小又與當地速度相關，如式(9)～式(11)。

式中， β＝v/K，是滲透勢能參數，是黏度v與滲透率K的比值。

與SP-LBE模型類同，FREED[13]把多孔介質阻力通過碰撞過程在平均速度中體現[Freed-LBE模型，式(13)]，可以用于Mach數較大的流動過程。與多孔介質流動控制方程相比，Freed-LBE模型對應的宏觀方程存在人工多余項，需要通過具體問題來分析。該模型比較適合用于具有裂隙及導電介質的巖石孔隙中流體及其他工程模擬。Freed-LBE模型公式如式(12)～式(14)。

Shan-Chen模型[14-15]最初是應用于多相流和多組分流動，把體積力F在平衡速度中體現，體積力F主要包括液液流體間相互作用力、液固相間相互作用力和外力。LI等[16-17]基于Shan-Chen模型提出單相單組分LBM方法（Li-LBE模型），其平衡分布函數可以簡化成式(16)，平衡態速度為式(17)。該模型與其他模型相比，不用計算體積力F，節省計算時間，提高計算效率。

式中，K為滲透率，ε為孔隙率，G為外部體積力。

1.2.2 修正演化方程的阻力模型

修正演化方程的阻力模型是將多孔介質效應直接加入到演化方程，其演化方程[19]為式(19)。

式中，Fi是F的函數，根據其處理方式不同，可以分成不同的阻力模型。

MARTYS[18]對SP-LBE模型進行改進（Martys-LBE模型），采用LUO[24]的作用力處理方法描述介質阻力，在演化方程中直接增加了一個作用力項來消除部分離散誤差，但是不能完全消除，如式(20)。其平衡態分布函數與SP-LBE模型相同，即式(9)，但是作用力不修正平衡態分布函數的速度，而是直接修正演化方程。Martys-LBE模型比SP-LBE模型的數值穩定性好，因為SP-LBE模型修正平衡分布函數的速度，增加了非物理項。Martys-LBE模型其作用力表達式如式(20)此時

GUO等[19]在2002年提出了求解包含線性阻力、黏性項和非線性阻力項的通用滲流模型的REV尺度滲流的廣義LBE模型（GLBE模型）。該模型的平衡分布函數和作用力項中均中包含反映介質特性的孔隙率ε，如式(21)和式(22)，而且對滲流速度大小沒有要求。此模型采用GUO等[25]提出的作用力模型，不存在離散誤差，可得到準確的宏觀方程。其中，F是包含介質阻力和外部體積力的總力，式(23)右端第一和第二項是線性（Darcy）和非線性（Forchheimer）介質阻力。Fε是結構參數，與孔隙率有關，對由固體顆粒構成的多孔介質，如公式(24)。

目前還有一種趨勢，將LBM與其他數值方法結合起來模擬多孔介質內流動和傳遞過程。ZARGHAMI等[20]把GLBE模型和有限體積法相結合，用有限體積方法離散對流擴散項，如式(25)，并用校正因子來提高數值穩定性。該模型通過Poiseuille流、Couette流和平板驅動流的驗證，用于模擬均質和非均質多孔介質管道流。

式中，Ax.y為abcd的面積，ac、ab、bd、bc分別為格子邊界。

ZHANG等[21]提出了Navier-Stokes方程的顯性格式解的LBE模型（Zhang-LBE模型），該模型為通過Chapman-Enskog和泰勒展開，省略高階項之后，得到平均體積Navier-Stokes方程，在演化方程[式(26)]中加入了附加項Pi，如式(28)。該模型只在平衡分布函數中加入反應介質特性的孔隙率，如式(27)，但是與GLBE模型中孔隙率加入方式不同，作用力項處理方法采用式(29)，F公式與GLBE模型一致，見式(23)。該模型能有效地解決多孔介質流和兩相流。

兩種類型多孔介質REV尺度LBE模型，應用較為廣泛的是Freed-LBE模型和GLBE模型。如果考慮不可壓流時，GLBE模型更加精確；對于穩態不可壓低速多孔介質流動問題，兩者的區別在于GLBE模型加入了非線性阻力項，在低速情況下，該項的作用較弱[26]。GLBE模型的作用力是基于GUO等的作用力模型，可以準確得到宏觀方程，不存在離散誤差；其次，該模型的平衡分布函數中包含反應介質特性的孔隙率，而其余REV尺度LBE模型的平衡分布函數與標準模型類似，不能反映介質特性；最后，GLBE模型可以用于高速流動。

2　REV尺度LBE模型應用現狀

2.1 REV尺度LBE模型應用于多孔介質內流動

各REV尺度LBE模型在多孔介質內流動中均有運用，但是運用最廣泛的是GLBE模型。

WBS-LBE模型、YNS-LBE模型和ZM-LBE模型均被用于模擬不同滲透特性多孔介質內的流動[10-11]，如圖1。模擬結果顯示WBS-LBE模型在界面處不連續，YNS-LBE模型和ZM-LBE模型在界面處速度連續，而且在ns較小時的連續性比較好（ns1=ns3=0.2，ns2=0.1），且多孔介質的孔隙度變化不會影響中心處的速度。

圖1 不同滲透特性多孔介質示意圖及其速度分布圖[10-11]

REV尺度LBE模型不僅被用于分層多孔介質內速度的連續性，還被用于多孔介質內Klinkenberg效應等基礎研究。孔隙大小在納米到微米范圍內，克努森數（Kn數，分子平均自由程和流動的宏觀特征長度之比）相對較大時，氣體不再滿足連續介質假設，導致氣體滑移流、瞬變流，甚至真空分子流。由于存在滑移效應，測得表觀滲透率高于固有滲透率，兩者之差隨著Kn數增大而增大。CHEN等[27]基于四參數隨機生成方法（QSGS）并運用基本元素建模模型（EBB模型）重新構造頁巖，采用BESKOK和KARNIADAKIS[28]提出的表觀滲透率公式，在Kn數為常數時根據固有滲透率計算表觀滲透率，運用GLBE模型研究了二維含有Klinkenberg效應的多孔介質內流動。高孔隙率（ε=0.8）時，Klinkenberg效應可以忽略，隨著孔隙率減小，Klinkenberg效應在低滲透多孔介質比較明顯，并且隨著Kn數增大、Klinkenberg效應越明顯，隨著壓力的減小、Klinkenberg效應更加明顯（圖2）。隨后CHEN等[29]通過Darcy定律預測REV尺度的整個計算區域內的有效滲透率，研究多孔介質成分、顆粒大小、壓力、滑移及吸附作用對REV尺度滲透率的影響。在致密儲氣巖層或頁巖層開采天然氣時，如果不考慮Klinkenberg效應，用表觀滲透率代替固有滲透率，不僅會導致定量錯誤而且會導致定性錯誤。

圖2 含有Klinkenberg效應和不含Klinkenberg效應的速度分布圖[27]（1psi=6894.76Pa）

除了用于致密巖石中滲流，土壤滲流也是REV尺度多孔介質LBE模型的研究熱點。樊火[30]通過繪制滲流場幾何剖面圖或者讀入圖形文件，格點化流場、生成LBM格式的邊界數據文件，基于GLBE型開發了土壤滲流LBM_Seepage軟件平臺，生成數據文件，以直觀可視的等值線或者云圖實現滲流場速度實時可視化，并對豎向具有不同滲透率的土體進行了模擬。結果表明，最上層土的相對的滲透能力在滲透初期對滲流速度的傳播起控制作用，只有經過一段時間后土體才會表現出等效應的滲透能力（圖3）。申林芳等[31]進一步運用GLBE模型探討了土體在壓力作用下孔隙率、滲透率及滲透壓力等影響因素與滲流速度的相互關系。

Freed-LBE模型被推廣到非均勻網格中[32]，采用HE等[33]提出的插入格式描述非均勻網格，該模型在流動和碰撞過程之間采用插值法，不僅能保證數值準確性而且易于實施。該模型對多孔介質、孔隙和邊界的處理方式一樣，避免了不同尺度采用不同數學方法而產生的誤差，與其他多尺度LB模型相比，它消除了內部邊界，而且采用阻力模型，因此可以用于大尺度。KANG等[32]在裂隙周圍細化網格研究裂隙對流動的影響，遠離裂隙的地方采用粗網格（圖4），模擬了復雜裂隙和簡化裂隙的多孔介質內的流動，通過K =預測REV尺度多孔介質內的有效滲透率（表2），并提出可以把該模型用曲線坐標和復合網格的設想。

圖3 不同滲透率的的邊界示意圖及滲透率K由小到大和K由大到小中心線速度圖[30

REV尺度LBE模型不僅可以模擬含裂隙的均質巖石中的流動，還能根據通過高分辨率的掃描圖像確定空腔、黏土、長石、石英不同成分構成的非均質砂巖結構，如圖5(a)，基于GLBE模型獲得砂巖樣品內的流體流動速度，然后根據達西定律求得整體的滲透率[34-35]。由圖5(b)可以看出，樣品大于10mm時整體的滲透率趨于常數，對于砂巖樣品，大于10mm時可以達到REV尺度的要求。由圖5(c)和圖5(d)可以看出，流場主要受無滲透性的石英和空腔影響，由于各成分的孔隙率不同導致各成分邊界處的流線不閉合。但是CT掃描大孔時容易忽略狹小的孔喉結構而造成誤差，因而掃描圖像的分辨率必須要高[36]。

圖4 裂隙示意圖、非均勻網格示意圖、計算結果[32]

表2 滲透率值[32]（格子單位）

圖5 砂巖樣品

REV尺度多孔介質模型除了可以通過滲流速度預測多孔介質的滲透率外，還可以分析多孔介質幾何結構特性及外部條件對滲流速度的影響。GLBE模型被用于在壓力驅動下的非牛頓流體的電滲流過程[37]，在演化方程中加入了基于Herschel-Bulkley模型的非牛頓流體力項，研究外部電勢驅動流、離子濃度和電場強度、固體顆粒直徑和孔隙度、冪律指數和屈服應力、德拜長度對滲透速度的影響。多孔介質內的流速隨著冪律指數和屈服應力的減小而增大，壁面處的電勢主要影響壁面處流速，多孔介質的電勢對通道中心處流速影響較大。低冪律指數時，壁面處的電勢在對流速的影響更加敏感，特別是在通道高度與德拜長度的比值較小時。

HUANG等[38]對LBM兩相流模型及其應用做了詳細描述，目前LBM兩相流模型已經應用于REV尺度多孔介質內多相流的驅替過程中。SPAID和PHELAN[39]對纖維多孔介質的流動進行了計算，纖維內部使用SP-LBE模型，外部使用標準LBE模型，模擬圓形纖維內樹脂驅替空氣多組分流動過程。纖維間的流動比纖維內的流動速度快，導致纖維內部含有空氣空穴，空穴最初是長軸垂直于流動方向的橢圓形，隨后由于表面張力的影響，從橢圓形變為圓形（圖6）。根據達西定律預測的不飽和滲透率在定性上正確。但是需要更多研究證明纖維內的空洞隨時間消失模擬結果是否準確。SCHAAP等[40]應用阻力模型中Shan-Chen格式多相流LBE模型，模擬了充滿玻璃珠的多孔介質內水-空氣及水-石油精體系驅替實驗。該模型基于顯微層析構造的多孔介質幾何結構，忽略重力、慣性力和黏性力，只考慮毛細作用力，設置合理的表面張力和接觸角，得到壓力與飽和度的關系。水-空氣體系模擬值與測量值相差不大，但是水-石油精體系模擬值與測量值差異很大（圖7），原因是模擬條件與實驗條件不一致，如接觸角。該方法也可以用于微尺度界面現象的模擬。PORTER等[41]也運用該LBE模型估算潤濕-非潤濕相界面的面積，模擬值與實驗值吻合。

圖6 不同時刻單行圓形纖維樹脂驅替空氣模擬結果圖[39]（黑色：空氣；灰色：樹脂）

圖7 壓力與飽和度演化圖[40]

阻力模型中的單松弛GLBE模型推廣到多松弛模型，LIU等[42]運用二維D2Q8 MRT-GLBE模型模擬不可壓多孔介質流，在低黏性時的數值穩定性比單松弛模型好。隨后該模型被用于解含有時間導數和非線性對流項平均體積動量方程，模擬了在多孔介質圓柱靜止時上下壁面以恒定速度運動和上下壁面靜止時管道內圓柱多孔介質以恒定速度運動的兩種情況下的流動[43]。結果表明R1和R2的本征相平均速度吻合，二者的相平均速度在流體區吻合，但是在多孔介質區域內有偏差[圖8(b)]，并且隨著孔隙度的減小而增大。多孔介質阻力對本征相平均速度和相平均速度有類似規律。只有含有本征相平均速度的宏觀方程滿足伽利略不變性。多松弛模型與單松弛模型相比，克服了許多限制條件，比如運動黏度和體積黏度比不再是定值，但是多松弛模型增加了計算量。

REV尺度LBM已經應用到工程滲流問題。何瑩松[44]將REV尺度GLBE模型應用于煤礦開采過程中回采工作面瓦斯滲流問題，該研究中認為煤體的孔隙度受應力重新分布的影響很小，孔隙度基本不發生變化，滲透率沿流動方向呈現分段函數的不均勻分布，得到了不同時刻非均質煤層中瓦斯壓力分布和速度分布。這些數據能夠生動再現瓦斯流動過程，有助于指導煤礦安全生產。

圖8 多孔介質圓柱運動示意圖及ε=0.7、Re=100通道中心固有相平均速度、相平均速度圖[42]

2.2 REV尺度LBE模型應用于多孔介質內流動與傳熱耦合過程

流動、傳熱和傳質兩個及兩個以上過程耦合時，LBE模型可以分為3種；即多速模型、雙分布函數模型（DDF）與差分方法相結合的混合模型。目前文獻大多采用DDF模型來模擬多過程，該模型使用兩個（及以上）分布函數演化方程，分別用于速度場和溫度場（濃度場），格子結構簡單，且具有良好的數值穩定性。

等溫GLBE模型通過DDF模型推廣到多孔介質熱流動中（DDF-GLBE模型）[45]，速度場用等溫GLBE模型模擬，而溫度場使用一個新的分布函數描述。DDF-GLBE模型被用于多孔介質方腔模擬孔隙度恒定[45-49]、孔隙度變化[50]、含有熱源[51]的速度場和溫度場，研究孔隙度、雷諾數（Re數）、達西數（Da數）等參數對速度場和溫度場的影響。DDF-GLBE模型還被用于研究邊界充滿多孔介質和中心充滿多孔介質兩種情況下管道內的流動與傳熱過程[52-53]。

REV尺度的GLBE模型可以直接將孔隙尺度模擬得到的滲透率和有效熱導率帶入REV模型，避免了采用經驗公式可能得到的錯誤結論[54]。模擬結果表明，REV尺度得到的熱壁上的平均Nusselt數與孔隙尺度下的趨勢一致，證明REV尺度在定性上是正確的。在瑞利數（Ra數）低于107時，GLBE模型能定量預測孔隙尺度下自然對流的宏觀規律，Ra數大的時候只能定性預測孔隙尺度的宏觀規律（圖9）。REV尺度GLBE模型對滲透率如何影響多孔介質自然對流宏觀現象刻畫很好，與孔隙尺度模擬結果一致，但是往往夸大了流固熱導率帶來的影響。

圖9 不同Ra數下熱壁上平均Nusselt數隨方柱個數N的變化結果對比[54]

REV尺度的LBE模型為太陽墻工程應用研究提供參考，通過含熱源項的LBE模型對太陽墻系統中復雜流場及熱傳遞進行模擬[55-56]，可以預測太陽墻在不同工作條件下的狀況，并優化太陽墻系統的設計。

針對工程中常見的多孔介質圓管內傳熱問題，榮伏梅等[57-58]構造了REV尺度軸對稱熱DDF-GLBE模型，包含弱可壓軸對稱LBE模型和不可壓軸對稱LBE模型，把刻畫多孔介質的參數加入到分布函數中并構造合適的分布函數，使之能恢復正確的宏觀方程，具有形式簡單、外力項不含復雜梯度形式的優點，并應用于非線性滲流數值模擬。分別研究了覆蓋多孔介質的方柱繞流、充滿多孔介質內的變黏性Rayleigh-Benard對流、以及圓管內插入多孔介質強化對流傳熱非線性滲流問題。由于這類問題的計算量都很大，單個CPU的計算效率較低，因此采用GPU（圖形處理器）加速計算，可支持復雜的計算任務[59]。

單松弛DDF-GLBE模型推廣到多松弛模型中，建立REV尺度二維多松弛（MRT）DDF-GLBE方程，用D2Q9 MRT-GLBE模型模擬流場，同時用D2Q5 MRT-LBE模型模擬溫度場，模擬結果和解析解與文獻計算結果吻合[60]，而且在低黏度時，MRT-LBE模型的數值穩定性比LBGK模型好，但是計算量大。該直角坐標系下的MRT-DDF-GLBE模型延伸到軸對稱模型[61]。

2.3 REV尺度LBE模型應用于多孔介質內流動、傳質和化學反應耦合過程

與流動和傳熱過程類同，仍使用DDF模型描述流動和傳質兩個過程，即運用兩個分布函數分別模擬流場和濃度場，并在濃度演化方程中加入反應源項，用于模擬化學反應。TIAN等[62]基于DDF-GLBE模型模擬了CO2地下填埋地球化學反應過程，研究CO2注入過程中溶質離子反應及擴散、巖石骨架CaCO3溶解相互作用，引起孔隙率和滲透率變化，反作用于流場。如圖10，開始在一段時間內出口處的H+、Ca2+和HCO3?離子濃度為0，隨著反應的進行，3種離子濃度逐漸增加。由于反應消耗和對流擴散的相互作用，在出口處反應物H+離子濃度在1×105時出現變化。Ca2+離子濃度到達最大后保持平衡，是因為Ca2+離子是可逆反應。

該模型還用于研究有機廢水溶液中化學反應、燃料電池和質子交換膜燃料電池中[56，63-66]。LIAO 等[63]和楊艷霞[64]研究了有機廢水中含擾流光合細菌包埋顆粒的流動、傳質及其內部的光生化反應過程，分析光照強度、進口流速、包埋顆粒的滲透率及孔隙率對流場、濃度場及產氫性能的影響。XU 等[65-66]把該模型應用于固體燃料電池多組分化學反應，計算濃差極化電勢，并研究了電池電極厚度、電解質濃度、孔隙率、燃料組成等結構參數和工作溫度操作參數對濃差極化、超電勢、電化學效率、電池電壓和功率密度的影響，LBM模擬結果與其他模擬結果相比更接近實驗值。該模型也被用于模擬質子交換膜燃料電池，可以得到電池內部各組分濃度的分布狀況[56]。

除了通過DDF模型耦合流動和傳質外，REV尺度LBE模型耦合偏微分方程和常微分方程的運輸方程，模擬了多孔介質內的擴散反應過程，得到飽和度和濃度之間的關系[67]。

REV尺度多分布LBE模型還可以通過DDF模型實現流動、傳熱和傳質三者耦合，應用到生物過濾池的非等溫過程[68]。比較3種不同結構的生物過濾器，模擬結果發現Ra數對生物過濾池的凈化率影響很大，調整Ra數可以優化生物過濾器的凈化效率。停留時間的標準偏差較小時生物過濾器內的流動更加均勻，當Ra數小于臨界值時，生物過濾器不均質性隨著Ra數的增大而減小，否則，生物過濾器的不均質隨著Ra數的增大而增大（圖11）。

2.4 REV尺度LBE模型應用于多孔介質相變過程

圖10 出口離子濃度圖[62]

圖11 3種生物過濾器結構圖和停留時間隨Ra數變化的標準平均誤差[68]

REV尺度LBE模型通過加入相變熱對溫度的影響，可以處理相變過程。流場基于GLBE模型，而溫度演化方程中加相變焓模型，可以用于凝固、冷凝、和融化等過程。該模型被用于模擬多孔介質內自然對流對融化的影響過程[69]，LBM的模擬結果和前人的實驗及模擬結果吻合（圖12b），Ra數、Da數和孔隙率增大時，自然對流對融化過程的影響作用也增強。該模型還用于模擬固化及融化過程中Ra數對溫度和流動的影響及孔隙度對對流傳熱和相界面位置的影響[55，70]。類似模型用于探究了密封的同心圓環內充滿Al2O3的多孔介質內冰的融化過程，該模型把相變熱作為源項加到溫度演化方程中[71]。

圖12 多孔介質內從左向右融化示意圖和不同時刻界面圖[69]

REV尺度LBE模型用于模擬了各向同性的均質充滿水的可變形多孔介質內的蒸發干燥過程[72]，該模型分別用不同的演化方程處理液相、固相變形速度、壓力及溫度場，分析了泊松系數、楊氏模量和滲透率對宏觀流場的影響。

REV尺度單松弛的相變模型推廣到多松弛相變模型，模擬多孔介質內瞬態固液相變過程[73]，該模型用Brinkman-Forchheimer的達西擴展模型模擬動量傳遞，把相變焓作為源項加到MRT-LBM的溫度演化方程中來確定固液的相界面。與BGK-LBE模型相比，在低黏度時數值穩定性好，并且邊界條件處理更精確。

3　結論和展望

化工過程、油藏氣開發、環境保護及新能源開發都廣泛涉及多孔介質內的流動、傳遞和反應過程。REV尺度LBE模型無需多孔介質內的具體結構、且計算域大，比較適合解決包含多孔介質結構的地下水滲流、污染物遷移、固定床反應器等工程應用問題。在眾多的部分反彈模型和阻力模型中，由于GLBE模型的平衡分布函數和作用力項中均包含反映介質特性的孔隙度，且不含離散誤差，因而應用廣泛。直角坐標系下的REV尺度多孔介質的單松弛LBE模型已經推廣到了多松弛模型和軸對稱模型，REV尺度多孔介質的多松弛模型可以用于低粘度流體，有更多可調參數，且松弛因子與宏觀方程無關，計算更穩定，但計算量要比單松弛模型增加15%左右。

多孔介質REV尺度的LBE模型可以用于模擬均質、分層均質和含有裂隙的多孔介質內的流動，也可以與掃描電鏡等構造多孔介質方法相結合用于模擬非均質的多孔介質內的流動及電滲流等，或者與QSGS方法和EBB方法相結合研究Klinkenberg效應。應用多分布LBE模型可探索多孔介質內的流動、傳熱、傳質及化學反應等多過程問題，還可以用于融化、凝固和蒸發等相變過程。REV尺度多孔介質的LBE模型已經成功用于非牛頓流體的電滲流過程、固定床反應器多孔介質內多相流動、煤層氣瓦斯滲漏、土壤滲流、太陽墻系統設計、石油巖層多相驅替和燃料電池等工程問題中。

目前REV尺度多孔介質LBE模型模擬主要集中在二維尺度，為了更加接近實際物理過程，今后應該把二維REV多孔介質LBE模型推廣到三維模型中，把直角坐標系的LBE模型延展到曲線坐標，更加符合實際多孔介質。對于部分反彈模型可以把壓力梯度引入到固體散射密度中，使多孔介質的滲透特性隨著壓力梯度的變化而變化，用于模擬非達西流。

但是多孔介質內發生的三傳一反過程，在更小的介觀尺度上，多孔介質幾何結構是非均質的[74-75]，在更大工業尺度上，多孔介質內物性參數及過程呈現出各向異性，為了更科學準確地描述多孔介質內發生的各個過程，不能忽略孔隙尺度參數對滲透率、傳熱傳質系數的影響，更要考慮更大工程尺度上各個過程各向異性的觸發機理和演化過程。根據作者課題組所完成的工作，期望在孔隙尺度上獲得包含個孔隙幾何結構參數的滲透率、有效傳熱、傳質系數，將其帶入到REV尺度多孔介質的LBE數學模型中，可避免經驗公式帶來的誤差. 同時從LBM演化方程本身出發，建立一個能夠具有明確合理物理意義的各向異性演化方程，能夠獲得更大尺度上包含各向異性特性的溫度和濃度的分布特性。因而建立起基于LBM多尺度數學模型和數值方法及其求解平臺。

符 號 說 明

Ax.y—— abcd的面積

Da—— 達西數

eq —— 平衡態

F—— 體積力

Fε—— 結構參數

fi—— 分布函數

fi—— 反分布函數

fic—— 碰撞后的分布函數

G—— 外部體積力

i—— 速度離散方向

K—— 滲透率

ns—— 固體格點的平均散射密度

Pi—— 附加項

Ra—— 瑞利數

Re—— 雷諾數

t—— 離散時間

t*—— 碰撞前的時間

u'—— 碰撞后速度

u(eq)—— 平衡態速度

νf—— 孔隙流體黏度

Δi(x,t)—— 流體粒子與固體骨架之間的碰撞

β —— 滲透勢能參數

ν —— 黏度

ρ—— 密度

ε—— 孔隙率

τ—— 松弛時間

ω—— 權系數

參 考 文 獻

[1] 何雅玲，王勇，李慶. 格子Boltzmann方法的理論及應用 [M]. 北京：科學出版社，2009.

[2] SUCCI S，BENZI R，MASSAIOLI F. A review of the lattice Boltzmann method [J]. International Journal of Modern Physics C，1993，4（2）：409-415.

[3] CHEN S Y，DOOLEN G D. Lattice Boltzmann method for fluid flows [J]. Annual Review of Fluid Mechanics，1998，30（1）：329-364.

[4] 李楠，史俊瑞，肖紅俠，等. 格子Boltzmann方法研究及其應用 [J].沈陽工程學院學報(自然科學版)，2015（2）：116-118，122.

[5] SUKOP M C，THORNE D T. Lattice Boltzmann modeling：an introduction for geoscientists and engineers [M]. Springer，2006.

[6] GAO Y，SHARMA M. A LGA model for fluid flow in heterogeneous porous media [J]. Transport in Porous Media，1994，17（1）：1-17.

[7] DARDIS O，MCCLOSKEY J. Lattice Boltzmann scheme with real numbered solid density for the simulation of flow in porous media [J]. Physical Review E，1998，57（4）：4834-4837.

[8] THORNE D T，SUKOP M C. Lattice Boltzmann model for the Elder problem [J]. Developments in Water Science，2004，55：1549-1557.

[9] WALSH S D，BURWINKLE H，SAAR M O. A new partial-bounceback lattice-Boltzmann method for fluid flow through heterogeneous media [J]. Computers & Geosciences，2009，35（6）：1186-1193.

[10] YEHYA A，NAJI H，SUKOP M. Simulating flows in multi-layered and spatially-variable permeability media via a new Gray Lattice Boltzmann model [J]. Computers and Geotechnics，2015，70：150-158.

[11] ZHU J J，MA J S. An improved gray lattice Boltzmann model for simulating fluid flow in multi-scale porous media [J]. Advances in Water Resources，2013，56：61-76.

[12] SPAID M A，PHELAN JR F R. Lattice Boltzmann methods for modeling microscale flow in fibrous porous media [J]. Physics of Fluids，1997，9（9）：2468-2474.

[13] FREED D M. Lattice-Boltzmann method for macroscopic porous media modeling [J]. International Journal of Modern Physics C，1998，9（8）：1491-1503.

[14] KANG Q，ZHANG D，CHEN S. Displacement of a two-dimensional immiscible droplet in a channel [J]. Physics of Fluids，2002，14（9）：3203-3214.

[15] SHAN X W，CHEN H D. Lattice Boltzmann model for simulating flows with multiple phases and components [J]. Physical Review E，1993，47（3）：1815.

[16] LI J，BROWN D. Upscaled Lattice Boltzmann method for simulations of flows in heterogeneous porous media [J]. arXiv preprint arXiv：13120195，2013，

[17] ILIEV O，EFENDIEV Y，LI J，et al. Multiscale Lattice Boltzmann Method for flow simulations in highly heterogenous porous media[C]//proceedings of the SPE Reservoir Characterization and Simulation Conference and Exhibition，Society of Petroleum Engineers，2013.

[18] MARTYS N S. Improved approximation of the Brinkman equation using a lattice Boltzmann method [J]. Physics of Fluids，2001，13（6）：1807-1810.

[19] GUO Z L，ZHAO T S. Lattice Boltzmann model for incompressible flows through porous media [J]. Physical Review E，2002，66（3）：036304.

[20] ZARGHAMI A，BISCARINI C，SUCCI S，et al. Hydrodynamics in porous media：a finite volume lattice Boltzmann study [J]. Journal of Scientific Computing，2014，59（1）：80-103.

[21] ZHANG J F，WANG L M，OUYANG J. Lattice Boltzmann model for the volume-averaged Navier-Stokes equations [J]. Europhysics Letters，2014，107（3）：20001.

[22] CHEN Y L，ZHU K Q. A study of the upper limit of solid scattersdensity for gray Lattice Boltzmann Method [J]. Acta Mechanica Sinica，2008，24（5）：515-522.

[23] NITHIARASU P，SEETHARAMU K，SUNDARARAJAN T. Natural convective heat transfer in a fluid saturated variable porosity medium [J]. International Journal of Heat and Mass Transfer，1997，40（16）：3955-3967.

[24] LUO L S. Unified theory of lattice Boltzmann models for nonideal gases [J]. Physical Review Letters，1998，81（8）：1618.

[25] GUO Z L，ZHENG C G，SHI B C. Discrete lattice effects on the forcing term in the lattice Boltzmann method [J]. Physical Review E，Statistical，Nonlinear，and Soft Matter Physics，2002，65(4 Pt 2B)：046308.

[26] 雷鳴. 關于兩種REV尺度多孔介質LBE模型的討論 [J]. 科學技術與工程，2011（20）：4814-4820.

[27] CHEN L，FANG W Z，KANG Q J，et al. Generalized lattice Boltzmann model for flow through tight porous media with Klinkenberg's effect [J]. Physical Review E，2015，91（3）：033004.

[28] BESKOK A，KARNIADAKIS G E. Report：a model for flows in channels，pipes，and ducts at micro and nano scales [J]. Microscale Thermophysical Engineering，1999，3（1）：43-77.

[29] CHEN L，KANG Q，DAI Z，et al. Permeability prediction of shale matrix reconstructed using the elementary building block model [J]. Fuel，2015，160：346-356.

[30] 樊火. 土體飽和滲流的Lattice Boltzmann Method數值模擬研究[D]. 長沙：長沙理工大學，2009.

[31] 申林方，王志良，李邵軍. 基于格子博爾茲曼方法表征體元尺度土體細觀滲流場的數值模擬 [J]. 巖土力學，2015（s2）：689-694.

[32] KANG Q J，ZHANG D X，CHEN S Y. Unified lattice Boltzmann method for flow in multiscale porous media [J]. Physical Review E，2002，66(5)：056307.

[33] HE X Y，LUO L S，DEMBO M. Some progress in lattice Boltzmann method. Part I. Nonuniform mesh grids [J]. Journal of Computational Physics，1996，129（2）：357-363.

[34] GAO J F，XING H L，LI Q，et al. Scale effect of 3d heterogeneous porous media on geo-fluid characteristics[C]//Insight from Massively Parallel Lattice Boltzmann Computing. proceedings of the SPE Unconventional Resources Conference and Exhibition-Asia Pacific，Society of Petroleum Engineers ，2013.

[35] GAO J，XING H，TIAN Z，et al. Lattice Boltzmann modeling and evaluation of fluid flow in heterogeneous porous media involving multiple matrix constituents [J]. Computers & Geosciences，2014，62：198-207.

[36] GAO J，XING H，RUDOLPH V，et al. Parallel lattice boltzmann computing and applications in core sample feature evaluation [J]. Transport in Porous Media，2015，107（1）：65-77.

[37] TANG G H，YE P X，TAO W Q. Pressure-driven and electroosmotic non-Newtonian flows through microporous media via lattice Boltzmann method [J]. Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics，2010，165（21）：1536-1542.

[38] HUANG H，SUKOP M，LU X. Multiphase lattice Boltzmann methods：theory and application [M]. New York：John Wiley & Sons，2015.

[39] SPAID M A A，PHELAN F R. Modeling void formation dynamics in fibrous porous media with the lattice Boltzmann method [J]. Compos Part A-Appl S，1998，29（7）：749-755.

[40] SCHAAP M G，PORTER M L，CHRISTENSEN B S，et al. Comparison of pressure‐saturation characteristics derived from computed tomography and lattice Boltzmann simulations [J]. Water Resources Research，2007，43（12）.DOI：10.1029/2006WR005730.

[41] PORTER M L，SCHAAP M G，WILDENSCHILD D. Lattice-Boltzmann simulations of the capillary pressure–saturation–interfacial area relationship for porous media [J]. Advances in Water Resources，2009，32(11)：1632-1640.

[42] LIU Q，HE Y L. Multiple-relaxation-time lattice Boltzmann modeling of incompressible flows in porous media [J]. Physica A：Statistical Mechanics and its Applications，2015，429：215-230.

[43] WANG L，WANG L P，GUO Z，et al. Volume-averaged macroscopic equation for fluid flow in moving porous media [J]. International Journal of Heat and Mass Transfer，2015，82：357-368.

[44] 何瑩松. 基于格子Boltzmann方法的多孔介質流體滲流模擬 [J].科技通報，2013（4）：118-120.

[45] GUO Z L，ZHAO T S. A lattice Boltzmann model for convection heat transfer in porous media [J]. Numerical Heat Transfer，Part B，2005，47(2)：157-177.

[46] XU Y S，WANG R M，LI G N，et al. Numerical simulation of driven convective heat transfer based lattice boltzmann method in a porous cavity [J]. Journal of Chemistry，2015，501：710341.

[47] SETA T，TAKEGOSHI E，OKUI K. Lattice Boltzmann simulation of natural convection in porous media [J]. Mathematics and Computers in Simulation，2006，72（2）：195-200.

[48] CHAI Z H，GUO Z L，SHI B C. Lattice Boltzmann simulation of mixed convection in a driven cavity packed with porous medium [C]//computational science–ICCS 2007，Springer，2007：802-809.

[49] 萬斌，羅成龍. 格子-Boltzmann方法模擬多孔介質內自然對流蓄熱過程 [J]. 南昌大學學報(工科版)，2012（2）：165-167+171.

[50] YAN W W，LIU Y，GUO Z L，et al. Lattice Boltzmann simulation on natural convection heat transfer in a two-dimensional cavity filled with heterogeneously porous medium [J]. International Journal of Modern Physics C，2006，17（6）：771-783.

[51] 許超敏. 用格子Boltzmann方法模擬熱流動 [D]. 長春：吉林大學，2010.

[52] ZARGHAMI A，FRANCESCO S D，BISCARINI C. Porous substrate effects on thermal flows through a REV-scale finite volume lattice Boltzmann model [J]. International Journal of Modern Physics C，2014，25（2）：1350086.

[53] SHOKOUHMAND H，JAM F，SALIMPOUR M. Simulation of laminar flow and convective heat transfer in conduits filled with porous media using Lattice Boltzmann Method [J]. International Communications in Heat and Mass Transfer，2009，36（4）：378-384.

[54] 魯建華. 基于格子Boltzmann方法的多孔介質內流動與傳熱的微觀模擬 [D]. 武漢：華中科技大學，2009.

[55] 邵九姑. 用格子Boltzmann方法模擬研究多孔介質中的傳質傳熱問題 [D]. 杭州：浙江師范大學，2012.

[56] 陳柔. 格子Boltzmann方法的若干應用 [D]. 杭州：浙江師范大學，2013.

[57] RONG F M，GUO Z L，CHAI Z H，et al. A lattice Boltzmann model for axisymmetric thermal flows through porous media [J]. International Journal of Heat and Mass Transfer，2010，53（23）：5519-5527.

[58] 榮伏梅. 基于格子Boltzmann方法的多孔介質REV尺度的流動與強化傳熱研究 [D]. 武漢：華中科技大學，2011.

[59] RONG F M，ZHANG W H，SHI B C，et al. Numerical study of heat transfer enhancement in a pipe filled with porous media by axisymmetric TLB model based on GPU [J]. International Journal of Heat and Mass Transfer，2014，70：1040-1049.

[60] LIU Q，HE Y L，LI Q，et al. A multiple-relaxation-time lattice Boltzmann model for convection heat transfer in porous media [J]. International Journal of Heat and Mass transfer，2014，73：761-775.

[61] LIU Q，HE Y L，LI Q. Multiple-relaxation-time lattice Boltzmann model for simulating axisymmetric thermal flows in porous media [J]. arXiv preprint arXiv：14095929，2014.

[62] TIAN Z W，XING H L，TAN Y L，et al. A coupled lattice Boltzmann model for simulating reactive transport in CO2injection [J]. Physica A：Statistical Mechanics and its Applications，2014，403：155-164.

[63] LIAO Q，YANG Y X，ZHU X，et al. Lattice Boltzmann simulation of substrate solution through a porous granule immobilized PSB-cell for biohydrogen production [J]. International Journal of Hydrogen Energy，2013，38（35）：15700-15709.

[64] 楊艷霞. 含光生化反應的多孔介質內流動及傳輸特性的格子Boltzmann模擬 [D]. 重慶：重慶大學，2013.

[65] XU H，DANG Z，BAI B F. Numerical simulation of multispecies mass transfer in a SOFC electrodes layer using lattice Boltzmann method [J]. Journal of Fuel Cell Science and Technology，2012，9 （6）：061004.

[66] XU H，DANG Z，BAI B F. Electrochemical performance study of solid oxide fuel cell using lattice Boltzmann method [J]. Energy，2014，67：575-583.

[67] XU Y S，ZHONG Y J，HUANG G X. Lattice Boltzmann method for diffusion-reaction-transport processes in heterogeneous porous media [J]. Chinese Physics Letters，2004，21（7）：1298.

[68] YAN W W，SU Z D，ZHANG H J. Effect of non‐isothermal condition on heterogeneous flow through biofilter media by lattice Boltzmann simulation [J]. Journal of Chemical Technology and Biotechnology，2013，88（3）：456-461.

[69] GAO D Y，CHEN Z Q. Lattice Boltzmann simulation of natural convection dominated melting in a rectangular cavity filled with porous media [J]. International Journal of Thermal Sciences，2011，50（4）：493-501.

[70] 李霞. 用Lattice Boltzmann方法處理傳熱傳質中的固液相變問題[D]. 杭州：浙江師范大學，2011.

[71] JOURABIAN M，FARHADI M，DARZI A A R. Lattice Boltzmann investigation for enhancing the thermal conductivity of ice using Al2O3porous matrix [J]. International Journal of Computational Fluid Dynamics，2012，26（9/10）：451-462.

[72] EL ABRACH H，DHAHRI H，MHIMID A. Numerical Simulation of Drying of a Saturated Deformable Porous Media by the Lattice Boltzmann Method [J]. Transport in Porous Media，2013，99（3）：427-452.

[73] LIU Q，HE Y L. Double multiple-relaxation-time lattice Boltzmann model for solid-liquid phase change with natural convection in porous media [J]. arXiv preprint arXiv：150308406，2015.

[74] 蔡睿賢，茍晨華，張娜. 多孔介質中考慮各向異性自然對流Brinkman模型的解析解(Ⅱ) [J]. 中國科學G輯：物理學、力學、天文學，2005（2）：113-120.

[75] 蔡睿賢，張娜. 多孔介質中自然對流Brinkman模型的解析解 [J].中國科學（A輯），2002（6）：566-573.

Models and application of lattice Boltzmann method at REV-scale in porous media

ZHANG Xiaodan1，2，YONG Yumei2，LI Wenjun3，ZHAO Yuansheng4，LI Yuanyuan2，YANG Qiaowen1，YANG Chao2
（1School of Chemical & Environmental Engineering，China University of Mining & Technology (Beijing)，Beijing 100083，China；2Key Laboratory of Green Process and Engineering，Institute of Process Engineering，Chinese Academy of Sciences，Beijing 100190，China；3School of Environmental Engineering，North China Institute of Science and Technology，Langfang 065201，Hebei，China；4Laboratory of Residue Hydrotreating，Research Institute of Petroleum Processing，PetroChina，Beijing 102200，China）

Abstract：This paper discusses the lattice Boltzmann model at representative elementary volume (REV) scale for porous media. According to different treatments of porous media，the lattice Boltzmann model at REV-scale for porous media can be classified into two categories，the partially bouncing-back model and the resistance model. The advantages and disadvantages of various models are analyzed. The Generalized lattice Boltzmann equation (GLBE model) in the resistance model is most widely used. Firstly，the force item of the GLBM model is based on the method proposed by Guo et al，which can beaccurately recovered to the macroscopic equation without discretization error. Secondly，the equilibrium distribution function and the force items involve porosity，which reflects the characteristics of porous media. This review introduces the application of the lattice Boltzmann model at REV-scale in porous media with flow，heat transfer，mass transfer，chemical reaction and phase transition. We should take the pore scale factors into consideration when studying momentum transport，heat transport，mass transport and reaction engineering in porous media at REV-scale. The anisotropic nature of process parameters should be considered at the larger engineering scale. It gives some predictions and perspectives of applications for the lattice Boltzmann model at REV-scale.

Key words：porous media；representative elementary volume (REV)；lattice Boltzmann method (LBM)；flow；heat transfer；mass transfer

中圖分類號：TQ021.9

文獻標志碼：A

文章編號：1000–6613（2016）06–1698–15

DOI：10.16085/j.issn.1000-6613.2016.06.010

收稿日期：2016-01-19；修改稿日期：2016-01-31。

基金項目：國家自然科學基金（21276256,21490584）、國家重點基礎研究發展計劃（2012CB224806）及中央高校基本科研業務費（3142013097）項目。