數(shù)學解題的認識與實踐（中）

羅增儒

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數(shù)學解題的認識與實踐（中）

羅增儒

2.數(shù)學解題過程的操作

什么是解題過程？解題過程不僅包括書寫表達，還包括從拿到題目到完全解出的所有環(huán)節(jié)或每一個步驟。通過回顧自己的實際操作（看題、想題、答題、回題）可以看到，解題通常有四個基本的階段：理解題意、思路探求、書寫表達、回顧反思。我們對這個看題、想題、答題、回題的感性過程并不陌生，問題在于能不能上升到理性的高度。比如：

我們都知道解題的首要前提是審題，但審題“審什么、怎么審”，能夠說清楚、講明白、做到位嗎？

我們都知道解題的思維核心是思路探求，但思路探求“探什么、怎么探”，能夠說清楚、講明白、做到位嗎？

我們都知道解題的最終呈現(xiàn)是書寫，但書寫“寫什么、怎么寫”，能夠說清楚、講明白、做到位嗎？

我們都知道學會解題的好途徑是反思，但反思“思什么、怎么思”，能夠說清楚、講明白、做到位嗎？

2-1理解題意

（1）理解題意的基本含義

理解題意也叫做審題，主要是弄清題目已經(jīng)告訴了你什么，又需要你去做什么，從題目本身獲取怎樣解這道題的邏輯起點、推理目標以及溝通起點與目標之間聯(lián)系的更多信息。

題目本身是解決這道題的鑰匙。只不過其中的積極提示往往是通過語言文字、公式符號以及它們之間的聯(lián)系間接地告訴我們。所以，審題一定要逐字逐句看清楚，力求從語法結構、邏輯關系、數(shù)學含義、答題形式、數(shù)據(jù)要求等方面真正看懂題意。

成在審題，敗在審題。弄清題意等于解決了問題的一半。解題中出現(xiàn)的會而不對、對而不全的情況，究其原因，多在于未審清或?qū)彶磺孱}意。審題要抓好“審什么”的三個要點和“怎么審”的四個步驟。

（2）審題審什么。

抓好審題“審什么”的三個要點。

①弄清題目的條件是什么，一共有幾個，其數(shù)學含義如何。

條件包括明顯寫出的和隱蔽地給予的，弄清條件就是要把它們都盡量找出來；更重要的是弄清條件的數(shù)學含義，即看清楚條件所表達的到底是哪些數(shù)學概念、哪些數(shù)學關系。有時，還要排除無關信息與干擾信息。

題目的條件告訴我們從何處下手、預示“可知”并啟發(fā)解題手段，弄清了條件就等于弄清了行動的起點，也準備好了行進中的加油站。

②弄清題目的結論是什么，一共有幾個，其數(shù)學含義如何。

題目的結論有的是明顯給出的，如求證題，關鍵是要弄清結論到底與哪些數(shù)學關系、哪些數(shù)學概念有關；有的是要我們?nèi)ふ业模缜蠼忸}、探索題等。這時的弄清結論，就是要弄清求解的探索性質(zhì)或探索范圍，它們與哪些數(shù)學關系、哪些數(shù)學概念有關，以明確推理或演算的方向。

題目的結論告訴我們向何方前進、預告“需知”并引導解題方向。弄清了結論就等于弄清了行動的目標，也隨身帶上了糾正偏差的“指南針”。

③弄清題目的條件和結論有哪些數(shù)學聯(lián)系，是一種什么樣的結構。

在弄清條件的數(shù)學含義、結論的數(shù)學含義的基礎上，繼續(xù)弄清條件知識與結論知識之間存在哪些初步的數(shù)學聯(lián)系，這些初步聯(lián)系就表現(xiàn)為題目的結構（題型）。

為了更接近問題的深層結構，審題不僅開始于解題工作的第一步，還貫穿于探求的過程與結果的反思，應該是一個循環(huán)往復、不斷深化的過程。

題目的條件和結論是怎樣解這道題的兩個信息源，審題的實質(zhì)是從題目本身去獲取從何處下手、向何方前進的信息與啟示。

（3）審題怎么審。

抓好審題“怎么審”的四個步驟。

①讀題——弄清字面含義。

首先要逐字逐句逐段地讀懂題目說了什么，按每分鐘閱讀300～400個印刷符號的速度計算，通常讀完一道題用不了1分鐘，但未必讀懂了。因而，還應該從語法結構、邏輯關系上作出分析，真正弄清哪些是條件，哪些是結論，各有幾個，這是讀題最實質(zhì)性的工作。

其次要從題型特點、答題形式、數(shù)據(jù)要求上明確題目的技術性細節(jié)。比如在考試中，有的題目要求保留幾位小數(shù)等。如果不按這些要求來，解答就會被認為不完整（存在扣分的危險），即使有的同學并非不會做。

②理解——弄清數(shù)學含義。

看懂題目的字面含義還不能算真正審清題意，它只是為實質(zhì)性的數(shù)學理解掃清了語言障礙，關鍵是要能進行文字語言、符號語言、形象語言、表格語言之間的轉化，從題目的敘述中獲取數(shù)學符號信息，從題目的圖形中獲取數(shù)學形象信息，弄清題目的數(shù)學含義。這當中，我們常常要回到定義，激活相關的數(shù)學知識，還要輔以圖形或記號，使條件和結論都數(shù)學化，并被我們所理解。比如：

題目的條件（或結論）說了拋物線，拋物線能加嗎？能減嗎？能乘嗎？能除嗎？能運算嗎？能推理嗎？有困難！所以，立即想拋物線的定義，想拋物線的表達式（符號語言）和圖像（形象語言），初中的表達式是y=ax2+bx+c（a≠0），圖像是一條類似拋體運動路徑的曲線。一旦寫出拋物線的表達式y(tǒng)=ax2+bx+c（a≠0）就等于設出了5個字母和它們之間的等量關系，有助于運算或推理的展開。

題目出現(xiàn)了正方形ABCD，但正方形能加嗎？能減嗎？好運算、易推理嗎？應該把正方形的定義和相關性質(zhì)都寫出來。如∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAC= 90°，AB=BC=CD=DA等，這有助于運算或推理的展開。

題目的條件（或結論）說了“二次方程有實根”，它的數(shù)學含義是什么？可以是等式，存在x0使ax02+bx0+c=0，也可以是不等式b2-4ac≥0，還可以從知識鏈上展開：

……

③表征——識別題目類型。

信息在大腦的呈現(xiàn)叫做表征。弄清條件、弄清結論的同時，條件與結論之間的關系會在頭腦中呈現(xiàn)，這種呈現(xiàn)不僅會激活相關的數(shù)學知識，也會調(diào)動相應的解題經(jīng)驗。對于大量的常規(guī)題來說，條件與結論之間的關系結構是記憶儲存中現(xiàn)成的——每人的頭腦里都或多或少、或優(yōu)或劣地儲存有基本模式與經(jīng)典題型。題意弄清楚了，題型就得以識別，提取該題型的相應方法即可解決（叫做模式識別）。即使是新的陌生情景，我們也有了解決它的邏輯起點與推理目標，繼而可以用差異分析、以退求進、區(qū)分情況、層次解決、正難則反、數(shù)形結合等措施進入下一階段——思路探求。

④深化——接近深層結構。

簡單題一旦弄清了題意，題型就得以識別，思路隨之打通，但有時認識是淺層的。對于變通過的、形似而質(zhì)異的或綜合性較強的題目，則還要不停頓地弄清問題。因而，弄清題意的工作在識別題目類型之后還結束不了，主要表現(xiàn)在兩個方面：其一是在思路探求中，還有一個繼續(xù)弄清題意的過程，否則會使思路受阻、思維走偏；其二是在思路已打通、解法初步得出時，仍有一個回顧反思、再認識的過程，即更本質(zhì)地弄清問題，努力接近問題的深層結構。

經(jīng)驗表明，凡是題目未明顯寫出的，一定是隱蔽地給予的。只有細致地審題，才能從題目本身獲得盡可能多的信息，這一步不要怕慢。注意：這些要點，敘述時是分解動作，真正解題時是連續(xù)進行、一氣呵成的。請思考下面題目中條件是什么，結論是什么。

例1已知mn≠0，n2+4m＞0，又a≠b且

試求過點A（a，a2），B（b，b2）的一次函數(shù)解析式（用含m，n的式子表示）。

講解：條件是什么？結論是什么？

理解1：給出關于四個字母m，n，a，b的五個條件（三個不等關系、兩個同形等式），mn≠0，n2+4m＞0，a≠b，ma2+na-1=0，mb2+nb-1=0。

結論是求過兩點A（a，a2），B（b，b2）的一次函數(shù)解析式（用含m，n的式子表示），或者說是求y=kx+h中的兩個字母k，h。

理解2：關于四個字母m，n，a，b的三個條件：

條件1：給出四個字母m，n，a，b。

條件2：字母m，n滿足兩個關系mn≠0，n2+4m＞0。

條件3：字母a，b滿足三個關系：a≠b，a，b是二次方程mx2+nx-1=0的兩個實根，組成兩個點A（a，a2），B（b，b2）。

結論是求過兩點A（a，a2），B（b，b2）的一次函數(shù)解析式（用含m，n的式子表示），或者說是求y=kx+h中的兩個字母k，h。

對于題目的多個條件，先用哪個后用哪個，哪個條件與哪個條件相配合等需作通盤考慮。一個比較麻煩的想法是從已知兩等式中解出a，b，再由A，B的坐標求一次函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+h。另一種較為自然的解法是用待定系數(shù)法求k，h。

解法1：由①、②可解得

由于a≠b，所以A，B的坐標恰好為一個取正（負）號、另一個取負（正）號：

反思1：這個解法的運算能力值得敬佩，但十分麻煩，需要簡化。首先，分別求出A，B的坐標a1，2，b1，2又討論合并，有思維回路；其次，求出A，B的坐標又在解方程中消去也是一個思維回路，應該考慮這些回路是必要的還是多余的；再次，理解求k，h的方程，其實是，由相減，可得，從而h=a2-ka=a2-（a+b）a=-ab。

抓住這個實質(zhì)步驟，立即可以將k，h表示為a，b之和、之積，然后將a，b之和、之積用含有m，n的代數(shù)式表示。由兩數(shù)之和與兩數(shù)之積很容易想到韋達定理。

解法2：設過A，B的一次函數(shù)解析式為y=kx+h，由于A，B在拋物線y=x2上，消去y，得a，b是二次方程

的兩個實根，由根與系數(shù)的關系，有

但由已知兩等式知，a，b是二次方程

的兩個實根，又有

反思2：在解法2中，③式與⑤式都是以a，b為根的一元二次方程，④式與⑥式都有兩根之和、兩根之積（a+b，ab），我們有理由懷疑這里面有重復。重新理解條件與結論，a，b是二次方程③x2-kx-h=0的根表明

作為目標，需要確定k，h。而條件有①、②式成立，將其與⑦、⑧式比較，從中可以看到，二次項的系數(shù)不相同，消除差異，有0，（a≠b）。

解法3：由①，②有

由a≠b表明，兩點A（a，a2），B（b，b2）均在直線上，由兩點確定一條直線知，這就是過點A，B的一次函數(shù)解析式。

評析：這個解法變解法1的運算為推理，把k，h作為整體而同時確定，把解法2中③式與⑤式的重復、④式與⑥式的重復都消除了。關鍵在于，運用函數(shù)與方程的思想揭示了題目的本質(zhì)：已知A，B兩點均在直線my+nx-1=0（mn≠0）上，變形，這就是過A，B兩點的一次函數(shù)解析式。這樣一來，題目幾乎不用做就有答案（只要明白一次函數(shù)的圖像是直線）。這就是對題意的更接近深層結構的理解：

理解3：兩個字母a，b滿足兩個條件：

條件1：字母a，b（a≠b）組成兩個點A（a，a2），B（b，b2）。

條件2：這兩個點A（a，a2），B（b，b2）在直線my+ nx-1=0上（滿足兩個同形等式ma2+na-1=0，mb2+ nb-1=0），其中mn≠0（有了a≠b，n2+4m＞0成為多余的）。

結論是求過兩點A（a，a2），B（b，b2）的一次函數(shù)解析式（用含m，n的式子表示）。

（待續(xù)）