淺析積分在實際問題中的應用

王巖巖+劉偉

[摘 要]積分理論從幾何學和物理學中的實際問題引出，在科學技術上獲得了廣泛的應用。微元法是分析、解決幾何、物理、經濟等問題的常用方法，也是從部分到整體的思維方法。生活中的許多實際問題都可用微元法把所求量以定積分的形式表示出來。微元法體現的是一種極限思想，有利于發展我們的思維，促進我們鞏固知識、加深認識，對自然科學的學習和研究都很有幫助。

[關鍵詞]積分；積分中值定理；微元法

[中圖分類號] [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2016）06-0167-02

積分理論是從幾何學和物理學中的實際問題引出的，在科學技術上獲得了廣泛的應用， 從而得到了快速的發展。為了能更有效地運用積分，人們往往采用比較簡捷的微元法對事物進行分析。

微元法是分析、解決幾何、物理、經濟等問題的常用方法，也是從部分到整體的思維方法。用微元法使一些復雜的過程轉化為簡單的規律，可以快速地解決有關積分的問題。因此，學生掌握好微元法對學習《數學分析》課程及實際應用具有重要的意義。

一、定積分中微元法的理論分析

（一）微元法的本質

微元法是定積分計算思想的簡化。它把定積分求解過程中的分割、近似代替、作和、取極限四步濃縮為兩步，即化整為零求微元，積零為整求總量。應用定積分解決實際問題時，通常并不是通過我們所熟知的“分割，近似求和，取極限”等經典步驟獲取定積分表達式的，而是利用更簡單的微元法得到定積分表達式。微元法思想是微積分的主要思想，它在處理各類積分應用問題中是一脈相通的，也是學生學好各類積分的理論依據。

（二）定積分中微元法的應用條件

選取微元時應遵從的基本原則：

（1）φ是與某個變量的變化區間[a，b]有關的量；

（2）所求量φ關于分布區間[a，b]必須是代數可加的；（注：對于矢量，如力、動量等，由于矢量的加減法不滿足代數可加性，所以遇到這種情況，是不能直接用微元法的，但可以進行力的分解，使各個分力在同一條直線上）

（3）微元法的關鍵是正確給出Δφ的近似表達式：

Δφ≈f（x）dx；Δφ-f（x）Δx=o（Δx）。

通常情況下，要驗證Δφ-f（x）Δx為Δx的一個高階無窮小量是比較困難的。因此找微元時，要特別謹慎。

（三）微元法在定積分中的應用步驟

微元法解決定積分應用問題的步驟如下：

（1）確定積分分布區間[a，b]，大多采用投影法（如求曲邊梯形面積時，可以將梯形的曲邊投影到x軸上；求楔體體積時，可以將楔體投影到平面xOy上或者yOz上等）；

（2）找出微元dφ。在分布區間（積分區間）[a，b]上任取一點x，把該點x看做一個小區間，其長度為dx，則該點x對應的微元dφ一般是關于x的一個函數f（和所求量φ有關）與dx的乘積，即dφ=f（x）dx；

二、積分在實際問題中的應用

（一）經濟問題

某工廠技術人員告訴他的老板某種產品的總產量關于時間的變化率為R′（t）=50+5t-0.6t2，現在老板想知道4個小時內他的工人到底能生產出多少產品。如果我們假設這段時間為[1，5]，生產的產品總量為R，則總產量R在t時刻的產量，即微元dR=R′（t）dt=（50+5t-0.6t2）dt。因此，在[1，5]內總產量為

（二）壓縮機做功問題

在生產生活過程中，壓縮機做功問題由于關系到能源節約問題，因此備受大家關注。假設地面上有一個底半徑為5 m， 高為20 m的圓柱形水池， 往里灌滿了水。如果要把池中所有的水抽出，則需要壓縮機做多少功？此時，由于考慮到池中的水被不間斷地抽出，可將抽出的水分割成不同的水層。同時， 把每層的水被抽出時需要的功定義為功微元。這樣，該問題就可通過微元法解決了。 具體操作如下： 將水面看做是原點所在的位置， 豎直向下做x軸。當水平從x處下降了dx時， 我們近似地認為厚度為dx的這層水都下降了x，因而這層水所做的功微元dw≈25πxdx（J）。當水被完全抽出， 池內的水從20 m下降為 0 m。根據微元法， 壓縮機所做的功為W=25πxdx=15708（J） 。

（三）液體靜壓力問題

在農業生產過程中，為了保證農田的供水，常常需要建造各種儲水池。因此，我們需要了解有關靜壓力問題。在農田中有一個寬為 4 m， 高為3 m， 且頂部在水下 5 m的閘門， 它垂直于水面放置。此閘門所受的水壓力為多少？我們可以考慮將閘門分成若干個平行于水面的小長方體。此時， 閘門所受的壓力可看做是小長方體所受的壓力總和。 當小長方體的截面很窄的情況下， 可用其截面沿線上的壓強來近似代替各個點處的壓強。 任取一小長方體，其壓強可表示為1·x=x， 長方體截面的面積為ΔA=4dx， 從而ΔF≈x·4dx， 進一步， 有

利用微元法求解定積分，還可以解決很多實際工程問題，關鍵是要掌握好換“元” 的技巧。這就需要我們解決問題時，要特別注意思想方法。思想方法形式多種多樣，如以直代曲、以均勻代不均勻、以不變代變化等。

三、重積分的應用

重積分是研究曲面面積、求空間物體體積、計算物體的質量和解決一些實際問題等方面的有力工具。

微元法是分析、解決幾何、物理、經濟等問題的常用方法，也是從部分到整體的思維方法。生活中的許多實際問題都可用微元法把所求量以定積分的形式表示出來。 我們在使用這種方法時，要把問題的共性和特性聯系在一起。 這樣才能靈活運用微元法， 并加強我們對已知規律的再思考。另一方面，微元法體現的是一種極限思想，這種極限思想有利于發展我們的思維，培養我們的能力，對自然科學的學習和研究有很大的幫助。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 華東師范大學數學系.數學分析 （上冊）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2] 陶華.微元法及其應用探討[J].徐州建筑職業技術學院學報，2008，7（6）：49-51.

[3] 同濟大學應用數學系.高等數學 （上冊）[M].北京： 高等教育出版社，2001.

[4] 張樹民.微元法在物理中的應用[J].渤海大學學報（自然科學版），2009，30（1）：40-42.

[5] 陳玉，賀秋林.微元法原理探究[J].工科數學，2011，17（3）：95-96.

[6] 吉林師范大學編.數學分析講義[M].北京：北京人民教育出版社，1978.

[7] 王梅.淺談定積分的應用[J].重慶科技學院學報（自然科學版）， 2007，5（2）：35-40.

[8] 王志強，劉彩霞.積分微元法及其應用研究[J].湖北第二師范學院學報，2009，26（8）：9-10.

[9] 宋明娟，王春.微積分（上冊）[M].北京： 清華大學出版社，2008.

[10] 歐陽光中，周淵.復旦大學數學系數學分析 （第三版）[M]. 上海：復旦大學出版社， 2007.

[11] 楊奇，毛云英.微積分及其應用（第八版）[M].北京：機械工業出版社，2006.

[責任編輯：鐘偉芳]