考慮反饋時滯的建筑結構H∞分散控制方法

曲春緒　霍林生　李宏男

摘要：土木工程結構具有尺度大、結構復雜的特點，在結構主動反饋控制中，結構的大尺度會導致反饋的時滯大問題，從而影響甚至惡化結構的振動反應，對結構安全不利。為了解決該問題，針對大尺度土木結構反饋過程的時滯問題提出了H∞分散控制方法。由于分散控制器矩陣的塊對角形式，現階段還沒有一個具體的理論或現成的軟件來解決BMI這個問題。在離散時域內提出了雙同倫法將此BMI近似線性化為線性矩陣不等式，并將集中控制器逐步轉化為分散控制器。最后通過6層框架數值算例進行了驗證，結果表明該方法可以有效地減小結構反饋控制中的時滯問題，保證了控制效果。

關鍵詞：分散控制；雙線性矩陣不等式；雙同倫法；時滯；大尺度土木結構

中圖分類號：U311.3；TP13 文獻標識碼：A 文章編號：1000-0666（2016）01-0159-06

O 引言

結構振動控制分為被動控制、主動控制、半主動控制和混合控制。在主動控制中，需要由傳感器、驅動器、控制器和結構組成閉合回路，從而實現反饋控制。反饋的實時性是主動控制效果好壞的關鍵。然而，對于大尺度土木工程建筑物，反饋過程中會出現大時滯問題，從而影響控制效果，尤其對于無線傳感器的數據傳輸，結構尺度大導致的長距離傳輸會影響數據的實時性，數據量大也同樣會導致因計算時間長出現的時滯問題。

分散控制是解決反饋時滯問題的一種有效手段。分散控制不同于集中控制，是將反饋控制系統分為幾個子系統，每個子系統在反饋過程中僅接受部分傳感器反饋信息數據，從而減小傳輸距離與傳輸數據量（Sandell et al，1978；Siljak，1991）。雖然分散控制已經應用于輸電網絡、空間系統和經濟系統等眾多行業中（Siljak，1996），但土木工程結構中的分散控制卻在最近幾年才逐漸被關注。Lynch和Law（2002）改進了分散LQR控制方法，并提出了基于市場機制的分散控制，從而解決土木結構大尺度的問題。Xu等（2003）針對斜拉橋進行減振控制，提出了分散錨索控制方法。Swartz和Lynch（2006）將冗余Kalman狀態估計器應用于分散結構控制系統中。Rofooei和Mona-jemi-Nezhad（2006）研究了不同反饋形式的控制。Lu等（2008）提出了分散滑模控制，并對帶有磁流變阻尼器的鋼框架進行了振動臺實驗。Ma等（2008）進行了分散魯棒控制研究。Loh和Chang（2008）比較了集中控制及各種形式的分散控制。最近，分散控制中考慮到了控制器計算和數據傳輸導致的時間延遲（Wang et al，2009，2011）。普遍來說，控制器需要的傳感器數據越多，時間延遲就越大。時間延遲作為系統性能的一部分是可以被測量和計算得到的，例如無線反饋控制系統（Wang et al，2007）。考慮到控制過程中的反饋時滯問題，本文在離散時域中提出了一個新的H∞分散動力反饋控制方法。

有界實引理是求解H∞控制器矩陣的有效方法（Gahinet，Apkarian，1994）。控制器矩陣在有界實引理中被約束于雙線性矩陣不等式（Bilinear Ma-trix Inequalicy，簡稱BMI）中（VanAntwerp，Braatz，2000）。當控制器矩陣不存在特殊結構形式時，這個雙線性矩陣不等式約束是可以通過投影引理轉化為多個線性矩陣不等式（Linear MatrixInequlity，簡稱LMI）約束來進行求解的。然而，分散控制要求控制器矩陣是具有分散塊對角結構形式的，這種形式在有界實引理中是難以轉化為線性矩陣不等式約束的，從而形成了非凸的優化問題。目前還沒有有效的解決方式來處理該問題。雖然來自PENOPT公司的PENNON（PENalty meth-ods for NONlinear optimization）軟件包是用來解決此非凸優化問題的，但該方法仍然是不成熟的，需要進一步改進（Kocvara，Stingl，2003）。Wang（2011）將連續時域的同倫方法進行一定修改應用于離散時域中。Mehendale和Grigoriadis（2008）針對無時滯問題的連續時域系統，提出了基于雙同倫方法的H∞分散控制方法。本文考慮了土木工程中反饋時滯問題，提出了基于雙同倫方法的離散時域H∞分散控制方法。最后通過6層結構算例對提出的方法進行了驗證。

1 問題描述

考慮帶有時滯的結構控制系統如圖1所示。根據Wang（2011）的推導，在離散時域中連接結構系統和帶有傳感器噪聲干擾的時滯系統得到離散時域下的開環系統如下：其中，系統輸入w=[w₁w₂]^T∈R^（n_w）×1，包含外界激勵w₁。和傳感器噪音w₂。R^（n_u）×1表示控制力向量。開環系統狀態向量x∈R^{（n_OL）×1}包含結構系統狀態向量x_S∈R^2n×1，帶有傳感器噪音的時滯系統狀態向量x_TD∈R^{（n_TD）×1}。對于n層結構集中質量模型，結構系統的狀態向量x_S由相對于地面的位移q_i和相對于地面的速度q₁組成，q_i和q_i表示第i層的相對位移和相對速度，i=1，…n。式中，開環系統矩陣A∈R^nOL×nOL，B¹∈R^nOL×nw和B²∈R^nOL×nu分別表示狀態轉移矩陣，激勵影響矩陣和控制影響矩陣。向量z∈R^nz×1表示系統反應輸出向量，也是反饋控制的目標，向量y∈R^ny×1表示帶有傳感器噪音干擾的開環時滯系統的測量輸出向量。相應地C¹，D¹¹和D¹²為目標輸出矩陣，C²和D²¹為測量輸出矩陣。考慮控制器計算的時間和數據傳輸時間的影響，傳感器測量的信號假定延遲一個采樣時間。

動態反饋控制器可根據開環測量輸出y[k]作為控制力的輸入信號來設計控制器出力的大小u[k]，其狀態方程為其中，x^G為控制系統的狀態向量；A^G，B^G，C^G，D^G為需要設計的控制器參數。

2 離散時域中的分散H∞控制器設計

2.1 分散控制器

針對分散控制器，反饋信號y[k]和控制力u[k]可被分散為N組，如：分組后的反饋信號與控制力分別組成多個子系統，從而系統式（3）被分為了Ⅳ個子控制器系統，表示為其中，A^Gi，B^Gi，C^Gi，D^Gi為第i個子控制系統。這樣控制矩陣參數A^G，B^G，C^G，D^G便具有塊對角的形式：這里假設式（1）中的Dz2為零矩陣（Gahinet，Ap-karian，1994），令動態控制器維數與結構系統維數相同，即A^G∈R^n_G×n_G，n_G=n_OL。將式（3）代入到式（1）中，得到閉環系統：

根據有界實引理，若H∞控制器存在并使得閉環系統式（7）穩定，系統的H∞范數小于給定的γ值，當且僅當存在一個正定對稱矩陣P使得以下矩陣不等式成立：將式（9）代入到式（10）當中，可得到矩陣不等式：式中，存在矩陣變量P和G相乘的形式，若控制器矩陣A_G，B_G，C_G，D_G沒有塊對角結構形式限定時，通過投影引理（Gahinet，Apkarian，1994）可以將此矩陣相乘形式的BMI轉化為多個LMI來進行求解。然而，分散控制器的矩陣是具有塊對角形式的，難以等價轉換為LMI，因此是非凸優化問題，難以求解。

2.2 雙同倫法

為解決雙線性優化問題，Mehendale和Grigori-adis（2008）提出了雙同倫的方法在連續時域中求解Hoo分散控制器。本文基于雙同倫法的思想，在離散時域中提出的H∞分散控制器求解方法。

在迭代過程開始時，即第0步（k=0），設初始變量G和P為集中控制器設計得到的矩陣G_C和相對應的矩陣P_C：其中，矩陣G_{C，diag}是由集中控制器設計得到的矩陣G_C中對角塊位置所對應的元素組成的；G_C，off表示G_C中剔除了矩陣G_{C，diag}包含的元素后所剩余的矩陣，滿足式（13）。當第k步時（k=1，2，…，K），G_k和P_k有如下形式：其中，K是總的迭代步數；增量△G_k與G_C，diag結構形式相同；增量△P_k同Pk一樣是對稱的。隨著k逐漸增大到K步，控制器矩陣G_k中非對角塊元素逐漸變為0，對角塊元素通過增量△G_k逐漸地改變。當△G_k和△P_k足夠小時，兩者之間的乘積可以忽略不計，因此，式（11）可以被近似線性化為

這樣，式（11）不再有△G_k和△P_k相乘的形式，從而BMI約束被近似為LMI約束。式（13）二式代入到式（8）可得：最后可得到線性化的式（11）<0，定義是以△G_k和△P_k為變量的函數y（△G_k，△P_k）如下：

通過以上可知BMI約束優化問題近似為了LMI約束優化問題，通過求解帶有式（17）的約束優化問題便可得到理想分散控制器。

3 數值算例

為了說明本文提出的分散控制器設計方法的有效性，對一個六層框架進行數值模，其結構如圖2a所示，結構參數可參考Lu等（2008）所設定的。結構的1層、3層和5層分別安裝了一個驅動器，給相鄰兩層提供控制力。

這里的測量輸出m[k]為結構的層間位移，如式（18a）。反應輸出z[k]為加權后的層間位移與控制力的組合，如式（18b）。

圖2b描述了子系統的集中和分散程度，用DC表示（degrees of centralization，DC）。

假設延遲時間等于一個采樣周期。根據傳感器傳輸信息多少與距離長短，可定義延遲時間如表1所示。

地震激勵采用1940年的El Centro NS地震記錄。加速度峰值調整為1m·s^-2。通過計算得到層間唯一峰值，并做比較。圖3a為結構層間位移最大值的對比，從圖中看到，DC①和DC②呈現了不穩定的結構反應，這是由于積分過程中出現了數值不穩定的情況，正是由于時滯大導致的。

為進一步說明分散控制方法的效果，需對穩定的情況進行對比，即DC②、DC③和無控狀態，如圖3b所示。在無控狀態下，第二層的層間位移峰值達到最大。DC②、DC③可明顯減小結構的層間位移的最大峰值。另外發現，DC③的減振效果由于DC②的作用，這是因為時滯都不長的情況下，反饋信息多有助于減振控制。

4 結論

本文考慮大尺度結構反饋控制中的時滯問題，在離散時域中提出了基于雙同倫的方法分散H∞控制器的求解方法。該方法將雙線性矩陣不等式近似化為線性矩陣不等式，通過迭代搜索求解控制器。從而解決了矩陣不等式非凸優化問題求解過程中帶有特殊結構形式的矩陣的問題。并通過六層數值算例進行了驗證，結果表明在延遲時間不大時，反饋的信息越多，控制效果越好；而延遲過大或信息過少都會導致控制性能變差的情況。